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章末综合测评(二) 等式与不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设a＞1＞b＞－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．＜
B．＞
C．a＞b2
D．a2＞2b
C [取a＝2，b＝－，满足a＞1＞b＞－1，但＞，故A错；取a＝2，b＝，满足a＞1＞b＞－1，但＜，故B错；取a＝，b＝，满足a＞1＞b＞－1，但a2＜2b，故D错，只有C正确．]
2.若＜＜0，则下列不等式不正确的是( )
A．a＋b＜ab
B．＋＞0
C．ab＜b2
D．a2＞b2
D [由＜＜0，可得b＜a＜0，所以b2＞a2.故选D.]
3．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3
B．1
C．－1
D．3
A [由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．
A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：
a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.]
4.已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x≤2}
B [由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，又因为M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．]
5．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m＞5或m＜－3
B．m≥5或m≤－3
C．－3≤m≤5
D．－3＜m＜5
D [依题意有Δ＝(m－1)2－16＜0，所以m2－2m－15＜0，解得－3＜m＜5.]
6．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，∴＋＝＝＝3，解得k＝2.
经检验，k＝2满足题意．]
7．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是( )
A．200台
B．150台
C．100台
D．50台
B [要使生产者不亏本，则应满足25x≥3
000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30
000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．]
8．《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的证明为( )
A．≥(a＞0，b＞0)
B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C．≤(a＞0，b＞0)
D．≤(a＞0，b＞0)
D [由图形可知OF＝AB＝，OC＝.在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF＝＝，∵CF≥OF，∴≤(a＞0，b＞0).]
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．下列四个不等式中解集为R的是( )
A．－x2＋x＋1≥0
B．x2－2x＋＞0
C．－2x2＋3x－4＜0
D．x2＋6x＋10＞0
CD [对于C项，不等式可化为x2－x＋2＞0，
所以＞－，所以－2x2＋3x－4＜0的解集为R；对于D项，不等式可化为(x＋3)2＞－1，所以x2＋6x＋10＞0的解集为R.]
10．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋( )
A．取得最值时a＝
B．最大值是5
C．取得最值时b＝
D．最小值是
AD [因为a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2，即a＝，b＝时，等号成立．]
11．不等式|x|·(1－2x)＞0的解集是( )
A．
B．(－∞，0)∪
C．
D．
BD [原不等式等价于解得x＜且x≠0，即x∈(－∞，0)∪.]
12．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥1
B．a＋b＋c≤
C．＋＋≤2
D．(a＋b＋c)2≥3
AD [由均值不等式知a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，于是a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，故A对；而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故D项正确，B项错误；令a＝b＝c＝，则ab＋bc＋ca＝1，但＋＋＝3＞2，故C项错误．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若{(x，y)|(2，1)}是关于x，y的方程组的解集，则(a＋b)(a－b)＝________．
－15 [∵{(x，y)|(2，1)}是关于x，y的方程组
的解集，∴解得
∴(a＋b)(a－b)＝(－1＋4)×(－1－4)＝－15.]
14．已知一次函数y＝－x＋1的图像分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最值时a的值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
1 [因为A(2，0)，B(0，1)，
所以0≤b≤1，由题意得a＝2－2b，
ab＝(2－2b)b＝2(1－b)·b
≤2·＝.
当且仅当1－b＝b，即b＝时等号成立，此时a＝1，
因此当b＝，a＝1时，ab的最大值为.]
15．若关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
(－1，3) [依题意有要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1＜4＋2a，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.]
16．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
[9，＋∞) [∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，
∴ab－2－3≥0，即(－3)(＋1)≥0，
∴－3≥0，即≥3，∴ab≥9.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求下列不等式的解集．
(1)－4＜－x2－x－；
(2)(x＋3)2≥(1－2x)2.
[解] (1)原不等式可化为x2＋x＋＜4，
化简，得x2＋2x－5＜0.
因为x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，
所以原不等式等价于(x＋1)2＜6，
开平方，得|x＋1|＜，
解得－－1＜x＜－1.
所以原不等式的解集为{x|－－1＜x＜－1}．
(2)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2≥0，
因式分解，得(3x＋2)(x－4)≤0，
解得－≤x≤4，
所以原不等式的解集为.
18．(本小题满分12分)已知关于x的不等式x2－3x＋m<0的解集是{x|1
(1)求实数m，n的值；
(2)若正数a，b满足ma＋2nb＝3，求a·b的最大值．
[解] (1)由题意可知1，n是x2－3x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得解得
(2)把m＝2，n＝2代入ma＋2nb＝3得a＋2b＝.
因为a＋2b≥2，所以≥2，
故a·b≤，当且仅当a＝2b＝，即a＝，b＝时等号成立，所以a·b的最大值为.
19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解] (1)因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为0≤a≤1.
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a综上所述，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1－a}；
当a＝时，原不等式的解集为；
当20．(本小题满分12分)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
[解] (1)Δ＝4a2－4a(a－6)＝24a，
∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ≥0，即a≥0.
又∵a－6≠0，∴a≠6，∴a≥0且a≠6.
由题可知x1＋x2＝，x1x2＝.
∵－x1＋x1x2＝4＋x2，即x1x2＝4＋x1＋x2，
∴＝4＋，解得a＝24.经检验，符合题意．
∴存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，a的值为24.
(2)(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝＋＋1＝.∵为负整数，∴a－6＝6或a－6＝3或a－6＝2或a－6＝1.∴整数a的值应取7，8，9，12.
21．(本小题满分12分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，命题p是真命题．
(1)求实数m的取值集合M；
(2)设关于x的不等式(x－a)(x－a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.
∴M＝{m|m＞2或m＜－2}．
(2)∵x∈N是x∈M的充分条件，
∴N?M，N＝{x|a＜x＜a＋2}，∴a＋2≤－2或a≥2，
∴a≤－4或a≥2.
22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解] (1)y＝＝≤
＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1
600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内．
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章末综合测评(二) 等式与不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设a＞1＞b＞－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．＜
B．＞
C．a＞b2
D．a2＞2b
2.若＜＜0，则下列不等式不正确的是( )
A．a＋b＜ab
B．＋＞0
C．ab＜b2
D．a2＞b2
3．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3
B．1
C．－1
D．3
4.已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x≤2}
5．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m＞5或m＜－3
B．m≥5或m≤－3
C．－3≤m≤5
D．－3＜m＜5
6．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是( )
A．200台
B．150台
C．100台
D．50台
8．《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的证明为( )
A．≥(a＞0，b＞0)
B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C．≤(a＞0，b＞0)
D．≤(a＞0，b＞0)
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．下列四个不等式中解集为R的是( )
A．－x2＋x＋1≥0
B．x2－2x＋＞0
C．－2x2＋3x－4＜0
D．x2＋6x＋10＞0
10．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋( )
A．取得最值时a＝
B．最大值是5
C．取得最值时b＝
D．最小值是
11．不等式|x|·(1－2x)＞0的解集是( )
A．
B．(－∞，0)∪
C．
D．
12．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥1
B．a＋b＋c≤
C．＋＋≤2
D．(a＋b＋c)2≥3
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若{(x，y)|(2，1)}是关于x，y的方程组的解集，则(a＋b)(a－b)＝________．
14．已知一次函数y＝－x＋1的图像分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最值时a的值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
15．若关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
16．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求下列不等式的解集．
(1)－4＜－x2－x－；
(2)(x＋3)2≥(1－2x)2.
18．(本小题满分12分)已知关于x的不等式x2－3x＋m<0的解集是{x|1(1)求实数m，n的值；
(2)若正数a，b满足ma＋2nb＝3，求a·b的最大值．
19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
20．(本小题满分12分)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
21．(本小题满分12分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，命题p是真命题．
(1)求实数m的取值集合M；
(2)设关于x的不等式(x－a)(x－a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求实数a的取值范围．
22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
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