课时作业4 逻辑联结词“且”“或”“非”
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p或q是真命题，则( C )
A．p是真命题，q是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题
D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题
解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.
2．对命题p：1∈{1}，命题q：1??，下列说法正确的是( D )
A．p且q为假命题
B．p或q为假命题
C．非p为真命题
D．非q为假命题
解析：由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.
3．命题“若a?A，则b∈B”的否定是( A )
A．若a?A，则b?B
B．若a?A，则b∈B
C．若a∈A，则b?B
D．若b?A，则a∈B
解析：命题的否定只否定其结论，为：若a?A，则b?B.故应选A.
4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x<0.下列选项中为真命题的是( C )
A．綈p
B．綈p或q
C．綈q且p
D．q
解析：很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.
5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )
A．(綈p)或(綈q)
B．p或(綈q)
C．(綈p)且(綈q)
D．p或q
解析：∵綈p为“甲没降落在指定范围”，綈q为“乙没降落在指定范围”，∴“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)或(綈q)，故选A.
6．设命题p：函数y＝cos的最小正周期为2π；命题q：函数y＝tanx的图象关于直线x＝对称，则( D )
A．p为真
B．綈q为假
C．p且q为真
D．p或q为假
解析：函数y＝cos的最小正周期T＝＝π，所以p为假命题；函数y＝tanx的图象不是轴对称图形，不存在对称轴，所以q为假命题，所以綈q为真，p且q为假，p或q为假，故选D.
7．已知命题p：存在m∈R，m＋1≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p或q为假命题，则实数m的取值范围是( A )
A．m≥2
B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2
D．－2≤m≤2
解析：由p或q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2，故选A.
8．下列判断正确的是( C )
A．x2≠y2?x≠y或x≠－y
B．命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a，b都不是偶数”
C．若“p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题
D．已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，必有a>0且Δ≤0
解析：x2≠y2?(x＋y)(x－y)≠0?x≠y且x≠－y.
“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a，b至少有一个不是偶数”．
不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集时，除了a>0，还应讨论a＝0的情况．故选C.
二、填空题
9．命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p且q”“p或q”“綈p”“綈q”中，假命题是“p且q”和“綈q”，真命题是“p或q”和“綈p”．
解析：因为命题p为假，命题q为真，所以“p且q”为假，“p或q”为真，“綈p”为真，“綈q”为假．
10．若命题p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a
解析：因命题p，q均为假命题，所以“p或q”“p且q”为假命题，“綈p”为真命题．
11．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是(－∞，－3]．
解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，
即函数在(－∞，4]上为减函数，
∴－(a－1)≥4，即a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
三、解答题
12．写出由下列命题构成的“p且q”“p或q”“綈p”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：集合中的元素是确定的，q：集合中的元素是无序的；
(2)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边平行相等．
解：(1)“p且q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．
“p或q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．
“綈p”：集合中的元素不是确定的，假命题．
(2)“p且q”：梯形有一组对边平行且有一组对边平行相等，假命题．
“p或q”：梯形有一组对边平行或有一组对边平行相等，真命题．
“綈p”：梯形没有一组对边平行，假命题．
13．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax，对x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
解：p：Δ<0且a>0，故a>2；
q：a>2x－＋1，对任意x∈(－∞，－1)恒成立，设g(x)＝2x－＋1，则g(x)在(－∞，－1)上单调递增，g(x)<1，故a≥1.
“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，等价于p，q一真一假．
故1≤a≤2，则实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
——能力提升类——
14．有A，B，C三个盒子，其中一个盒子内放有一个苹果．在三个盒子上各有一张纸条，A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒子内”．如果三张纸条中只有一张写的是对的，那么苹果在B(填“A”“B”或“C”)盒子内．
解析：若苹果在A盒子内，则A，B两个盒子上的纸条写的均为真，不合题意．若苹果在B盒子内，则A，B两个盒子上的纸条写的均为假，C盒上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒子内．同样，若苹果在C盒子内，则B，C两个盒子上的纸条写的均为真，不合题意．故苹果在B盒子内．
15．已知a>1，设命题p：a(x－2)＋1>0，命题q：(x－1)2>a(x－2)＋1.试寻求使得p，q都是真命题时x的集合．
解：设A＝{x|a(x－2)＋1>0}，B＝{x|(x－1)2>a(x－2)＋1}，依据意，求使得p、q都是真命题的x的集合即是求集合A∩B.
?
?
当1而a－(2－)＝a＋－2>0，所以a>2－，
即当12或2－，且x≠2}；
当a>2时，则有此时使得p、q都是真命题的x∈{x|x>a或2－PAGE
1课时作业1 命题
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．下列语句中是命题的是( B )
A．周期函数的和是周期函数吗
B．sin45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．2
016是一个大数
解析：A，C，D不能判断真假，不是命题；B是陈述句，而且能够判断真假，是命题．
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( D )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：条件“a＝－b”和结论“|a|＝|b|”互换后得到逆命题：若|a|＝|b|，则a＝－b.故选D.
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( B )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：否命题是对原命题的条件和结论都进行否定．
4．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( C )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：原命题为真，则其逆否命题为真；逆命题为假，则其否命题也为假，故选C.
5．下列有关命题的说法正确的是( B )
A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”
B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C．“若x＝－，则2x2－1<0”的否命题为“若x≠－，则2x2－1>0”
D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析：“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，故A错误．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题，故B正确．C中命题的否命题为“若x≠－，则2x2－1≥0”，故C错误．“若cosx＝cosy，则x＝y＋2kπ或x＝－y＋2kπ”，则D中的命题是假命题，其逆否命题也是假命题．故D错误，选B.
6．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是( C )
A．若α≠，则tanα≠1
B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α＝
解析：由题意知：逆否命题需将原命题的条件和结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题的关系．
7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( C )
A．逆否命题
B．逆命题
C．否命题
D．原命题
解析：特例：p：若∠A＝∠B，则a＝b；
r：若∠A≠∠B，则a≠b；
s：若a≠b，则∠A≠∠B；
t：若a＝b，则∠A＝∠B.
8．以下命题为假命题的是( A )
A．“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆命题
B．“面积相等的三角形全等”的否命题
C．“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题
D．“若A∪B＝B，则A?B”的逆否命题
解析：对于A，“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆命题是“若方程x2＋x－m＝0有实数根，则m>0”，由判别式Δ＝1＋4m≥0，得m≥－，故是假命题；
对于B，“面积相等的三角形全等”的逆命题是“全等的三角形面积相等”为真命题，因为逆命题和否命题互为逆否命题，真假性相同，所以命题“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题；
对于C，“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，为真命题；
对于D，“若A∪B＝B，则A?B”为真命题，则“若A∪B＝B，则A?B”的逆否命题为真命题．
二、填空题
9．命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p：一个整数的末位数字是0或5；结论q：这个整数能被5整除；是真命题(填“真”或“假”)．
解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p，则q”的形式为：若一个整数的末位数字是0或5，则这个整数能被5整除，为真命题．
10．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是①④.
解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形；③平行四边形不是梯形．
11．若“x∈[2,5]”和“x∈{x|x<1，或x>4}”都是真命题，则x的范围是{x|4解析：如图：
由图知4三、解答题
12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)全等三角形的面积相等；
(2)斜率相等的两条直线平行；
(3)钝角的余弦值是负数；
(4)奇函数的图像关于原点对称．
解：(1)若两个三角形全等，则它们的面积相等，真命题．
(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行，真命题．
(3)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数，真命题．
(4)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，真命题．
13．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，且p假q真，求x的值．
解：因为p假q真，
所以可得
即??
故x的值为－1,0,1,2.
——能力提升类——
14．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；
③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是②③④(写出所有真命题的序号)．
解析：当x＝x时，未必有x1＝x2，故①是假命题．对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②是真命题．命题③的逆否命题“若f(x)为单函数，x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”为真命题，故③是真命题．当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故④是真命题．
15．已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解：假设三个方程均无实根，则有
解得
∴使三个方程均无实数根的a的取值范围为：－∴使三个方程至少有一个方程有实数根的实数a的取值范围为{a|a≤－，或a≥－1}．
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4课时作业2 充分条件与必要条件
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当12．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( A )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称?－＝1?m＝－2.
3．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( A )
A．a>b＋1
B．a>b－1
C．a2>b2
D．a3>b3
解析：由a>b＋1得a>b＋1>b，即a>b；且由a>b不能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1，故选A.
4．一次函数y＝－x＋的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )
A．m>1，且n<1
B．mn<0
C．m>0，且n<0
D．m<0，且n<0
解析：因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.
5．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的( C )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵α∥β，l⊥平面α，∴l⊥平面β，又直线m?平面β，∴l⊥m.而l⊥m，m?平面β，不能得出l⊥平面β，又直线l⊥平面α，故得不出α∥β，选C.
6．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝，弦长为|AB|＝2＝，
∴S△OAB＝×|AB|·d＝＝，∴k＝±1，
因此当“k＝1”时，“S△OAB＝”，故充分性成立．
“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，
∴必要性不成立，故选A.
7．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a>3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)<0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点，不一定是a>3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1，2]上存在零点．所以“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.
8．b>0是函数f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上单调的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：函数f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋)2＋c－.
由函数在[0，＋∞)上单调，知－≤0，即b的取值范围是N＝{b|b≥0}，
记M＝{b|b>0}，从而知M?N，
从而b>0是函数f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上单调的充分不必要条件．
二、填空题
9．“a＝1”是“y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．
解析：由a＝1，得y＝cos2x－sin2x＝cos2x，T＝＝π；反之，y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，由T＝＝π，得a＝±1.
10．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的充分不必要条件．
解析：∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，
∴x1＋x2＝－5.
当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．
11．已知集合A＝{x|log
(x＋2)<0}，集合B＝{x|(x－a)(x－b)<0}，若“a＝－3”是“A∩B≠?”的充分条件，则实数b的取值范围是b>－1.
解析：由题意知，A＝{x|x>－1}，当a＝－3时，B＝{x|(x＋3)(x－b)<0}，由A∩B≠?，得b>－1.
三、解答题
12．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sinA≠.
解：(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cosB＝<0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p?q，q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件．
(4)转化为△ABC中sinA＝是A＝30°的什么条件．
∵A＝30°?sinA＝，但是sinA＝?A＝30°，∴△ABC中sinA＝是A＝30°的必要不充分条件．
即p是q的必要不充分条件．
13．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．
解：由(x－a)2<1得，
x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1又由x2－5x－24<0得－3∵M是N的充分条件，∴M?N，
∴，解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是－2≤a≤7.
——能力提升类——
14．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为A，B两个几何体等高，所以由祖暅原理得，若A，B的体积不相等，则等高处的截面面积不恒相等，若恒相等，则A，B的体积相等，所以p?q；当等高处截面面积不恒相等时，A，B的体积有可能相等，例如，A，B为两个一模一样的棱台，一个上底面向上放置，一个下底面向上放置，则在等高处的截面面积不恒相等，但它们体积相等，故q?p，因此p是q的充分不必要条件．
15．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明：(1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝，
将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
(2)充分性：∵∠A＝90°，
∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2. ①
将①式代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0.
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
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4课时作业3 全称量词与存在量词
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．下列命题是特称命题的是( D )
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于或等于3
解析：含有存在量词的命题叫作特称命题，故D“存在实数大于或等于3”是特称命题．
2．若命题p：所有对数函数都是单调函数，则p的否定为( C )
A．所有对数函数都不是单调函数
B．所有单调函数都不是对数函数
C．存在一个对数函数不是单调函数
D．存在一个单调函数不是对数函数
3．下列命题：
(1)至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
(2)对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
(3)对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
(4)存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有( B )
A．1个
B．2个
C．4个
D．0个
解析：(1)中的量词“至少有一个”和(4)中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．(2)、(3)中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题．故选B.
4．下列命题中的假命题是( C )
A．存在x∈R，lgx＝0
B．存在x∈R，tanx＝1
C．任意x∈R，x3＞0
D．任意x∈R,2x＞0
解析：本题主要考查全称命题和特称命题真假的判断．对于选项C，当x<0时，x3<0，故C是假命题．
5．命题“存在x0∈?RQ，x∈Q”的否定是( D )
A．存在x0??RQ，x∈Q
B．存在x0∈?RQ，x?Q
C．任意x??RQ，x3∈Q
D．任意x∈?RQ，x3?Q
解析：本题考查量词命题的否定改写．
任意x∈?RQ，x3?Q，注意量词一定要改写．
6．“a≥0”是“存在x∈R，ax2＋x＋1≥0为真命题”的( C )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a≥0时，存在x∈R，ax2＋x＋1≥0；但存在x∈R，ax2＋x＋1≥0时，a<0也可以．
7．已知命题p：对任意x∈R，存在m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命题p是真命题，则实数m的取值范围是( C )
A．[－2,2]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]
D．[－2，＋∞)
解析：由4x＋2xm＋1＝0，得－m＝＝2x＋≥2，解得m≤－2.
8．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足2ax0＋b＝0，则下列命题中为假命题的是( C )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题意知，x＝－为函数f(x)图像的对称轴方程，且x0＝－，又a>0，所以f(x0)为函数f(x)的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)．因此，“对任意x∈R，f(x)≤f(x0)”是假命题，故选C.
二、填空题
9．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；
③存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．
其中是全称命题且为真命题的序号是④.
解析：①是全称命题，但为假命题；②不是命题；③是特称命题．
10．下列命题和命题“任给x∈R，x2>3”的表述意义相同的是②③.(填序号)
①有一个x∈R，使得x2>3；
②每一个实数x，x2>3都成立；
③对所有的x∈R，x2>3；
④至少有一个x∈R，使得x2>3.
解析：考查全称命题的不同表述方法．
11．若命题“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
解析：由题意知，不等式x2＋(1－a)x＋1<0有实数解，则对应方程x2＋(1－a)x＋1＝0的根的判别式Δ＝(1－a)2－4>0，解得a>3或a<－1.
三、解答题
12．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
(3)任意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)存在x0∈Z，log2x0>0.
解：(1)全称命题，真命题．
(2)特称命题，真命题．
(3)全称命题，假命题．例如，存在x＝，但x2＝3是有理数．
(4)特称命题，真命题．
13．若命题“对任意x∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”为真命题，求a的取值范围．
解：当a＝－1时，不等式不恒成立；
当a＝1时，原不等式恒成立．
当a2－1≠0时，
所以－所以a的取值范围是(－，1]．
——能力提升类——
14．下列函数中，对任意a∈R，都有f(a)＋f(－a)＝1成立的是( B )
A．f(x)＝ln
B．f(x)＝cos2(x－)
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：对于A,
f(x)是偶函数，因此f(a)＋f(－a)＝2f(a)≠1，不满足题意．对于B,
f(x)＝＝(1＋sin2x)，对任意a∈R，都有f(a)＋f(－a)＝1成立，满足题意．对于C，f(a)＋f(－a)＝＋
＝2≠1，因此不满足题意．对于D，x＝0时，f(x)没有意义．
15．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过点(－1,0)，是否存在常数a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤对于一切实数x均成立．
解：假设存在常数a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤对于一切实数x均成立．
∵f(x)的图像过点(－1,0)，
∴a－b＋c＝0. ①
∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，∴当x＝1时，也成立，即1≤a＋b＋c≤1，故有a＋b＋c＝1，②
∴由①②得b＝，c＝－a，
∴f(x)＝ax2＋x＋－a.
故由x≤ax2＋x＋－a≤对一切x∈R均成立，得恒成立
??
∴a＝，c＝－a＝.
故存在一组常数a＝，b＝，c＝，使得不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立．
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