华东师大版数学九年级上册22章一元二次方程复习课件(第二课时 共23张)

(共23张PPT)
第22章
一元二次方程
章末复习
第二课时
华东师大版九年级上册
学而不疑则怠，疑而不探则空
全章知识结构
一元二次方程
一元二次方程的定义
ax?+bx+c=0(a?0)
一元二次方程的解法
一元二次方程的应用
方程两边都是整式
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
直接开平方法
因式分解法
配方法
求根公式法
根的判别式和根与系数的关系
数字问题、图形面积问题、
变化率问题、经济类问题.
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面，根的判别式也能独立形成综合题。
知识点一：一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1)Δ＞0
方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ
=
0
方程有两个相等的实数根；
(3)Δ＜0
方程无实数根.
1、不解方程，判断下列方程实根的个数.
(1)2x2-3x+1=0
(2)4y2+9=12y
(3)5(x2+3)-6x=0
例题解析
解：(1)
∴该方程有两个不相等的实数根。
(2)原方程化为
∴原方程有两个相等的实数根。
(3)原方程化为
∴原方程没有实数根。
2、已知m为非负整数,且关于x的一元二次方程
(m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0有两个实数根,求m的值.
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，
要注意二次项系数不能为0！
例题解析
解：∵方程有两个实数根，
∵m为非负整数，
解得m≤
且m≠2.
∴m的值为0或1.
3、求证关于x的方程x?-(m+2)x+2m-1=0
有两个不相等的实根。
证明：△=[-(m+2)]2-4(2m+1)=m2-4m+8
=(m-2)2+4
∵不论m为何实数,
(m-2)2≥0
∴(m-2)2+4一定是正数,
即△＞0
∴方程x?-(m+2)x+2m-1=0有两个
不相等的实根。
例题解析
1、若关于x的一元二次方程ax2-2x-1＝0
有实数根，则a应满足
。
一元二次方程ax2-2x-1＝0有实数根，
即b2-4ac≥0，且a≠0.
a≥-1且a≠0
4、若方程ax2+bx+1＝0有两个相等的
实数根，则(
)
A.
b2＝4a
B.
C.
D.
b2＝4a≠0
D
及时反馈
3、当m为何值时,
方程(m-1)x?+2mx+m+3=0
（1）有两个相等实根；
（2）有两个不等实根；
（6）有实根.
（4）无实数根；
（5）只有一个实数根；
（3）有两个实数根；
m-1≠0且Δ=0
m-1≠0且Δ＞0
△＜0且m-1≠0
m-1=0
△≥0且m-1≠0
△≥0或者m-1=0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)
的两个根为：
则有
(即韦达定理)
知识点二：一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理是初中数学内容中一个很重要的知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知识点的考查可以解决以下几个问题：
一、掌握常见变形，快速求值.
1、已知方程2x2-7x+2=0的两根为x1和x2，求下列各式的值：
(1)x12+x22
(2)(x1-x2)2
(3)(x1-2)(x2-2)
(4)x12x2
+x22
x1-3
(5)|x1-x2|
(6)
例题解析
解：(3)由韦达定理得x1+x2=-3.5，x1x2=1
∴(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4
=1-2×(-3.5)+4
=12
2、设x1、x2是方程2x2+3x-5＝0的两个根，
求2x13+x12+2x22+11x2+12的值.
解:由已知可得
2x12＝5-3x1，2x22＝5-3x2，x1+x2=-1.5
∴2x13+x12+2x22+11x2+12
=x1(5-3x1)+x12+2x22+11x2+12
=5x1-(5-3x1)+(5-3x2)+11x2+12
=8(x1+x2)+12
=8×(-1.5)+12
=0
解决与高次方程有关问题的基本思路是降次.
方法提炼：
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
韦达定理体现了整体代换思想．
1、已知方程mx2＋4x＋3＝0有一根是1，
另一根是_____．
2、若方程x2＋kx＋3＝0有一根是－1，
则k＝_____．
二、已知方程的根，求另一根及某一系数.
例题解析
3、关于x的方程(k+1)x2-3x+k2＝0的一个根为1，
另一个根也是整数，求k的值.
解:将x=1代入方程，得
k+1-3+k2＝0
整理，得k2+k-2＝0
即(k+2)(k-1)＝0
解得k＝-2或k＝1
设原方程的另一个整数根为α，则
显然该式为整数，而k＝1时不满足.
故k的值为-2.
1、分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的
一元二次方程是
.
2、已知两数之和为2，积为-2，求这两个数.
以x1、x2为两根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.
三、以两个数为根作一元二次方程.
例题解析
x2+5x+6=0
解:(法一)由题意，这两个数为方程
x2-2x-2=0的两个根.
由求根公式得
2、已知两数之和为2，积为-2，求这两个数.
解:(法二)设这两个数为m、n，
则有m+n=2，mn=-2.
进而得n(2-n)=-2,即n2-2n-2=0.
故这两个数为
若a、b为互不相等的实数，且a2-3a+1=0，
b2-3b+1=0，求a2-ab+b2的值
四、不解方程，求与根有关的代数式的值.
例题解析
解:由已知得a、b为一元二次方程x2-3x+1=0
的两实数根，则由韦达定理得
a+b=3，ab=-1.
∴a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3×(-1)=12.
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中
某个字母系数的值或范围.
1、选择题：
若方程3x2＋(k2-3k-10)x＋3k＝0的两根互为相反数，k的值为(
)
A．5
B．-2
C．5或-2
D．0
分析：不能只考虑到需两根和等于0，还要考虑到需Δ≥0.
例题解析
2、若关于x的方程x2-x+a-4=0的一根大于零，
另一根小于零，求实数a的取值范围.
解：设x1、x2分别为方程x2-x+a-4=0的两根，
则
Δ=(-1)2-4(a-4)＞0
①
x1·x2=a-4＜0
②
由②得a＜4
由①得a＜
，
∴a的取值范围为a＜4.
还有别的解法吗？
2、若关于x的方程x2-x+a-4=0的一根大于零，
另一根小于零，求实数a的取值范围.
解法二：由已知，方程x2-x+a-4=0对应的
二次函数为f(x)=x2-x+a-4
∴a的取值范围为a＜4.
运用数形结合，解题更轻松.
由图象可知，只需满足f(0)＜0，
即f(0)=a-4＜0，
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
小结：
1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系数的关系.
3.可以通过一元二次方程的系数判断方程根的情况.
3、设x1、x2是方程2x2+3x-5＝0的两个根，
求下式的值:
(1)(x1-3)(x2-3)；(2)|x1-x2|；
2、若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)
1、下列方程无实数根的是
。
①x-2＝3+x；②x2+x+1＝0；
③x2+bx-1＝0；④ax2+bx+1＝0(a＞0)；
⑤
x2+
x+1＝0.
课后巩固
4、不解方程，判断下列方程根的情况：
①
x?-4x-1=0
②
x?+5=2x
③
x?-mx+m?+1=0
5、k取何值时，方程4x?-(k+2)x+(k-1)=0
①有一个根是-1;
②有两个相等的实根.
6、已知a、b、c为三角形的三边，且关于x
的方程(c-b)x?+2(b-a)x+(a-b)=0有两个
相等的实根，试判断此三角形的形状.