2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高三（上）周测数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高三（上）周测数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．计算：＝　 　（i是虚数单位）．
2．双曲线的渐近线的夹角为　 　．
3．在（x+）6的展开式中常数项为　 　．（用数字作答）
4．设全集U＝R，已知，则A∩B＝　 　．
5．函数f（x）＝的定义域是　 　．
6．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，则m的值为　 　．
7．已知等比数列{an}满足a2＝2，a3＝1，则（a1a2+a2a3+…+anan﹣1）＝　 　．
8．若x，y满足，则z＝x+2y的最大值为　 　．
9．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是　 　．
10．已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R，对于不等式的解集A，记B＝A∩Z（其中Z为整数集），若集合B是有限集，则使得集合B中元素个数最少时的实数k的取值范围是　 　．
11．设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若△ABC不是钝角三角形，则的取值范围是　 　．
12．数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合（n∈N*），从集合An中任取k（k＝1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn＝T1+T2+…+Tn，例如当n＝1时，A1＝{1}，T1＝1，S1＝1；当n＝2时，A2＝{1，3}，T1＝1+3，T2＝1×3，S2＝1+3+1×3＝7，试写出Sn＝　 　．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确．考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．
13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2 C． D．
14．已知函数y＝f（x），x∈R是奇函数，其部分图象如图所示，则在（﹣1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（　　）
A． B．y＝log2|x|
C． D．y＝cos（2x）
15．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且＝，＝，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（　　）
A． B．2 C．1+ D．2
16．直线l：ax+y﹣1＝0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2＝1的交点为C，D，给出下面三个结论：
①?a≥1，S△AOB＝；②?a≥1，|AB|＜|CD|；③?a≥1，S△COD＜．
其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．
18．如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC＝．
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
19．已知命题P：函数f（x）＝（1﹣x）且|f（a）|＜2；命题Q：集合A＝{x|x2+（a+2）x+1＝0，x∈R，B＝{x|x＞0}且A∩B＝?．
（1）若命题P，Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围；
（2）设P，Q皆为真命题时，a的取值范围为集合S，已知T＝{y|y＝x+，x∈R，x≠0}，若?RT?S，求m的取值范围．
20．（16分）定义max{x1，x2，x3，…，xn}表示x1，x2，x3，…，xn中的最大值．已知数列an＝，bn＝，cn＝，其中n+m+p＝200，m＝kn，n，m，p，k∈N*．记dn＝max{an，bn，cn}．
（Ⅰ）求max{an，bn}；
（Ⅱ）当k＝2时，求dn的最小值；
（Ⅲ）?k∈N*，求dn的最小值．
21．（18分）已知点P到圆（x+2）2+y2＝1的切线长与到y轴的距离之比为t（t＞0，t≠1）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当时，将轨迹C的图形沿着x轴向左移动1个单位，得到曲线G，过曲线G上一点Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求的值；
（3）设曲线C的两焦点为F1，F2，求t的取值范围，使得曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2＝θ（0＜θ＜π）．
参考答案
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1～6题每题4分，7～12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．
1．计算：＝　i　（i是虚数单位）．
【分析】i2017＝（i4）504?i＝i，可得原式＝，再利用复数的运算法则即可得出．
解：i2017＝（i4）504?i＝i，
原式＝＝＝＝i，
故答案为：i．
2．双曲线的渐近线的夹角为　　．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得渐近线方程，求出渐近线的倾斜角，结合图形分析可得答案．
解：根据题意，双曲线的方程为：，
则其渐近线方程为：y＝±x，
则其渐近线的夹角为，
故答案为：．
3．在（x+）6的展开式中常数项为　160　．（用数字作答）
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
解：在的展开式中的通项公式为 Tr+1＝?2r?x6﹣2r，令6﹣2r＝7，求得r＝3，
可得常数项为?23＝160，
故答案为：160．
4．设全集U＝R，已知，则A∩B＝　{x|2＜x＜3}　．
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
解：∵，
∴A＝{x|x＜﹣或x＞2}，B＝{x|﹣1＜x＜7}，
故答案为：{x|2＜x＜3}．
5．函数f（x）＝的定义域是　（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）　．
【分析】由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．
解：由，解得x＜0且x≠﹣3．
∴函数的定义域是：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．
6．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，则m的值为　2　．
【分析】利用幂函数的定义和单调性即可求出．
解：∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，
∴m必满足 ，解得m＝2，即y＝x﹣2．
故答案为：2．
7．已知等比数列{an}满足a2＝2，a3＝1，则（a1a2+a2a3+…+anan﹣1）＝　　．
【分析】利用a2＝2，a3＝1，两式相除可求得q，根据a2＝2进而可求得a1再根据数列{anan+1}为以q2为公比，8为首项等比数列，根据等比数列的求和公式可得a1a2+a2a3+…+anan+1，进而答案可得．
解：a2＝2，a6＝1，解得q＝，
得a1＝4，a1a3，a2a3，…，anan+1，是公比为的等比数列，首项为：8．
则（a7a2+a2a3+…+anan﹣1）＝＝．
故答案为：．
8．若x，y满足，则z＝x+2y的最大值为　　．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
解：作出不等式对应的平面区域，
由z＝x+2y，得y＝﹣，
由，得，
此时z的最大值为z＝+2×＝，
故答案为：
9．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是　[﹣，0]　．
【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算?＝x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴?＝﹣x（2﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y＝+﹣，
当x＝0或1，且y＝0或1时，?取得最大值为0，
故答案为：[﹣，0]．
10．已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R，对于不等式的解集A，记B＝A∩Z（其中Z为整数集），若集合B是有限集，则使得集合B中元素个数最少时的实数k的取值范围是　{2，3，4，5}　．
【分析】对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出已知不等式的解集确定出A，根据B＝A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，即可得出．
解：分情况考虑：①当k＜0，A＝{x|++3＜x＜}；
②当k＝0，A＝{x|x＜}；
③当0＜k＜6或k＞9，A＝{x|x＜，或x＞++3}；
④当1≤k≤7，A＝{x|x＜++3，或x＞}；
只有k＜0，B＝{2，3，4，4}．
故答案为：{2，3，4，5}
11．设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若△ABC不是钝角三角形，则的取值范围是　[1，4]　．
【分析】先求得C的范围，由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简为1+，由角C越大，越小，求得的取值范围．
解：三角形ABC中，∵，若△ABC不是钝角三角形，由A+C＝，
可得≤C≤．
显然，角C越大，越小．
综上可得，∈[1，4]，
故答案为：[6，4]．
12．数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合（n∈N*），从集合An中任取k（k＝1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn＝T1+T2+…+Tn，例如当n＝1时，A1＝{1}，T1＝1，S1＝1；当n＝2时，A2＝{1，3}，T1＝1+3，T2＝1×3，S2＝1+3+1×3＝7，试写出Sn＝　﹣1　．
【分析】通过计算出S3，并找出S1、S2、S3的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论．
解：当n＝3时，A3＝{1，3，7}，
则T1＝7+3+7＝11，T2＝1×3+1×5+3×7＝31，T3＝1×3×7＝21，
由S1＝1＝81﹣1＝﹣1，
S3＝63＝26﹣1＝﹣1，
猜想：Sn＝﹣1，
故答案为：﹣6．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确．考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．
13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2 C． D．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
解：对于A：由a＜b＜0，得：a2＞ab，故A错误；
对于B：若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，b＜0，∴﹣ab＜﹣b5，故B正确；
对于D：0＜＜1，＞1，故D错误；
故选：B．
14．已知函数y＝f（x），x∈R是奇函数，其部分图象如图所示，则在（﹣1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（　　）
A． B．y＝log2|x|
C． D．y＝cos（2x）
【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得y＝f（x）在（﹣1，0）上单调递增，据此依次分析选项中函数在区间（﹣1，0）上的单调性，即可得答案．
解：根据图象可以判断出（0，1）单调递增，又由函数y＝f（x）（x∈R）是奇函数，
则函数y＝f（x）在（﹣1，0）上单调递增，
对于A、对于y＝x+，y′＝2﹣＝，当﹣8＜x＜0时，y′＜0，则f（x）在（﹣1，0）是减函数，不符合题意，
对于C、当﹣2＜x＜0时，y＝e﹣x＝（）x，而0＜＜1，则y＝e﹣x在（﹣6，0）为减函数，不符合题意，
故选：D．
15．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且＝，＝，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（　　）
A． B．2 C．1+ D．2
【分析】根据题意找出使得λ+μ最大的顶点C，根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出，这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的最大值．
解：如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+μ最大；
作平行四边形OBCD，设BC＝a，根据题意得，OA＝；
∴；
又；
即λ+μ的最大值为．
故选：C．
16．直线l：ax+y﹣1＝0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2＝1的交点为C，D，给出下面三个结论：
①?a≥1，S△AOB＝；②?a≥1，|AB|＜|CD|；③?a≥1，S△COD＜．
其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD＝sin∠COD≤，可得结论③正确．
解：①当a≥1时，把x＝0代入直线方程可得y＝a，把y＝0代入直线方程可得x＝，
∴S△AOB＝×a×＝，故结论①正确；
②当a≥4时，|AB|＝，故|AB|2＝a2+，
直线l可化为a2x+y﹣a＝0，圆心O到l的距离d＝
假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（3﹣），
显然矛盾，故结论②错误；
故?a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．
故选：C．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．
【分析】（I）由函数图象可知A，T＝π，利用周期公式可求ω，又函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）＝，可解得x0＝kπ﹣，k∈Z，又结合范围﹣＜x0＜，从而可求x0的值．
（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求其最值．
【解答】（本小题满分13分）
解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A＝2，T＝＝2[x0﹣（x7﹣）]＝π，解得ω＝2，
又|φ|＜，
∴f（x）＝2sin（2x+），
又∵﹣＜x0＜，
（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…
当2x+＝时，即x＝，f（x）max＝f（）＝2． …
18．如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC＝．
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【分析】（1）求出圆锥底面半径，圆锥的侧面积S侧，然后求解圆锥的全面积．
（2）过D作DM∥AO交BO于M，连CM，说明∠CDM为异面直线AO与CD所成角，在Rt△CDM中，求解异面直线AO与CD所成角的大小．
解：（1）Rt△AOB中，OB＝2
即圆锥底面半径为2
故圆锥的全面积S全＝S侧+S底＝3π+4π＝12π….6’
则∠CDM为异面直线AO与CD所成角….8’
在Rt△AOB中，∴，
∴OM＝1∴．
∴，
即异面直线AO与CD所成角的大小为….12’
19．已知命题P：函数f（x）＝（1﹣x）且|f（a）|＜2；命题Q：集合A＝{x|x2+（a+2）x+1＝0，x∈R，B＝{x|x＞0}且A∩B＝?．
（1）若命题P，Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围；
（2）设P，Q皆为真命题时，a的取值范围为集合S，已知T＝{y|y＝x+，x∈R，x≠0}，若?RT?S，求m的取值范围．
【分析】由题意可得，由|f（a）|＝|（1﹣a）|＜2解不等式可得P：a∈（﹣5，7）；再由A∩B＝?，可得A有两种情况
分为A＝?和A≠?，解可得命题Q中a的范围．
（1）分为当P为真，Q为假和当Q为真，P为假分别列不等式组可求即可．
（2）当P，Q都为真时，可求S＝（﹣4，7），利用基本不等式可求T，进而可求?RT，然后根据?RT?S，可求m的取值范围．
解：由题意可得，由|f（a）|＝|（1﹣a）|＜2可得﹣6＜a﹣7＜6，
解可得，﹣5＜a＜7．
∵集合A＝{x|x2+（a+2）x+1＝0，x∈R}，B＝{x|x＞4}且A∩B＝?，
①若A＝?，则△＝（a+2）（a+2）﹣4＜0，即﹣2＜a＜0；
②若A≠?，则，解可得，a≥0．
∴Q：a∈（﹣4，+∞），
当Q为真，P为假时，则，∴a∈[7，+∞），
（7）当P，Q都为真时，即S＝（﹣4，7），
又因为?RT＝（﹣2，6）?（﹣4，7）；
综上，m∈（0，4]．
20．（16分）定义max{x1，x2，x3，…，xn}表示x1，x2，x3，…，xn中的最大值．已知数列an＝，bn＝，cn＝，其中n+m+p＝200，m＝kn，n，m，p，k∈N*．记dn＝max{an，bn，cn}．
（Ⅰ）求max{an，bn}；
（Ⅱ）当k＝2时，求dn的最小值；
（Ⅲ）?k∈N*，求dn的最小值．
【分析】（Ⅰ）由题意，max{an，bn}＝max{，}，﹣＝，分别求得k＝1、k＝2及k≥3时，分别求得max{an，bn}；
（Ⅱ）当k＝2时，由（Ⅰ）可得dn＝max{an，cn}＝max{，}，根据数列的单调性求得n＝，dn取得最小值，44＜＜45，分别求得d44和d45，比较即可求得dn取得最小值；
（Ⅲ）由（II）可知，当k＝2时，dn的最小值为，当k＝1及k≥3时，根据函数单调性，分别求得可能取最小值时，n的取值，比较即可求得dn取得最小值；
解：（ I）由题意，max{an，bn}＝max{，}，
因为﹣＝，
当k＝2时，＝，则max{an，bn}＝an＝，
（ II）当k＝2时，dn＝max{an，bn，cn}＝max{an，cn}＝max{，}，
所以当＝时，dn取得最小值，此时n＝．
而d44＝max{a44，c44}＝a44＝，d45＝c45＝，有d44＜d45．
（ III）由（II）可知，当k＝8时，dn的最小值为．
因为数列{bn}为单调递减数列，数列{cn}为单调递增数列，
又因为72＜＜73，
此时dn的最小值为，＞．
所以dn＝max{an，bn，cn}＝max{an，cn}≥max{，}．
因为数列{an}为单调递减数列，数列{}为单调递增数列，
又因为36＜＜37，
此时dn的最小值为，＞．．
综上，dn的最小值为d44＝．…
21．（18分）已知点P到圆（x+2）2+y2＝1的切线长与到y轴的距离之比为t（t＞0，t≠1）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当时，将轨迹C的图形沿着x轴向左移动1个单位，得到曲线G，过曲线G上一点Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求的值；
（3）设曲线C的两焦点为F1，F2，求t的取值范围，使得曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2＝θ（0＜θ＜π）．
【分析】（1）设P（x，y），则P到圆的切线长为，利用勾股定理列方程化简即可得出动点P的轨迹C的方程；
（2）当t＝时，轨迹C的方程化为：．可得曲线G的方程为．可得曲线G的渐近线方程为y＝x，y＝﹣x．设Q（x0，y0），P1（m，m），P2（n，﹣n），，＝．可得m，n．又y02＝2x02﹣5，利用数量积运算性质即可得出；
（3）对曲线C得类型进行讨论，得出∠F1QF2的最大值，利用三角恒等变换列不等式解出t的范围．
解：（1）圆（x+2）2+y2＝1的圆心为M（﹣4，0），半径r＝1，
设P（x，y），则P到圆的切线长为，
∴（x+2）2+y2﹣1＝t6x2，
则动点P的轨迹C的方程为：（1﹣t2）x2+y6+4x+3＝0．
∴曲线G的方程为．
设Q（x6，y0），P1（m，m），P6（n，﹣n），
∴m＝，n＝，
∴＝（m﹣x8）（n﹣x0）+（m﹣y0）（﹣n﹣y0）＝（m﹣x0）（n﹣x0）﹣（x5﹣m）?（x0﹣n）
＝??＝＝．
当0＜t＜1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，椭圆标准方程为+＝1
∴cosα＝＝1﹣2t5，
∴cosθ＜1﹣2t2，解得2＜t＜．
∴当0＜θ＜π时，曲线C上始终存在的Q使得∠F2QF2＝θ．
综上，当0＜t＜时，曲线C上不存在点Q，使∠F4QF2＝θ．