单元综合测试三(第三章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2
B．2
C.
D．1
2．下列曲线中离心率为的是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
3．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，双曲线－＝1和抛物线y2＝2px(p>0)的离心率分别为e1，e2，e3，则( )
A．e1e2>e3
B．e1e2＝e3
C．e1e2D．e1e2≥e3
5．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
6．已知抛物线y2＝2x，设点A的坐标为(，0)，则抛物线上距点A最近的点P的坐标为( )
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．(－2,0)
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
B.
C.
D.
8．直线x－ty－3＝0与椭圆＋＝1的交点个数( )
A．有2个
B．有1个
C．有0个
D．与t的取值有关
9．过抛物线y2＝4x(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝2，则|PQ|等于( )
A．4
B．5
C．6
D．8
10．已知点P为双曲线－＝1(a，b＞0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1)，该双曲线离心率是( )
A．2
B.
C.
D.
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
12．已知两点M(1，)，N(－4，－
)，给出下列曲线方程：
①4x＋2y－1＝0;
②x2＋y2＝3;
③＋y2＝1;
④－y2＝1.
在曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|的所有曲线方程是( )
A．①③
B．②④
C．①②③
D．②③④
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(
).
14．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|?|F1F2|?|PF2|＝4?3?2，则曲线Γ的离心率为(
).
15．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是(
).
16．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在l上的射影为A′.若|AB|＝|A′B|，则直线AB的斜率为(
)..
三、解答题(共74分)
17．(本题满分12分)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．
18．(本题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m,4)到焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点M的双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程．
19．(本题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．
20．(本题满分12分)如图，设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值．
21．(本题满分13分)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
22．(本题满分13分)如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．
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10单元综合测试三(第三章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( A )
A．2
B．2
C.
D．1
解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝x或y＝－x.
由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝＝2.故选A.
2．下列曲线中离心率为的是( B )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选项A中a＝，b＝2，c＝＝，e＝排除；选项B中a＝2，c＝，则e＝符合题意；选项C中a＝2，c＝，则e＝不符合题意；选项D中a＝2，c＝则e＝，不符合题意．故选B.
3．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为( C )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
解析：当顶点为(±4,0)时，对于双曲线，a＝4，c＝8，b＝4，则双曲线的标准方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，对于双曲线，a＝3，c＝6，b＝3，则双曲线的标准方程为－＝1.
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，双曲线－＝1和抛物线y2＝2px(p>0)的离心率分别为e1，e2，e3，则( C )
A．e1e2>e3
B．e1e2＝e3
C．e1e2D．e1e2≥e3
解析：依题意可知e1＝，e2＝，e3＝1，∴e1e2＝·＝<1＝e3.
5．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( B )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
解析：连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，∴|MF2|＝2.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由中垂线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|.由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
6．已知抛物线y2＝2x，设点A的坐标为(，0)，则抛物线上距点A最近的点P的坐标为( A )
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．(－2,0)
解析：设曲线上距点A最近的点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－)2＋y2＝(x－)2＋2x＝x2＋＋＝(x＋)2－＋＝(x＋)2＋.
∵y2＝2x的定义域为[0，＋∞)，∴当x＝0时，|PA|2取得最小值＋＝.故此时P的坐标为(0,0)．故选A.
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( C )
A．(0,1)
B.
C.
D.
解析：由题意知，点M的轨迹为以焦距为直径的圆，又M总在椭圆内部，则c8．直线x－ty－3＝0与椭圆＋＝1的交点个数( A )
A．有2个
B．有1个
C．有0个
D．与t的取值有关
解析：整理直线方程得ty＝x－3，∴直线恒过(3,0)点，把点(3,0)代入椭圆方程求得＋0＜1，可知此点在椭圆的内部，∴过此点的直线与椭圆有两个交点．故选A.
9．过抛物线y2＝4x(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝2，则|PQ|等于( A )
A．4
B．5
C．6
D．8
解析：∵设抛物线y2＝4x的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋＋x2＋＝(x1＋x2)＋p＝4，故选A.
10．已知点P为双曲线－＝1(a，b＞0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1)，该双曲线离心率是( B )
A．2
B.
C.
D.
解析：设弦的坐标分别为(x1，y1)(x2，y2)，代入双曲线方程并作差整理得：－＝0，将斜率为1，弦的中点为(4,1)代入，∴a2＝4b2，∴c2＝5b2，∴e＝，故选B.
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：由于BF⊥x轴，得xB＝－c，yB＝±，设点P(0，t)，由＝2，得(－a，t)＝2(－c，±－t)．即a＝2c，故＝.
12．已知两点M(1，)，N(－4，－
)，给出下列曲线方程：
①4x＋2y－1＝0;
②x2＋y2＝3;
③＋y2＝1;
④－y2＝1.
在曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|的所有曲线方程是( D )
A．①③
B．②④
C．①②③
D．②③④
解析：要使这些曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．
MN的中点坐标为(－
,0)，MN斜率为＝.
∴MN的垂直平分线为y＝－2(x＋)．
∵①4x＋2y－1＝0与y＝－2(x＋)，斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意；
②x2＋y2＝3与y＝－2(x＋)，联立，消去y得5x2＋12x＋6＝0，Δ＝144－4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点；
③中的方程与y＝－2(x＋)，联立，消去y得9x2＋24x＋16＝0，Δ＝0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点；
④中的方程与y＝－2(x＋)，联立，消去y得7x2＋24x＋20＝0，Δ>0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，故选D.
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是.
解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以所求距离为.
14．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|?|F1F2|?|PF2|＝4?3?2，则曲线Γ的离心率为或.
解析：设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|?|F1F2|?|PF2|＝4?3?2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，有e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，有e＝＝＝.综上，曲线Γ的离心率为或.
15．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是.
解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以设圆C的圆心的横坐标为4.
故圆心坐标为(4，±)．
∴它到中心(0,0)的距离为d＝＝.
16．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在l上的射影为A′.若|AB|＝|A′B|，则直线AB的斜率为±2.
解析：设点A在第一象限，直线AB的倾斜角为α.
如图，过B作准线l的垂线BB′，作AA′的垂线BC.∵|AB|＝|A′B|，∴C是线段AA′的中点．
设|BB′|＝a，则|AA′|＝2a，
∴|AB|＝|AA′|＋|BB′|＝3a，
∴cosα＝cos∠BAC＝＝，
∴tanα＝2.由抛物线的对称性可知，当点A在第四象限时，tanα＝－2.故直线AB的斜率为±2.
三、解答题(共74分)
17．(本题满分12分)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．
解：如图．由已知设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则M点的横坐标为c.
∴M点的坐标为.
∴＝，＝.
∴·＝c2.
由已知得c2＝2，∴c＝2.
又在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝4，|MF2|＝，
∴|MF1|＝＝3.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4.
∴a＝2.∴b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
18．(本题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m,4)到焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点M的双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程．
解：(1)由抛物线的定义可得4＋＝5，解得p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)把M(m,4)代入x2＝4y，得m＝±4，即M点的坐标为(±4,4)．
又抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，则a＝1，所以双曲线的方程为y2－＝1(b>0)，将点M(±4,4)代入双曲线的方程，得b2＝，即b＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
19．(本题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．
解：(1)因为＝，且c＝，
所以a＝，b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)，
由得x＝±，
所以圆P的半径为，
则有t2＝3(1－t2)，解得t＝±，
所以点P的坐标是(0，±)．
(3)由(2)知，圆P的方程x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．
因为点Q(x，y)在圆P上．
所以y＝t±≤t＋.
设t＝cosθ，θ∈(0，π)，
则t＋＝cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋)．
当θ＝，即t＝，且x＝0，y取最大值2.
20．(本题满分12分)如图，设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值．
解：(1)依题设得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．如题图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，
且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，
故x2＝－x1＝.①
由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，
得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝.
由D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝.
所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，
解得k＝或k＝.
(2)由题设知，|BO|＝1，|AO|＝2.
由(1)知，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，
不妨设y1＝kx1，y2＝kx2，由①得x2＞0，根据E与F关于原点对称可知y2＝－y1＞0，
故四边形AEBF的面积为S＝S△OBE＋S△OBF＋S△OAE＋S△OAF＝|OB|·(－x1)＋|OB|·x2＋|OA|·y2＋|OA|·(－y1)
＝|OB|(x2－x1)＋|OA|(y2－y1)＝x2＋2y2
＝＝≤＝2.
当x2＝2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2.
21．(本题满分13分)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
解：(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，所以|AB|＝2＝2.
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－，
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，
则S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤
＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
22．(本题满分13分)如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由消去x得y2－4sy－4＝0，
故y1y2＝－4，所以B(，－)．
又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－.
从而得直线FN：y＝－(x－1)，
直线BN：y＝－，
所以N(，－)．
设M(m,0)，由A，M，N三点共线得＝，于是t2＝>0，且t2≠1，所以m<0或m>2.
经检验，m<0或m>2满足题意．
综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
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