课时作业19 圆锥曲线的共同特征
直线与圆锥曲线的交点
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．下列命题是真命题的是( D )
A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B．到定直线x＝和定点F(c,0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆
C．到定点F(－c,0)和定直线x＝－的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆
D．到定直线x＝和定点F(c,0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆
解析：平面内到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆，故A错误；根据椭圆的第二定义，平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹为椭圆(定点不在定直线上，该常数为小于1的正数)，故B，C错误，D正确．
2．到定点(，0)和定直线x＝的距离之比为的动点的轨迹方程是( B )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.－y2＝1
D．x2＋＝1
解析：设P(x，y)是轨迹上的任意一点，由题意，得＝，化简得＋＝1.
3．已知双曲线－＝1的准线过椭圆＋＝1(b>0)的焦点，则b＝( C )
A．3
B.
C.
D.
解析：双曲线－＝1的准线方程为x＝±1.又椭圆的焦点坐标为(±，0)，故＝1，则b＝.
4．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( C )
A．3
B．2
C.
D.
解析：依题设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则x＋2y＝4，x＋2y＝4，
∴x－x＝－2(y－y)，
∴此弦斜率k＝＝－＝－，
∴此弦直线方程y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋，代入x2＋2y2＝4，
整理得3x2－6x＋1＝0，
∴x1·x2＝，x1＋x2＝2.
∴|AB|＝·
＝·＝.
5．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点F作弦AB，若|AF|＝d1，|FB|＝d2，则＋的值为( B )
A.
B.
C.
D．与AB的斜率有关
解析：(特例法)弦AB垂直于x轴时，将x＝c代入椭圆方程得y＝±，此时d1＝d2＝，则＋＝.弦AB在x轴上时，d1＝a＋c，d2＝a－c，∴＋＝＋＝＝.
6．设经过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，若△ABF的面积为，则实数a的值为( D )
A．4
B．2
C．1
D.
解析：设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，由题意知∠FAB＝，延长AB交准线于C，故△AFC是正三角形，又点F到准线的距离为p，知|FC|＝2p，△ABF的面积为，即×2p×p×sin＝，得p＝1，所以a＝.故选D.
7．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若弦AB中点的横坐标为2，则k＝( C )
A．2或－1
B．－1
C．2
D．3
解析：由联立消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.
由韦达定理可得xA＋xB＝.
∵弦AB中点的横坐标为2，
∴2＝.∴k＝2或k＝－1.
∵直线与抛物线相交于A、B两点，
∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0.
∴k>－1.∴k＝－1应舍去．故选C.
8．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C( D )
A．恰有一个公共点
B．恰有两个公共点
C．可能有一个公点，也可能有两个公共点
D．没有公共点
解析：联立整理得y2－2y0y＋4x0＝0.∵y＜4x0，∴Δ＝4y－16x0＜0，∴方程无解，即直线l与抛物线C无交点．
二、填空题
9．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是.
解析：过A、B两点的直线：x＋y＝a与抛物线y＝x2－2x－3联立得：x2－x－a－3＝0.
因为直线与抛物线没有交点，故方程无解．
即Δ＝1＋4(a＋3)＜0，解之得：a＜－.
10．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0解析：如图，由题意，A点横坐标为c，∴c2＋＝1，
又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，
∴|AF2|＝b2，
又∵|AF1|＝3|BF1|，
∴B点坐标为(－c，－b2)，
代入椭圆方程得，
∴∴方程为x2＋y2＝1.
11．如图，已知椭圆的中心在原点，F是焦点，A为顶点，左准线l交x轴于点B，点P，Q在椭圆上，且PD⊥l于点D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是：
①；②；③；④；⑤.
其中正确的个数是5.
解析：根据椭圆的第二定义，可知①②④显然正确；③中，|AO|＝a，|BO|＝，则＝＝e，③也正确；⑤中，|FO|＝c，|AO|＝a，显然正确．
三、解答题
12．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．
解：由A，B两点在抛物线y2＝6x上，可设A(，y1)，B(，y2)．
∵OA⊥OB，∴·＝0.
由＝(，y1)，＝(，y2)，
得＋y1y2＝0.
∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36 ①.
∵点A，B与点P(4,2)在一条直线上，
∴＝，
化简得＝，
即y1y2－2(y1＋y2)＝－24.
将①代入，得y1＋y2＝－6 ②.
由①和②，得y1＝－3－3，y2＝－3＋3，从而点A的坐标为(9＋3，－3－3)，点B的坐标为(9－3，－3＋3)．
∴|AB|＝＝6.
13．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
又∵△ABF2的周长为16，
∴由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
∴|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，
由椭圆定义知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理得，
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，
∴a＝3k，
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，
∴|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，
∴F2A⊥AB，F2A⊥AF1，
∴△AF1F2是等腰直角三角形，从而c＝a，所以椭圆离心率为e＝＝.
——能力提升类——
14．在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，则k的取值范围为(－1,0)．
解析：设抛物线y2＝4x上的B，C两点关于直线y＝kx＋3对称，则直线BC的方程为x＝－ky＋m(k≠0)，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m＝0.①
设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点M(x0，y0)，
则y0＝＝－2k，则x0＝2k2＋m.
∵点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，
∴－2k＝k(2k2＋m)＋3.
∴m＝－.②
又∵直线BC与抛物线交于不同的两点，
∴方程①中，Δ＝16k2＋16m>0.
把②式代入化简，得<0，
即<0，
解得－1即k的取值范围是(－1,0)．
15．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
解：(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c，过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，
又a2－c2＝b2,
从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
求解可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋.
由已知得6＋＝8，
解得k＝±.
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1课时作业12 椭圆及其标准方程
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．平面直角坐标系中，已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝3，则动点P的集合是( D )
A．线段F1F2
B．直线F1F2
C．以F1，F2为直径的圆
D．以F1，F2为焦点的椭圆
解析：由题知，|F1F2|＝2，因为|PF1|＋|PF2|＝3>2，所以动点P的集合是以F1，F2为焦点的椭圆．
2．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为( A )
A．5
B．6
C．4
D．1
解析：由椭圆的标准方程知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以点P到另一个焦点的距离为10－5＝5.
3．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( D )
A．(3,7)
B．(3,5)∪(5,7)
C．(3,5)
D．(5,7)
解析：m满足解得54．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点是(0，－4)，则实数k的值是( C )
A.
B．8 C. D．32
解析：方程为＋＝1，则由题意知，
解得k＝.
5．已知两椭圆ax2＋y2＝8与9x2＋25y2＝100的焦距相等，则a的值为( A )
A．9或
B.或
C．9或
D.或
解析：方程化为标准方程为＋＝1，＋＝1，则－8＝－4或8－＝－4.∴a＝或a＝9.
6．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝4，故满足|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，故△PF1F2为直角三角形．
7．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( D )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，
∴
两式相减得，＝，
即＝，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
∴k＝＝，
又∵k＝＝，∴＝.
又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，
∴b2＝9，a2＝18，
即标准方程为＋＝1，故选D.
8．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上有一点P到F1的距离为6，线段PF1的中点为E，O为坐标原点，则|EO|等于( A )
A．2
B．4
C．3
D．5
解析：如图，连接PF2，PE＝EF1，F1O＝OF2，则|OE|＝|PF2|.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，且|PF1|＝6，∴|PF2|＝4，∴|EO|＝2.
二、填空题
9．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是＋＝1.
解析：因为c2＝9－4＝5，
所以设所求椭圆的方程为＋＝1.
由点(－3,2)在椭圆上，知＋＝1，
所以a2＝15.
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
10．若椭圆4x2＋my2＝4m的焦距为2，则实数m＝3或5.
解析：由题意知m>0，椭圆方程4x2＋my2＝4m可化为标准方程＋＝1.当焦点在x轴上时，m－4＝1，得m＝5；当焦点在y轴上时，4－m＝1，得m＝3，所以m＝3或5.
11．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为.
解析：不妨设椭圆Γ的标准方程为＋＝1，C(xC，yC)，于是可算得|xC|＝1，|yC|＝1，取C(1,1)，得b2＝，2c＝.
三、解答题
12．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的标准方程；
(2)若点P满足∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得|F1F2|＝2，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，
则a＝2，从而b2＝a2－c2＝4－1＝3，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos30°，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－(2＋)|PF1||PF2|，
∴4＝42－(2＋)|PF1||PF2|＝16－(2＋)|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝12(2－)，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin30°
＝×12(2－)×＝6－3.
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解析：(1)由已知得c＝1，
则a2－b2＝1.又3a2＝4b2，
故a2＝4，b2＝3.
所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由
解得|PF1|＝，|PF2|＝.
又|F1F2|＝2，于是在△F1PF2中，
由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝.
——能力提升类——
14．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为4π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则|y2－y1|的值为5.
解析：由椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a＝4×5＝20，由内切圆的周长为4π，得内切圆的半径r＝2，所以S△ABF2＝×20×2＝20.又S△ABF2＝|F1F2|·|y2－y1|，|F1F2|＝8，所以|y2－y1|＝5.
15．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴为短轴的倍，直线y＝x与椭圆交于A，B两点，点C为椭圆的右顶点，·＝，求椭圆方程．
解：根据题意，得a＝b，C(a,0)．
设A(t，t)(t>0)，则＋＝1，
∴t＝b，∴＝(b，b)，＝(a,0)．
∵·＝ab＝b2＝，
∴b＝1，a＝，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
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5课时作业13 椭圆的简单性质
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是( B )
A．3
B．3或
C.
D.或
解析：若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.
若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.
∴＝，∴m＝.
所以m的值为3或.
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( D )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：由右焦点为F(1,0)可知c＝1，因为离心率等于，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.故选D.
3．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( A )
A．[4－2，4＋2]
B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2]
D．[4－，4＋]
解析：由8x2＋3y2＝24，得＋＝1.
∴－≤m≤，4－2≤2m＋4≤4＋2.
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：依题意4b2＝4ac，∴＝，即1－e2＝e.∵在椭圆中a2＝b2＋c2，∴e2＋e－1＝0.∴e＝(舍去负值)．
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( A )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b＝2，椭圆的方程为＋＝1.
6．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，
∴2＝2c.∴3a＝4c.∴e＝.
7．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( B )
A．[，]
B．[，]
C．[，1]
D．[，1]
解析：如图：
直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝2－x.
代入椭圆方程＋＝1，得
3x2＋4y2＝3x2＋4(4－4x＋x2)＝12，
整理得7x2－16x＋4＝0，
∴2＋x＝，∴x＝.
∴M点坐标为(，)．
同理可得N点坐标为(，)．
∴kA1M＝＝，kA1N＝＝.
∴直线PA1斜率的取值范围是[，]．
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是( B )
A．(0,1]
B．[1,2]
C．(0,2]
D．[2，＋∞)
解析：因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.
二、填空题
9．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是.
解析：由题意2b>2c，
即b>c，即>c，
∴a2－c2>c2，则a2>2c2.
∴<，∴010．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是.
解析：
如图，因为△ABF2是正三角形，所以∠AF2B＝60°，
因为直线AB与椭圆长轴垂直，
所以F2F1是正三角形ABF2的高，
∠AF2F1＝×60°＝30°，
Rt△AF2F1中，设|AF1|＝m，sin30°＝＝，
所以|AF2|＝2m，|F1F2|＝＝m
因此，椭圆的长轴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m，焦距2c＝m，所以椭圆的离心率为e＝＝＝.
11．设F1、F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是(0,1)或(0，－1)．
解析：如图，设直线AB与x轴交于点N(n,0)，∵＝5，
∴＝，∴＝，
∴n＝.
设直线AB方程为x＝my＋，代入椭圆方程，得：(m2＋3)y2＋3my＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
由＝5，得y1＝5y2.
∴
∴＝，
∴m＝±，
∴y2＝±，从而y1＝±1，
∴A点坐标为(0，±1)．
三、解答题
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；
(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．
解：(1)依题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，即a＝6.
∵椭圆的离心率为，
∴e＝＝＝，
∴＝，∴b2＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则b＝9，c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
13．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又由e＝＝得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，
即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝，
∴AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点为(，－)．
——能力提升类——
14．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，右顶点为A，点M的横坐标为，设MF与椭圆交于点P，直线PA，MA的斜率分别为k1，k2，则k1k2的取值范围是(－∞，－)．
解析：如图所示，设P(x0，y0)，M(，y1)，又F(－2,0)，A(3,0)，则直线PF的方程为y＝(x＋2)．令x＝，得y1＝，即M(，)，于是得k1＝，k2＝，所以k1k2＝.
由点P在椭圆上，得y＝(9－x)，代入得k1k2＝×(9－x)＝－(1＋)．因为点P是线段FM与椭圆的交点，则点P只可能在直线x＝－2的右侧且异于点A，即x0∈(－2,3)，所以1＋>，故k1k2<－.
15．已知，椭圆C过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
解：(1)由题意c＝1，由定义|F1A|
＋|F2A|＝＋＝4＝2a，
∴a＝2，∴b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：设直线AE方程为：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0，
设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A在椭圆上，
所以xE＝，yE＝kxE＋－k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.
所以直线EF的斜率
kEF＝＝＝，
即直线EF的斜率为定值，其值为.
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1课时作业14 抛物线及其标准方程
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为( B )
A．圆
B．抛物线和一条射线
C．椭圆
D．抛物线
解析：设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．故选B.
2．焦点在x轴上，且经过点P(－1,2)的抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝x
B．y2＝－x
C．y2＝－4x
D．x2＝－4y
解析：根据抛物线焦点和点P(－1,2)的位置，可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，把点的坐标代入抛物线方程得p＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x.
3．已知抛物线y＝x2，则它的焦点坐标是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：化为标准方程为x2＝y，∴抛物线的焦点坐标为，故选D.
4．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( D )
A．2
B．2
C.
D．1
解析：抛物线的焦点为(2,0)，则点(2,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝1，故选D.
5．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋＝2，
∴x0＝，∴y0＝±.
6．已知点P是抛物线x＝y2上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为( C )
A．2
B.
C.－1
D.＋1
解析：由抛物线x＝y2可得y2＝4x，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．依题意可知点P到点A(0,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到(0,2)与P到该抛物线准线的距离的和的最小值减去1，也就是点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线焦点的距离之和的最小值减1，可得－1＝－1.故选C.
7．抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是( B )
A．(，)
B．(1,1)
C．(，)
D．(2,4)
解析：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离公式得d＝＝
＝＝≥.
当x＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．
8．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( C )
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝x
解析：如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BB1|，
∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.
二、填空题
9．抛物线y2＝－x的焦点到它的准线的距离等于.
解析：由题意得p＝，F，准线方程为x＝，所以焦点到它的准线的距离等于.
10．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝2.
解析：本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识．
直线AB：y＝x－代入抛物线y2＝2px，得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，∴3p＋p＝8，∴p＝2.
11．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的方程是y2＝5x.
解析：由题意得，线段OA的垂直平分线方程为2x＋y－＝0，则与x轴的交点为F(，0)．所以p＝，即抛物线方程为y2＝5x.
三、解答题
12．已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P满足的方程．
解：方法1：设点P的坐标为(x，y)，则有＝|x|＋1.
将两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
∴动点P满足的方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
方法2：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件，当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与点P到直线x＝－1的距离相等，故点P的集合是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P满足的方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
13．如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口直径为12
m，镜深2
m.
(1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点坐标；
(2)若把盛水和食物的容器近似的看作点，试求每根钢筋的长度．
解：
(1)如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径．
由已知，得A点坐标是(2,6)，
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则36＝2p×2，∴p＝9.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x.
焦点坐标是F(，0)．
(2)∵盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根钢筋长．|AF|＝＝6.5.
故每根钢筋的长度是6.5
m.
——能力提升类——
14．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝6.
解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
15．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px.
∵点P(1,2)在抛物线上，
∴22＝2p·1，得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)．
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴kPA＝－kPB.
∴＝－.
∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，
得y＝4x1，①y＝4x2，②
由①－②得直线AB的斜率
kAB＝＝＝－＝－1(x1≠x2)．
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1课时作业15 抛物线的简单性质
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝x
B．y2＝3x
C．y2＝6x
D．y2＝－6x
解析：顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，由题意知＝，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.
2．过抛物线y2＝16x的焦点的最短弦长为( A )
A．16
B．8
C．32
D．4
解析：过抛物线焦点的最短弦长即通径长，故长度为2p＝16.
3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为( C )
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：由焦点弦公式易知|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.
4．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|?|MN|＝( C )
A．2?
B．1?2
C．1?
D．1?3
解析：如图，过M作准线的垂线MH，设∠FAO＝∠MNH＝α，则sinα＝＝＝＝.
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( C )
A．2
B．2
C．2
D．4
解析：考查了抛物线的焦半径公式、焦点三角形的面积，设点P的坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C.
6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是( B )
A．4
B．4或－4
C．－2
D．2或－2
解析：由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，由题意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.又点(k，－2)在抛物线上，∴k2＝16，k＝±4.
7．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若·＝0，则k＝( D )
A.
B.
C.
D．2
解析：抛物线y2＝8x焦点坐标为(2,0)，直线方程为y＝k(x－2)，由得k2(x－2)2＝8x，即k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1＋2，y1－2)，＝(x2＋2，y2－2)，由·＝0得(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
将y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，x1＋x2＝，x1·x2＝4代入上式中，整理得(k－2)2＝0，∴k＝2.
8．等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是( B )
A．8p2
B．4p2
C．2p2
D．p2
解析：不妨设点A在x轴上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.
由得A(2p,2p)，
∴B(2p，－2p)，|AB|＝4p.
∴S△ABO＝×4p×2p＝4p2.
二、填空题
9．若抛物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝±8.
解析：椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m＝±8.
10．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝±2.
解析：设正三角形边长为x.36＝x2sin60°，∴x＝12.
当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2，
当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，
故a＝±2.
11．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1解析：易知直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，
则x1＋x2＝ ①.
由焦点弦长公式得|AB|＝x1＋x2＋p＝9 ②.
由①②解得p＝4，从而抛物线的方程是y2＝8x.
三、解答题
12．已知圆x2＋y2－9x＝0，与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点，△OAB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．
解：依题意设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)，焦点F，A(x0，y0)，B(x0，－y0)，则
∴x＋(2p－9)x0＝0.①
∵OA⊥BF，∴kOA·kBF＝－1.
∴·＝－1，即＝－1.
∴x0＝p.②
把②代入①得p＝2.
∴所求抛物线方程为y2＝4x.
13．设抛物线C：y2＝4x，O为C的顶点，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
解：(1)∵焦点坐标为F(1,0)，
∴直线l的方程为y＝x－1，与y2＝4x联立消去y可得x2－6x＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，从而焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，与y2＝4x联立消去x可得y2－4ky－4＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＋yB＝4k，yAyB＝－4.
∴xAxB＝(kyA＋1)(kyB＋1)＝k2yAyB＋k(yA＋yB)＋1＝－4k2＋4k2＋1＝1.
∴·＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3.
即·是一个定值．
——能力提升类——
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接△OAB，O为坐标原点，·＝0，直线OA的方程为y＝2x，且|AB|＝4，则抛物线的方程为y2＝x.
解析：由得A(，p)．
又·＝0，∴OA⊥OB，
∴直线OB的方程为y＝－x，与y2＝2px联立可得B(8p，－4p)．
∵|AB|＝4，
∴(－8p)2＋(p＋4p)2＝208，
解得p＝.
故抛物线的方程为y2＝x.
15．已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.
设P为直线l上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程．
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程．
解：(1)依题意d＝＝，
解得c＝1(负根舍去)，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)
，P(x0，y0)，
由x2＝4y，即y＝x2，得y′＝x.
∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x＋y1－x.
∵y1＝x，∴y＝x－y1.
∵点P(x0，y0)在切线l1上，
∴y0＝x0－y1.
①
同理，y0＝x0－y2
.
②
综合①②得，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都满足方程y0＝x0－y
.
∵经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线是唯一的，
∴直线
AB的方程为y0＝x0－y，
即x0x－2y－2y0＝0.
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5课时作业16 双曲线及其标准方程
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：根据双曲线的定义，乙?甲，但甲?乙，只有当0<2a<|F1F2|时，点M的轨迹才是双曲线．
2．双曲线－＝1的焦距为( C )
A．2
B．3
C．6
D．8
解析：已知双曲线的方程为标准方程，可得a2＝6，b2＝3，则c＝＝3，故焦距2c＝6.
3．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是( D )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
解析：因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，所以应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然选项D符合要求．
4．与圆C1：x2＋(y＋1)2＝1及圆C2：x2＋(y－4)2＝4都外切的动圆的圆心在( C )
A．一个圆上
B．一个椭圆上
C．双曲线的一支上
D．一条抛物线上
解析：由已知得，圆C1的圆心为(0，－1)，半径r1＝1；圆C2的圆心为(0,4)，半径r2＝2.
设动圆的圆心为M，半径为r，则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2，∴|MC2|－|MC1|＝1<|C1C2|＝5，由双曲线的定义可得，动圆的圆心在双曲线的一支上．
5．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( C )
A.
B.
C.
D.
解析：依题意：a＝b＝，∴c＝2.
因|PF1|＝2|PF2|，则该|PF2|＝m，
∴|PF1|＝2m，又|PF1|－|PF2|＝2＝m.
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
又|F1F2|＝4，
∴cos∠F1PF2＝＝.故选C.
6．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则·等于( C )
A．24
B．48
C．50
D．56
解析：|PF2|＝|F1F2|＝2c＝6，由双曲线的定义，得
|PF1|＝2a＋|PF2|＝4＋6＝10，∴cos∠F1PF2＝
＝，
故·＝||·||·cos∠F1PF2＝10×6×＝50.
7．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|
－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为( B )
A．1
B.
C．2
D．4
解析：如图，以AB为x轴，AB中点O为坐标原点建系．
∵|PA|－|PB|＝3，∴P点轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．由图知|PO|最短为.
8．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( A )
A．－2
B．－
C．1
D．0
解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A.
二、填空题
9．已知双曲线的焦点为F1(0，－6)，F2(0,6)，且双曲线上的一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于8，则该双曲线的标准方程为－＝1.
解析：∵双曲线的焦点在y轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题意可知a＝4，c＝6，
∴b2＝c2－a2＝62－42＝20.
故该双曲线的标准方程为－＝1.
10．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|?|PF2|＝3?2，则△PF1F2的面积为12.
解析：设|PF1|＝3x，|PF2|＝2x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2，则|PF1|＝6，|PF2|＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝62＋42＝52＝|F1F2|2，所以∠F1PF2＝90°，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×6×4＝12.
11．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝4.
解析：方法1：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则
∴
∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.
方法2：|PF1|·|PF2|＝
＝＝＝4.
三、解答题
12．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点为(0，－6)，(0,6)，且经过点(－5,6)；
(2)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点(3,2)；
(3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)．
解：(1)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点(－5,6)在双曲线上，所以点(－5,6)到两焦点的距离之差的绝对值是常数2a，即2a＝|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.
(2)由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由双曲线的定义知2a＝|－|＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3.因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1.
(3)设所求的双曲线的标准方程为－＝1(－4<λ<16)，由双曲线经过点(3，2)，得－＝1，解得λ＝4，所以双曲线的标准方程为－＝1.
13．若点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0且为常数)为两个不同的定点，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a(2a≥0且a为常数)．求动点M的轨迹．
解：若2a>2c>0，则点M的轨迹不存在．
若2a＝2c>0，则点M的轨迹是以F2为端点，且与x轴正方向同向的射线，方程为y＝0(x≥c)．
若0<2a<2c，则点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，其方程为－＝1(x≥a)．
若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，方程为x＝0.
——能力提升类——
14．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2?1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”．下列曲线中存在“Ω点”的是( D )
A.＋＝1
B.＋＝1
C．x2－＝1
D．x2－y2＝1
解析：不妨设曲线的焦点为F1，F2，由题意得|PF1|＝2|PF2|.若是椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，即|PF1|＝，|PF2|＝；
若是双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
可以验证，对于上述条件下的数量关系，选项A，B，C中的点P都不能构成满足条件的△PF1F2，只有选项D，由于a＝1，c＝，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2，可构成三角形．即存在“Ω点”的曲线是x2－y2＝1.
15．已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)与双曲线－＝1(a2>0，b2>0)有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点．
(1)试用b1，b2表示△F1PF2的面积；
(2)当b1＋b2＝m(m>0)是常数时，求△F1PF2的面积的最大值．
解：(1)如图所示，令∠F1PF2＝θ.
因|F1F2|＝2c，则a－b＝a＋b＝c2.
即a－a＝b＋b.
由椭圆、双曲线定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2(令|PF1|>|PF2|)，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，cosθ＝＝
＝＝.
所以sinθ＝.
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ
＝(a－a)·＝b1b2.
(2)当b1＋b2＝m(m>0)为常数时，
S△F1PF2＝b1b2≤()2＝，
所以△F1PF2面积的最大值为.
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1课时作业17 双曲线的简单性质
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．双曲线3x2－y2＝9的实轴长是( A )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：将方程3x2－y2＝9变形为－＝1，则a2＝3，解得a＝，即2a＝2.故选A.
2．已知双曲线－y2＝1(a>0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为( D )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
解析：由题意得实轴长为2a，虚轴长为2，焦距长为2.因为实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，所以4＝2a＋2，解得a＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( A )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：由已知e＝2，c＝4，得a＝2，得b2＝12，故双曲线的方程为－＝1.
4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是( B )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：∵e＝，c＝3，∴a＝2，
∴b2＝c2－a2＝5，
即双曲线C的标准方程为－＝1.
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( C )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
解析：∵e＝＝，∴＝，
∴b2＝a2－a2＝，
∴＝，
即渐近线方程为y＝±x.
6．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( C )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：本小题考查内容为双曲线的渐近线．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，比较y＝±x，
∴a＝2.
7．若双曲线－＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是( A )
A．2
B．1
C.
D.
解析：由题意知双曲线－＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为＝b.∵双曲线－＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b＝·2c，即b＝c＝，解得b＝1.∴该双曲线的虚轴长是2.故选A.
8．已知A，B分别为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为( D )
A.
B．2
C.
D.
解析：设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，示意图如下图，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴，垂足为点N.在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线E的方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝.故选D.
二、填空题
9．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为y＝±x.
解析：由a2＝16，b2＝9，∴渐近线方程y＝±x＝±x.
10．双曲线－＝1的离心率为，则m等于9.
解析：＝＝，∴m＝9.
11．设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为.
解析：设|AF2|＝x，则|AF1|＝3x.则2a＝|AF1|－|AF2|＝2x,2c＝＝x，故离心率e＝＝＝.
三、解答题
12．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(2)与双曲线－＝1有公共顶点，且过点A(6，)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
解：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，即λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵所求双曲线与双曲线－＝1有公共顶点，故可设所求双曲线的方程为－＝1(m>0)．
将点A(6，)的坐标代入方程－＝1，解得m＝4.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(4)方法1：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝＝，∴a＝4，
∴b2＝c2－a2＝9.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法2：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为－＝1(24<λ<49)．
又e＝，∴＝－1，
解得λ＝33.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
13．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
把点(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，∴λ＝6.
∴所求双曲线方程为x2－y2＝6，
即－＝1.
(2)由(1)知双曲线方程为x2－y2＝6，
∴双曲线的焦点F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵M点在双曲线上，
∴32－m2＝6，m2＝3.
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
——能力提升类——
14．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )
A.
B.
C．3
D．2
解析：方法1：(利用离心率的三角公式)在△F1PF2中，不妨设∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，α>β，则椭圆的离心率e1＝，双曲线的离心率e2＝，于是＋＝＝sinα≤，当且仅当α＝90°时等号成立．
方法2：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，且r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆与双曲线焦距的一半为c，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则由椭圆和双曲线的定义可得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，两边平方得4a＝r＋r＋2r1r2 ①，
4a＝r＋r－2r1r2 ②，
联立①②可得r＋r＝2a＋2a ③，
r1r2＝a－a ④，
由余弦定理可得4c2＝r＋r－2r1r2cos ⑤，
联立③④⑤可得a＋3a＝4c2，即＋＝4.
设＝2cosθ，＝2sinθ，
则＋＝2cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)，
所以＋的最大值为.
方法3：同方法2得到＋＝4后，由柯西不等式得(＋)2＝(＋·)2≤(＋)(1＋)＝(当且仅当·＝·1，即＝3时等号成立)，所以＋≤.
15．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
解：直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1,0)，(－1,0)到直线l的距离分别为d1＝，d2＝.
s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，
即5a≥2c2.
于是，得5≥2e2，
即4e4－25e2＋25≤0.
解不等式，得≤e2≤5.∵e>1，
∴e的取值范围是≤e≤.
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1课时作业18 曲线与方程
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( C )
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析：方程x2＋xy＝x可变形为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，因此方程x2＋xy＝x表示的曲线是两条直线．
2．下列说法正确的是( B )
①－＝0；
②＋＝14；
③|－|＝6；
④|－|＝18.
A．①表示无轨迹，②的轨迹是射线
B．②的轨迹是椭圆，③的轨迹是双曲线
C．①的轨迹是射线，④的轨迹是直线
D．②④均表示无轨迹
解析：－表示点(x，y)到点(－4,0)与到点(4,0)的距离的差，因此①的轨迹是连接点(－4,0)和(4,0)的线段的垂直平分线；＋表示点(x，y)到点(－4,0)与到点(4,0)的距离的和，因此②的轨迹是椭圆；③的轨迹是双曲线；④表示无轨迹．
3．到点(－1，－2)的距离等于3的动点M的轨迹方程是( B )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝3
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y－2)2＝9
解析：轨迹是以(－1，－2)为圆心，以3为半径的圆．
4．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的( B )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：到两坐标轴距离相等点的轨迹如图(1)，y＝|x|的曲线如图(2)．
∴“点M在曲线y＝|x|上”?“点M到两坐标轴距离相等”．故选B.
5．已知mn≠0，则方程mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系下的图形可能是( A )
解析：方程mx＋ny2＝0即y2＝－x，表示抛物线；方程mx2＋ny2＝1(mn≠0)表示椭圆或双曲线或不表示任何图形．
当m和n同号且为正时，抛物线开口向左，方程mx2＋ny2＝1(mn≠0)表示椭圆，无符合条件的选项．
当m和n异号时，抛物线开口向右，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线．
6．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( A )
A.＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
解析：因为|AB|＝8，|CA|＋|CB|＝18－8＝10，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a＝10,2c＝8，所以b2＝9.又因为焦点在x轴上，所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
7．已知A，B两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线MA与MB的斜率之积为－，则M点的轨迹方程是( D )
A.＋＝1
B.＋＝1(x≠±5)
C.＋＝1
D.＋＝1(x≠0)
解析：设M点的坐标为(x，y)，则kMA＝，kMB＝.由题知·＝－(x≠0)，整理，得＋＝1(x≠0)．故选D.
8．已知两定点F1(－3,0)，F2(3,0)，P为曲线＋＝1上任意一点，则( B )
A．|PF1|＋|PF2|≥10
B．|PF1|＋|PF2|≤10
C．|PF1|＋|PF2|>10
D．|PF1|＋|PF2|<10
解析：∵F1(－3,0)，F2(3,0)，∴满足|PF1|＋|PF2|＝10的点在以点F1，F2为焦点，2a＝10的椭圆上，可得椭圆的方程为＋＝1.∵曲线＋＝1表示的图形是以A(－5,0)，B(0,4)，C(5,0)，D(0，－4)为顶点的菱形，如下图，∴菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，因此，曲线＋＝1上的点P必定满足|PF1＋|PF2|≤10.
二、填空题
9．已知方程mx2＋ny2－4＝0经过点A(1，－2)，B(－2,1)，则m＝，n＝.
解析：将两点坐标代入，
得解得
10．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.
解析：由题意，＝(x，y)，＝(1,2)，则·＝x＋2y，由题设可得x＋2y＝4，即x＋2y－4＝0.即点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.
11．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是x＝.
解析：由⊙O：x2＋y2＝2，⊙O′：(x－4)2＋y2＝6知两圆相离，记切点分别为T、Q，则|PT|＝|PQ|.如图：
而|PT|2＝|PO|2－2，|PQ|2＝|PO′|2－6.∴|PO|2－2＝|PO′|2－6.设P(x，y)，则x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6.即8x＝12，即x＝.
三、解答题
12．曲线上的点P(x，y)到定点A(0，－2)的距离和到定直线y＝－8的距离之比为1?2，求曲线方程．
解：设d是点P到直线y＝－8的距离，
则d＝|y＋8|.
由题意知，曲线上的点P满足＝，
由此得＝，
化简整理得4x2＋3y2＝48，
即所求曲线方程为＋＝1.
13．半径为R的圆过原点O，圆与x轴的另一个交点为A，构造?OABC，其中BC为圆在x轴上方的一条切线，C为切点，当圆心运动时，求B点的轨迹方程．
解：设圆心为M(x0，y0)，B(x，y)，
A(2x0,0)，C(x0，y0＋R)，
∵|OA|＝|CB|，∴x＝3x0.
又BC为圆的切线，得y＝y0＋R.
∴x0＝，y0＝y－R.
∵|OM|＝R，
∴x＋y＝R2.
∴＋(y－R)2＝R2(x≠0)．
——能力提升类——
14．关于曲线C：x4＋y2＝1，给出下列四个命题：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y＝x对称；
③曲线C围成的面积大于π；
④曲线C围成的面积小于π.
上述命题中，真命题的序号为①③.
解析：对于①，将方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①是真命题．
对于②，将方程中的x换为y，y换为x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②是假命题．
对于③，在曲线C上任取一点M(x0，y0)，则x＋y＝1，∵|x0|≤1，∴x≤x，∴x＋y≥x＋y＝1，即点M在圆x2＋y2＝1上或圆外，故③是真命题，④是假命题．
15．两直线分别绕点A(a,0)和点B(－a,0)旋转，它们在y轴上的截距分别为b，b1，且bb1＝a2(a为非零常数)，试求：两直线交点的轨迹方程．
解：设M(x，y)是两直线的交点，
则M(x，y)满足两直线所确定的方程
y＝－(x－a)，y＝(x＋a)．
将上面两个方程相乘，得
y2＝－(x2－a2) ①.
将bb1＝a2代入①，
得y2＝－x2＋a2，
即x2＋y2＝a2(y≠0)．
故两直线交点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．
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