单元综合测试一(第一章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．下列命题中是假命题的是( )
A．等边三角形的三个内角均为60°
B．若x＋y是有理数，则x，y都是有理数
C．集合A＝{0,1}的真子集有3个
D．若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根
2．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．给出命题：若函数y＝f(x)为对数函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
4．命题p：对任意x∈R，都有x2－2x＋2≤sinx成立，则命题p的否定是( )
A．不存在x∈R，使x2－2x＋2>sinx成立
B．存在x∈R，使x2－2x＋2≥sinx成立
C．存在x∈R，使x2－2x＋2>sinx成立
D．对任意x∈R，都有x2－2x＋2>sinx成立
5．命题“若A?B，则A＝B”与其互为逆命题、否命题、逆否命题的这四个命题中，真命题的个数是( )
A．0
B．2
C．3
D．4
6．已知“命题p：存在x∈R，使得ax2＋2x＋1<0成立”为真命题，则实数a满足( )
A．[0,1)
B．(－∞，1)
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
7．下列结论中，正确的为( )
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；
③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
8．有关下列命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
9．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
10．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．(－2,2)
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
11．若存在x∈R，使|x＋2|＋|x－1|
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，3]
D．(－∞，3)
12．集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|A．－2≤b<0
B．0C．－3D．－1≤b<2
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．已知角A是△ABC的内角，则“sinA＝”是“cosA＝”的(
)条件．
14．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是(
)
15．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是(
).
16．已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是(
).
三、解答题(共74分)
17．(本题满分12分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．
(1)平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)正偶数不是素数．
18．(本题满分12分)写出下列命题的否定：
(1)a、b、c都相等；
(2)任何三角形的外角都至少有两个钝角；
(3)(x－2)(x＋5)>0.
19．(本题满分12分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A是B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，设命题p：“f(x)的定义域为R”，命题q：“f(x)的值域为R”．
(1)分别求命题p，q为真时实数a的取值范围；
(2)綈p是q的什么条件？请说明理由．
21．(本题满分13分)已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
22．(本题满分13分)已知两个命题：r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对任意x∈R，r(x)且s(x)为假命题，r(x)或s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
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6单元综合测试一(第一章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．下列命题中是假命题的是( B )
A．等边三角形的三个内角均为60°
B．若x＋y是有理数，则x，y都是有理数
C．集合A＝{0,1}的真子集有3个
D．若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根
解析：对于A，由平面几何知识可知A是真命题；对于B，取x＝，y＝－可知x＋y＝0是有理数，显然x，y都是无理数，故B是假命题；对于C，集合A＝{0,1}的所有真子集是?，{0}，{1}，共有3个，故C是真命题；对于D，由b≤－1知Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b>0，所以D是真命题，故选B.
2．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( C )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
3．给出命题：若函数y＝f(x)为对数函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：由于对数函数的图像过第四象限，故原命题为假命题，其逆否命题也为假命题．其逆命题“若函数y＝f(x)的图像不过第四象限，则函数y＝f(x)为对数函数”显然也为假命题．故原命题的否命题也是假命题．故选D.
4．命题p：对任意x∈R，都有x2－2x＋2≤sinx成立，则命题p的否定是( C )
A．不存在x∈R，使x2－2x＋2>sinx成立
B．存在x∈R，使x2－2x＋2≥sinx成立
C．存在x∈R，使x2－2x＋2>sinx成立
D．对任意x∈R，都有x2－2x＋2>sinx成立
解析：全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.
5．命题“若A?B，则A＝B”与其互为逆命题、否命题、逆否命题的这四个命题中，真命题的个数是( B )
A．0
B．2
C．3
D．4
解析：本题是从集合的角度考查四种命题，利用四种命题的定义写出逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假．
6．已知“命题p：存在x∈R，使得ax2＋2x＋1<0成立”为真命题，则实数a满足( B )
A．[0,1)
B．(－∞，1)
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
解析：若a＝0时，不等式ax2＋2x＋1<0等价为2x＋1<0，解得x<－，结论成立．当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，要使ax2＋2x＋1<0成立，则满足或a<0，解得07．下列结论中，正确的为( B )
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；
③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
解析：可以利用真值表进行判断．
8．有关下列命题的说法正确的是( D )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
解析：“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误．若x2－5x－6＝0，则x＝6或x＝－1，∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，∴B错误．“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，∴C错误．命题“若x＝y，则sinx＝siny”正确，∴“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题也正确，∴选D.
9．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( C )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
解析：命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题，可转化为任意x∈[1,2]，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，只有C选项符合题意．
10．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( C )
A．(－∞，2]
B．(－2,2)
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
解析：a＝2时，显然成立；当a≠2时，须满足
?－2综上可知：－211．若存在x∈R，使|x＋2|＋|x－1|A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，3]
D．(－∞，3)
解析：∵存在x∈R，|x＋2|＋|x－1|(|x＋2|＋|x－1|)min，即a>3，∴选A.
12．集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|A．－2≤b<0
B．0C．－3D．－1≤b<2
解析：若直接求解较麻烦，可采用排除法．
当b＝0时，B＝{x||x|<1}＝{x|－1二、填空题(每小题4分，共16分)
13．已知角A是△ABC的内角，则“sinA＝”是“cosA＝”的必要不充分条件．
解析：因为角A可能为锐角或为钝角，因此由“sinA＝”不一定得到“cosA＝”，但“cosA＝”一定能得到“sinA＝”，故“sinA＝”是“cosA＝”的必要不充分条件．
14．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是[3,8)．
解析：p(1)：3－m>0，即m<3，p(2)：8－m>0，即m<8，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则3≤m<8.
15．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是①②④.
解析：①∵判别式Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，
∴①是真命题．
②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．
③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
④否命题为“若xy≠0，则x，y都不为0”是真命题．
16．已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是－1≤a≤6.
解析：p：－40?2三、解答题(共74分)
17．(本题满分12分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．
(1)平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)正偶数不是素数．
解：(1)“若p，则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题．
否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题．
(2)“若p，则q”的形式：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题．
逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题．
否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题．
逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题．
18．(本题满分12分)写出下列命题的否定：
(1)a、b、c都相等；
(2)任何三角形的外角都至少有两个钝角；
(3)(x－2)(x＋5)>0.
解：(1)a、b、c不都相等，即a、b、c中至少有两个不相等．
(2)存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角．
(3)解法1：因为(x－2)(x＋5)>0表示x<－5或x>2，
所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2.
解法2：(x－2)(x＋5)>0的否定是(x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2.
19．(本题满分12分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A是B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：化简条件得A＝{1,2}，A是B的必要不充分条件，B?A.
集合B中的元素个数需分类讨论，B＝?，B＝{1}或{2}．
当B＝?时，Δ＝m2－4<0，
∴－2当B＝{1}或{2}时，
或解得m＝2；
综上所述，m的取值范围为(－2,2]．
20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，设命题p：“f(x)的定义域为R”，命题q：“f(x)的值域为R”．
(1)分别求命题p，q为真时实数a的取值范围；
(2)綈p是q的什么条件？请说明理由．
解：(1)命题p为真，即f(x)的定义域是R等价于(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0恒成立，等价于a＝－1或解得a≤－1或a>，∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪(，＋∞)．
命题q为真，即f(x)的值域是R，等价于u＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1的值域A?(0，＋∞)，等价于a＝1或解得1≤a≤，
∴实数a的取值范围为[1，]．
(2)綈p是q的必要不充分条件．理由：
由(1)知，綈p：a∈(－1，]，q：a∈[1，]．
而(－1，]?[1，]，
∴綈p是q的必要不充分条件．
21．(本题满分13分)已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
证明：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．
要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(p?q)和必要性(q?p)即可．
充分性(p?q)：如图所示，过点O作OP⊥l于点P，则OP＝d.若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r，所以除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.因此，直线l与⊙O相切．
必要性(q?p)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则PO⊥l.因此，d＝OP＝r.
综上可知，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
22．(本题满分13分)已知两个命题：r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对任意x∈R，r(x)且s(x)为假命题，r(x)或s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
解：由题意知：对任意x∈R，r(x)与s(x)有且只有一个是真命题．
∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≥－，
∴当r(x)是真命题时，m<－.
又∵对任意x∈R，s(x)是真命题时，x2＋mx＋1>0恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，∴－2∴当对任意x∈R，r(x)为真，s(x)为假时，
有
解得m≤－2.
同理，当对任意x∈R，r(x)为假，s(x)为真时，
得：－≤m<2.
综上所述，实数m的取值范围是m≤－2或－≤m<2.
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