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必修二 第一章 抛体运动
（1）在有水的玻璃管中放入红蜡，倒置后红蜡匀速上浮
（2）红蜡上浮的同时，匀速向右移动玻璃管
v1
v2
v
v1
§1.2 运动的合成与分解
一、分运动与合运动
【观察与思考】
1.合运动与分运动(书P7)
——如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动产生的效果相同，我们就把物体的实际运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动。
【讨论与交流】
如右图，用小锤打击弹性金属片，球1沿水平方向飞出。你发现了什么？
从运动产生的效果来看，合运动与分运动是一种什么关系？你能否用自己的
话把这种关系表述出来？
合运动
分运动
等效
替代
§1.2 运动的合成与分解
一、分运动与合运动
2.合运动与分运动的关系：
⑴等时性——合运动和分运动经历的时间相等 (同时开始、同时进行、同时结束) .
⑵独立性——一个复杂的运动可以看成是几个独立进行的分运动的合运动.即各分运动独立进行,互不影响.
⑶等效性——各分运动的规律叠加起来和合运动的规律等效.
如右图，用小锤打击弹性金属片，球1沿水平方向飞出，同时球2被松开，做自由落体运动。改变小锤打击金属片的作用力，使球1沿水平方向飞出的初速度大小发生变化，重复上述实验。
【观察与思考】
1
2
二、运动的合成与分解
1.运动的合成——已知分运动求合运动.
2.运动的分解——已知合运动求分运动.
3.“运动的合成与分解”包括：
物体的合运动(实际运动)速度叫合速度.
物体的合运动 (实际运动)位移叫合位移.
?位移的合成与分解
②速度的合成与分解
③加速度的合成与分解
※运算法则：运动的合成与
分解互为逆运算，均遵守平行四边形定则.
(若t→0，则该平均速度可视为瞬时速度.)
x
y
1
x轴：vx=v0.ax=0.没有加速度的匀速直线运动
v0
g
y轴：vy=0.ay=g.加速度为g的自由落体直线运动
思考：两个直线运动合成的运动一定是直线运动吗？
例(书P8)：篮球运动员将篮球向斜上方投出，投射方向与水平方向成60°角。设其出手速度为10m/s。这个速度在竖直方向和水平方向的分速度各是多大？
解：篮球斜向上的运动（实际运动）可以看成水平方向和竖直方向的两个分运动的合运动。由平行四边形定则有
v
vx
vy
600
vx=v·cos60°
=10×0.5 m/s=5.0 m/s
vy=v·sin60°
=10×0.866 m/s=8.7 m/s
§1.2 运动的合成与分解
三、两直线运动的合运动的性质和轨迹
3.两个匀变速直线运动的合运动一定是
1.互成角度的两个匀速直线运动的合运动是
2.互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是
⑴若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是
⑵若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上时，则是
v
v1
v2
v
v1
v2
a1
v
v1
v2
a1
a2
a
v
v1
v2
a1
a2
a
匀速直线运动.
匀变速曲线运动.
匀变速运动．
匀变速直线运动. (a合与v合共线)
匀变速曲线运动(a合与v合不共线)．
练(书P9/2). 判断下列说法是否正确。为什么？
⑴两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动。
⑵两个直线运动的合运动一定是曲线运动。
v
v1
v2
√
讨论：①互成角度的两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动.
②互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动.
③互成角度的两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动.
v1
v2
a1
v
图②
a
a1
a2
图③
×
练(书P9/2). 判断下列说法是否正确。为什么？
⑵两个直线运动的合运动一定是曲线运动。
⑶两个直线运动的合运动可能是直线运动。
⑷两个直线运动的合运动可能是曲线运动。
√
讨论：④互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动——
a.若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，合运动一定是
b.若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上时，合运动一定是
v
v1
v2
a1
a2
a
图④a
v
v1
v2
a1
a2
a
图④b
√
×
匀变速直线运动.
匀变速曲线运动.
⑤两个互成角度的变加速直线运动的合运动……
练(书P9/2). 判断下列说法是否正确。为什么？
⑵两个直线运动的合运动一定是曲线运动。
⑶两个直线运动的合运动可能是直线运动。
讨论：④互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动——
a.若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，合运动一定是
b.若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上时，合运动一定是
匀变速直线运动.
⑤两个互成角度的变加速直线运动的合运动……
⑷两个直线运动的合运动可能是曲线运动。
练(书P9/2). 判断下列说法是否正确。为什么？
⑵两个直线运动的合运动一定是曲线运动。
⑶两个直线运动的合运动可能是直线运动。
讨论：④互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动——
a.若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，合运动一定是
b.若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上时，合运动一定是
匀变速直线运动.
⑤两个互成角度的变加速直线运动的合运动……
F合(a) 跟 v 在同一直线上
直线运动
F合(a) 恒定→匀变速直线运动
F合(a) 变化→变加速直线运动
F合(a) 跟 v 不在同一直线上
曲线运动
F合(a) 恒定→匀变速曲线运动
F合(a) 变化→变加速曲线运动
※决定物体运动状态的关键因素是什么？
物体运动状态由F合(a合)、v0及其夹角θ共同决定.
§1.2 运动的合成与分解
小结：①判断直线还是曲线运动关键看F合(a合) 与v 是否共线；②判断匀变速还是变加速关键看a 是否恒定.
§1.2 运动的合成与分解
四、曲线运动的一般分析方法
一些常见的曲线运动如抛体运动，往往可以分解为两个方向上的直线运动，只要分别研究这两个方向上的受力情况及运动情况，就可以知道复杂的曲线运动的规律。(书P9最后一段及 P7第一段.)
化曲为直、化繁为简
一、分运动与合运动
二、运动的合成与分解
三、两直线运动的合运动的性质和轨迹
初速度不为零的匀加速直线运动，可以看成在同一直线上哪两个分运动的合运动？
【讨论与交流】
（书P9）
答：初速度不为零的匀变速直线运动可以看成是同一直线上的以初速度大小做匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动的合运动。
分运动一：
匀速直线运动
分运动二：
初速为零的匀加速直线运动
初速不为零的匀加速直线运动
练(书P9/1). 艇在静水中航行的速度是10km/h，当它在流速是2km/h的河水中向着垂直于河岸的方向航行时，合速度的大小和方向怎样？
v水
v艇
v合
解：设艇的速度为v艇，水流速度为v水，据平行四边形定则有
设合速度方向与水流速度的方向成α，则
查数学用表得α=79°
α
练(书P9/3). 如图所示的房屋瓦面与水平面成30°角，一物体从瓦面上滚下，离开瓦面时速度大小为6.0m/s，求这个速度在水平方向和竖直方向的分速度各是多大？
v
vx
vy
30°
解：设水平方向和竖直方向的分速度分别为vx、vy，据平行四边形定则有
vx=v·cos30°
=6.0×0.86 m/s=5.16 m/s
vy=v·sin30°
=6.0×0.5 m/s=3.0 m/s
d
A
B
D′
C′
练(书P9/4). 小船在静水中以恒定的速度运动，现小船要渡过一条小河流，渡河时小船的船头始终向对岸垂直划行。已知河中心附近水流的速度逐渐增大。相对于河水的恒定流速，小船渡河时间将（ ）
A. 增大 B. 减少 C. 不变 D. 无法确定
C
∵河宽AB、v船不变，∴ t 不变.
∵v水、AD均变大，∴ t 不确定.
∵v合、AC均变大，∴ t 不确定.
v艇
v′
v′
水
合
d
A
B
D
C
v水
v艇
v合
合运动与分运动的等时性、独立性.
分运动
合运动
运动的合成
运动的分解
分速度
分位移
分加速度
合成
分解
合速度
合位移
合加速度
☆运动的合成与分解遵循平行四边形定则
复习
第二节 运动的合成与分解
【例题】一船准备渡河，已知水流速度为v2=1m/s，船在静水中的航速为v1=2m/s，则：
①要使船能够垂直地渡过河去，那么应向何方划船？
②要使船能在最短时间内渡河，应向何方划船？
二.渡河问题
设河宽为ｄ，船在静水中速度为ｖc，水流的速度为ｖs。
1.当θ=90o时，渡河时间最短，t=d/vc.即船头必须垂直河岸；
(1)若ｖc＞ｖs，则当θ＝arc cosvs/vc,时，渡河位移最小为d；即船头必须指向河岸上游方向, 使合速度垂直河岸，最小位移等于河宽.
(2)若V1＜V2，则当θ＝arc cosvc/vs时，渡河位移最小为s=d/cosθ=vsd/vc.即只有当Vc ⊥ V合 时，过河的位移最小.
2.要使过河的位移最短：
例.一条宽度为L的河，水流速度为vs，已知船在静水中的航速为vc，那么，（1）怎样渡河时间最短？（2）若vs＜vc怎样渡河位移最小？（3）若vs＞vc，怎样渡河船漂下的距离最短？
分析与解：（1）如图甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为：
t=L/(vcsinθ)
可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短.
图甲
vs
v1
v2
vc
θ
分析：(2)如图乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于d，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：
所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。
Vs
θ
vc
v
图乙
例.一条宽度为L的河，水流速度为vs，已知船在静水中的航速为vc，那么，（2）若vs＜vc ，怎样渡河位移最小？（3）若vs＞vc，怎样渡河位移最小？
结论：
船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ， 其中θ=arccosVs/Vc
Vccosθ─Vs=0.
（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？
船漂的最短距离为：
此时渡河的最短位移为：
Vs
Vc
B
α
θ
v
如图2丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？
以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs.
【例题2】小船在200米宽的河中横渡,水流速度为v1＝2m/s,船在静水中的速度是v2＝4m/s,求:
⑴ 如果要求船划到对岸时间最短，则船头应指向什么方向？最短时间是多少？航程是多少？
⑵如果要求船划到对岸航程最短，则船头应指向什么方向？最短航程是多少？所用时间多少？
分析1：时间最短
d
解1:当船头垂直河岸时，所用时间最短
最短时间
此时合速度
此时航程
分析2:航程最短
θ
d
解 2、当船头指向斜上游，与岸夹角为θ时，合运动垂直河岸，航程最短，数值等于河宽220米。
即船头指向斜上游与岸夹角为60°
(错)
过河时间
合速度（对）
则 cosθ=
（θ= 60°）
合速度
小船过河问题
设船在静水中的速度为v1=4m/s，水流速v2=2m/s，河宽为d=200m
d
S1
S2
S
V2
V1
V
d
S1
S2
S
V2
V1
V
①最短时间：
d
tmin=d/v1
② 最短位移：
α
当v1>v2时
V2
V1
V
S
α
当v1cosα=v2/v1
cosα=v1/v2
例3.小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发10min到达对岸下游的120m处；若船头向上游保持与河岸成θ角，在出发12.5min后到达正对岸，求：
（1）水流速度v1；
（2）船在静水中的速度v2；
（3）河的宽度d；
（4）船头与河岸的夹角θ 。
拉船问题(连带运动问题)
例1：如图，车拉船运动，车速为v ，当绳与水平方向成α时，船速v’是多少？
v
α
V，
v
研究对象：绳与船接触的点。
原因：此点既在绳上又在船上。
在船上，是实际运动（合运动）。
在绳上，同时参与两个分运动。
2.绕滑轮的旋转运动
因为连带运动问题:沿绳（杆）方向的分速度相同
所以v’=v/cosα
1.沿绳方向的收缩运动
α增大
v’增大
α
V，
v
匀速
研究对象：绳与车接触的点。
原因：此点既在绳上又在车上。
在绳上，参与两个分运动。
在车上，是实际运动（合运动）。
v1
v2
V1
v
θ
V1变大
例2:汽车以速度V匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体M的速度大小是多少？物体上升的速度随时间怎样变化的?
解：V1=Vcosθ
θ减小
拉船问题(连带运动问题)
三、两个互相垂直分运动的合成
合运动的性质取决于两个分运动的合初速度和合外力的关系
v
a(F合)
v
a(F合)
v
a(F合)
匀速
v1
匀速
v2
v
a1=0
a2=0
a=0
匀速
v1
匀加速
v2
v
a1=0
a2
(a)
v1=0匀加速
a
a1
a2
v=0
v2=0匀加速
匀速
v=0匀加速
v1
v2
v
a2
a1
a
匀加速
匀加速
匀加速
a2
a1
a
曲线
曲线
1：关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A、两个直线运动的合运动一定是直线运动；
B、合运动的位移是分运动位移的矢量和；
C、合运动的速度一定大于其中一分运动的速度；
D、合运动的时间一定是分运动的时间之和
B
2．一只船沿垂直于河岸方向，以恒定的速度渡河。当船运动到河中央时，河水的流速突然增大，则船渡河时间的变化情况是 （? ）
A.增大 B.不变
C.减小 D.无法确定
B
例.如图,在不计滑轮摩擦和绳子质量的情况下,当小车匀速向右运动时,物体A的受力情况是( )
A.绳的拉力大于重力,A处于超重状态
B.绳的拉力小于重力,A处于失重状态
C.绳的拉力等于重力
D.绳的拉力先大于重力,后小于重力
A
A
例.如图的塔吊臂上有一个行车A,行车下面吊着物体B.当行车A和物体B沿吊臂水平向右匀速运动的同时,绳索将物体B向上吊起,A和B间的距离以d=H-2t2（Ｈ为Ａ距地面的高度）的规律变化,则物体做( )
A.速度大小不变的曲线运动
B.速度大小增加的曲线运动
C.加速度大小和方向都不变的曲线运动
D.加速度大小和方向都变化的曲线运动
A
B
BC
例6.如图.一直杆AB靠在水平地面和竖直墙上,当A端沿墙下滑的速度为v,且杆与水平方向的夹角为α时,此时B端的速度为多少?
A
B
α
v
V tan α
例.一物体在水平恒力作用下沿光滑水平面做曲线运动,当物体从M点运动到N点时,其速度方向恰好改变了900,则物体在M点到N点的过程中,物体的速度( )
A.不断增大
B.不断减小
C.先减小后增大
D.先增大后减小
M
N
v
v
c
1．关于运动的合成，下列说法中正确的是 ( )
A.合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B．两个速度不等 不在一条直线上的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动
C.两个分运动是直线运动的合运动，一定是直线运动
D两个分运动的时间，一定与它们的合运动的时间相等
BD
2．小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河的中心时，水流速度突然增大，则渡河时间将 ( )
A．增大 B．减小
C．不变 D．无法确定
C
（1）在有水的玻璃管中放入红蜡，倒置后红蜡匀速上浮
（2）红蜡上浮的同时，匀速向右移动玻璃管
v1
v2
v
v1
§1.2 运动的合成与分解
一、分运动与合运动
【观察与思考】
1.合运动与分运动(书P7)
——如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动产生的效果相同，我们就把物体的实际运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动。
【讨论与交流】
如右图，用小锤打击弹性金属片，球1沿水平方向飞出。你发现了什么？
从运动产生的效果来看，合运动与分运动是一种什么关系？你能否用自己的
话把这种关系表述出来？
合运动
分运动
等效
替代
§1.2 运动的合成与分解
一、分运动与合运动
2.合运动与分运动的关系：
⑴等时性——合运动和分运动经历的时间相等 (同时开始、同时进行、同时结束) .
⑵独立性——一个复杂的运动可以看成是几个独立进行的分运动的合运动.即各分运动独立进行,互不影响.
⑶等效性——各分运动的规律叠加起来和合运动的规律等效.
如右图，用小锤打击弹性金属片，球1沿水平方向飞出，同时球2被松开，做自由落体运动。改变小锤打击金属片的作用力，使球1沿水平方向飞出的初速度大小发生变化，重复上述实验。
【观察与思考】
1
2
二、运动的合成与分解
1.运动的合成——已知分运动求合运动.
2.运动的分解——已知合运动求分运动.
3.“运动的合成与分解”包括：
物体的合运动(实际运动)速度叫合速度.
物体的合运动 (实际运动)位移叫合位移.
?位移的合成与分解
②速度的合成与分解
③加速度的合成与分解
※运算法则：运动的合成与
分解互为逆运算，均遵守平行四边形定则.
(若t→0，则该平均速度可视为瞬时速度.)
x
y
1
x轴：vx=v0.ax=0.没有加速度的匀速直线运动
v0
g
y轴：vy=0.ay=g.加速度为g的自由落体直线运动
思考：两个直线运动合成的运动一定是直线运动吗？
例(书P8)：篮球运动员将篮球向斜上方投出，投射方向与水平方向成60°角。设其出手速度为10m/s。这个速度在竖直方向和水平方向的分速度各是多大？
解：篮球斜向上的运动（实际运动）可以看成水平方向和竖直方向的两个分运动的合运动。由平行四边形定则有
v
vx
vy
600
vx=v·cos60°
=10×0.5 m/s=5.0 m/s
vy=v·sin60°
=10×0.866 m/s=8.7 m/s
§1.2 运动的合成与分解
三、两直线运动的合运动的性质和轨迹
3.两个匀变速直线运动的合运动一定是
1.互成角度的两个匀速直线运动的合运动是
2.互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是
⑴若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是
⑵若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上时，则是
v
v1
v2
v
v1
v2
a1
v
v1
v2
a1
a2
a
v
v1
v2
a1
a2
a
匀速直线运动.
匀变速曲线运动.
匀变速运动．
匀变速直线运动. (a合与v合共线)
匀变速曲线运动(a合与v合不共线)．
练(书P9/2). 判断下列说法是否正确。为什么？
⑴两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动。
⑵两个直线运动的合运动一定是曲线运动。
v
v1
v2
√
讨论：①互成角度的两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动.
②互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动.
③互成角度的两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动.
v1
v2
a1
v
图②
a
a1
a2
图③
×
练(书P9/2). 判断下列说法是否正确。为什么？
⑵两个直线运动的合运动一定是曲线运动。
⑶两个直线运动的合运动可能是直线运动。
⑷两个直线运动的合运动可能是曲线运动。
√
讨论：④互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动——
a.若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，合运动一定是
b.若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上时，合运动一定是
v
v1
v2
a1
a2
a
图④a
v
v1
v2
a1
a2
a
图④b
√
×
匀变速直线运动.
匀变速曲线运动.
⑤两个互成角度的变加速直线运动的合运动……
练(书P9/2). 判断下列说法是否正确。为什么？
⑵两个直线运动的合运动一定是曲线运动。
⑶两个直线运动的合运动可能是直线运动。
讨论：④互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动——
a.若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，合运动一定是
b.若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上时，合运动一定是
匀变速直线运动.
⑤两个互成角度的变加速直线运动的合运动……
⑷两个直线运动的合运动可能是曲线运动。
练(书P9/2). 判断下列说法是否正确。为什么？
⑵两个直线运动的合运动一定是曲线运动。
⑶两个直线运动的合运动可能是直线运动。
讨论：④互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动——
a.若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，合运动一定是
b.若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上时，合运动一定是
匀变速直线运动.
⑤两个互成角度的变加速直线运动的合运动……
F合(a) 跟 v 在同一直线上
直线运动
F合(a) 恒定→匀变速直线运动
F合(a) 变化→变加速直线运动
F合(a) 跟 v 不在同一直线上
曲线运动
F合(a) 恒定→匀变速曲线运动
F合(a) 变化→变加速曲线运动
※决定物体运动状态的关键因素是什么？
物体运动状态由F合(a合)、v0及其夹角θ共同决定.
§1.2 运动的合成与分解
小结：①判断直线还是曲线运动关键看F合(a合) 与v 是否共线；②判断匀变速还是变加速关键看a 是否恒定.
§1.2 运动的合成与分解
四、曲线运动的一般分析方法
一些常见的曲线运动如抛体运动，往往可以分解为两个方向上的直线运动，只要分别研究这两个方向上的受力情况及运动情况，就可以知道复杂的曲线运动的规律。(书P9最后一段及 P7第一段.)
化曲为直、化繁为简
一、分运动与合运动
二、运动的合成与分解
三、两直线运动的合运动的性质和轨迹
初速度不为零的匀加速直线运动，可以看成在同一直线上哪两个分运动的合运动？
【讨论与交流】
（书P9）
答：初速度不为零的匀变速直线运动可以看成是同一直线上的以初速度大小做匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动的合运动。
分运动一：
匀速直线运动
分运动二：
初速为零的匀加速直线运动
初速不为零的匀加速直线运动
练(书P9/1). 艇在静水中航行的速度是10km/h，当它在流速是2km/h的河水中向着垂直于河岸的方向航行时，合速度的大小和方向怎样？
v水
v艇
v合
解：设艇的速度为v艇，水流速度为v水，据平行四边形定则有
设合速度方向与水流速度的方向成α，则
查数学用表得α=79°
α
练(书P9/3). 如图所示的房屋瓦面与水平面成30°角，一物体从瓦面上滚下，离开瓦面时速度大小为6.0m/s，求这个速度在水平方向和竖直方向的分速度各是多大？
v
vx
vy
30°
解：设水平方向和竖直方向的分速度分别为vx、vy，据平行四边形定则有
vx=v·cos30°
=6.0×0.86 m/s=5.16 m/s
vy=v·sin30°
=6.0×0.5 m/s=3.0 m/s
d
A
B
D′
C′
练(书P9/4). 小船在静水中以恒定的速度运动，现小船要渡过一条小河流，渡河时小船的船头始终向对岸垂直划行。已知河中心附近水流的速度逐渐增大。相对于河水的恒定流速，小船渡河时间将（ ）
A. 增大 B. 减少 C. 不变 D. 无法确定
C
∵河宽AB、v船不变，∴ t 不变.
∵v水、AD均变大，∴ t 不确定.
∵v合、AC均变大，∴ t 不确定.
v艇
v′
v′
水
合
d
A
B
D
C
v水
v艇
v合
合运动与分运动的等时性、独立性.
分运动
合运动
运动的合成
运动的分解
分速度
分位移
分加速度
合成
分解
合速度
合位移
合加速度
☆运动的合成与分解遵循平行四边形定则
复习
第二节 运动的合成与分解
【例题】一船准备渡河，已知水流速度为v2=1m/s，船在静水中的航速为v1=2m/s，则：
①要使船能够垂直地渡过河去，那么应向何方划船？
②要使船能在最短时间内渡河，应向何方划船？
二.渡河问题
设河宽为ｄ，船在静水中速度为ｖc，水流的速度为ｖs。
1.当θ=90o时，渡河时间最短，t=d/vc.即船头必须垂直河岸；
(1)若ｖc＞ｖs，则当θ＝arc cosvs/vc,时，渡河位移最小为d；即船头必须指向河岸上游方向, 使合速度垂直河岸，最小位移等于河宽.
(2)若V1＜V2，则当θ＝arc cosvc/vs时，渡河位移最小为s=d/cosθ=vsd/vc.即只有当Vc ⊥ V合 时，过河的位移最小.
2.要使过河的位移最短：
例.一条宽度为L的河，水流速度为vs，已知船在静水中的航速为vc，那么，（1）怎样渡河时间最短？（2）若vs＜vc怎样渡河位移最小？（3）若vs＞vc，怎样渡河船漂下的距离最短？
分析与解：（1）如图甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为：
t=L/(vcsinθ)
可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短.
图甲
vs
v1
v2
vc
θ
分析：(2)如图乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于d，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：
所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。
Vs
θ
vc
v
图乙
例.一条宽度为L的河，水流速度为vs，已知船在静水中的航速为vc，那么，（2）若vs＜vc ，怎样渡河位移最小？（3）若vs＞vc，怎样渡河位移最小？
结论：
船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ， 其中θ=arccosVs/Vc
Vccosθ─Vs=0.
（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？
船漂的最短距离为：
此时渡河的最短位移为：
Vs
Vc
B
α
θ
v
如图2丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？
以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs.
【例题2】小船在200米宽的河中横渡,水流速度为v1＝2m/s,船在静水中的速度是v2＝4m/s,求:
⑴ 如果要求船划到对岸时间最短，则船头应指向什么方向？最短时间是多少？航程是多少？
⑵如果要求船划到对岸航程最短，则船头应指向什么方向？最短航程是多少？所用时间多少？
分析1：时间最短
d
解1:当船头垂直河岸时，所用时间最短
最短时间
此时合速度
此时航程
分析2:航程最短
θ
d
解 2、当船头指向斜上游，与岸夹角为θ时，合运动垂直河岸，航程最短，数值等于河宽220米。
即船头指向斜上游与岸夹角为60°
(错)
过河时间
合速度（对）
则 cosθ=
（θ= 60°）
合速度
小船过河问题
设船在静水中的速度为v1=4m/s，水流速v2=2m/s，河宽为d=200m
d
S1
S2
S
V2
V1
V
d
S1
S2
S
V2
V1
V
①最短时间：
d
tmin=d/v1
② 最短位移：
α
当v1>v2时
V2
V1
V
S
α
当v1
cosα=v1/v2
例3.小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发10min到达对岸下游的120m处；若船头向上游保持与河岸成θ角，在出发12.5min后到达正对岸，求：
（1）水流速度v1；
（2）船在静水中的速度v2；
（3）河的宽度d；
（4）船头与河岸的夹角θ 。
拉船问题(连带运动问题)
例1：如图，车拉船运动，车速为v ，当绳与水平方向成α时，船速v’是多少？
v
α
V，
v
研究对象：绳与船接触的点。
原因：此点既在绳上又在船上。
在船上，是实际运动（合运动）。
在绳上，同时参与两个分运动。
2.绕滑轮的旋转运动
因为连带运动问题:沿绳（杆）方向的分速度相同
所以v’=v/cosα
1.沿绳方向的收缩运动
α增大
v’增大
α
V，
v
匀速
研究对象：绳与车接触的点。
原因：此点既在绳上又在车上。
在绳上，参与两个分运动。
在车上，是实际运动（合运动）。
v1
v2
V1
v
θ
V1变大
例2:汽车以速度V匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体M的速度大小是多少？物体上升的速度随时间怎样变化的?
解：V1=Vcosθ
θ减小
拉船问题(连带运动问题)
三、两个互相垂直分运动的合成
合运动的性质取决于两个分运动的合初速度和合外力的关系
v
a(F合)
v
a(F合)
v
a(F合)
匀速
v1
匀速
v2
v
a1=0
a2=0
a=0
匀速
v1
匀加速
v2
v
a1=0
a2
(a)
v1=0匀加速
a
a1
a2
v=0
v2=0匀加速
匀速
v=0匀加速
v1
v2
v
a2
a1
a
匀加速
匀加速
匀加速
a2
a1
a
曲线
曲线
1：关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A、两个直线运动的合运动一定是直线运动；
B、合运动的位移是分运动位移的矢量和；
C、合运动的速度一定大于其中一分运动的速度；
D、合运动的时间一定是分运动的时间之和
B
2．一只船沿垂直于河岸方向，以恒定的速度渡河。当船运动到河中央时，河水的流速突然增大，则船渡河时间的变化情况是 （? ）
A.增大 B.不变
C.减小 D.无法确定
B
例.如图,在不计滑轮摩擦和绳子质量的情况下,当小车匀速向右运动时,物体A的受力情况是( )
A.绳的拉力大于重力,A处于超重状态
B.绳的拉力小于重力,A处于失重状态
C.绳的拉力等于重力
D.绳的拉力先大于重力,后小于重力
A
A
例.如图的塔吊臂上有一个行车A,行车下面吊着物体B.当行车A和物体B沿吊臂水平向右匀速运动的同时,绳索将物体B向上吊起,A和B间的距离以d=H-2t2（Ｈ为Ａ距地面的高度）的规律变化,则物体做( )
A.速度大小不变的曲线运动
B.速度大小增加的曲线运动
C.加速度大小和方向都不变的曲线运动
D.加速度大小和方向都变化的曲线运动
A
B
BC
例6.如图.一直杆AB靠在水平地面和竖直墙上,当A端沿墙下滑的速度为v,且杆与水平方向的夹角为α时,此时B端的速度为多少?
A
B
α
v
V tan α
例.一物体在水平恒力作用下沿光滑水平面做曲线运动,当物体从M点运动到N点时,其速度方向恰好改变了900,则物体在M点到N点的过程中,物体的速度( )
A.不断增大
B.不断减小
C.先减小后增大
D.先增大后减小
M
N
v
v
c
1．关于运动的合成，下列说法中正确的是 ( )
A.合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B．两个速度不等 不在一条直线上的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动
C.两个分运动是直线运动的合运动，一定是直线运动
D两个分运动的时间，一定与它们的合运动的时间相等
BD
2．小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河的中心时，水流速度突然增大，则渡河时间将 ( )
A．增大 B．减小
C．不变 D．无法确定
C