2.2直线的方程 同步学案
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解析几何（1）
直线的方程学案
一．学习目标
解析几何是指用代数的方法（坐标）解决几何问题，高中阶段分为直线的方程、圆的方程、圆锥曲线三部分内容；这是每年高考一大难度点，里面涉及比较大的运算量，对运算能力提出较高的要求；同时，基本方法的熟练掌握也是本部分要求掌握的情况；
解析几何总体的知识点与解题思路比较多并且散，在学习的过程中注意思路的总结；另外，对于“由数想形”、“由形转数”的数形结合思想是解析几何的非常重要的思想思维。
二．基础知识
1.直线的倾斜角与斜率：
倾斜角与斜率是表示直线方向的两个数学量；
(1)倾斜角
①定义：在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时(取轴作为基准)，轴正方向与直线向上方向之间所成的角；
②范围：当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，故直线的倾斜角的取值范围为；
(2)斜率
①定义：当时，表示直线的斜率，用表示，即；特殊的，当时，直线的斜率不存在；
②计算公式：给定两点、，在的情况下，经过、两点的直线的斜率公式为；当时，直线的斜率不存在。
③对于直线，。
2.直线的方程：
①点斜式：过点且斜率为的直线方程：；但是同样的，排除了斜率不存在的情况；
②初中阶段只接触到一种直线形式方程，即一次函数的表达式，这也就是这里所说的斜截式（待定系数称为斜率，待定系数称为截距）；对于斜率的情况，如果等于0，方程转化为；但是包含不了斜率不存在的情形；同时可以看出，斜截式也是点斜式的一种特殊情况。
③两点式：过两点、的直线方程：，推导原理便是证明三
点共线的一般思路（即证明每两点之间的斜率相等或者方向向量平行）；排除了垂直于坐标轴的直线，但是一般不常用；
④截距式：直线在轴、轴的截距分别为、，则该直线的方程为，受到方程基本形式的影响，不包含直线垂直于坐标轴的情况以及过原点的直线；这也可以看做是两点式的特殊情况。
⑤一般式：待定系数法解决函数方程解析式的一般思路，基本形式如下所述：，；该种形式一般也不常用，主要用于最终结果答案的书写，以及后面几何结论的证明与求解（比如点到直线的距离公式等等）。
对于直线方程的五种形式，在解题的过程中合理选择适当的公式，解题过程中有比较好的效果。
3.两直线的位置关系：
斜截式
一般式
方程
相交
垂直
平行
重合
且
4.两直线相交
交点：直线：和：的公共点的坐标与方程组的解一一对应。
①相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
②平行?方程组无解；
③重合?方程组有无数个解。
5.到角公式与夹角公式：
①两条直线与所成的角：到的到角：逆时针旋转所转过的角度
；
到角的计算公式：
②到角与倾斜角之间的关系：
已知与分别是与的倾斜角，是到的到角。
若，则；
若，则；
若，则；
③夹角的计算公式：
特殊的，当时，。
6.距离
①与之间的距离
②点到直线的距离：
特殊的，点到轴的距离：；到轴的距离：
③两条平行直线之间的距离：
7.基础知识理解
1.每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度；
2.在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在；注意检验当斜率不存在时是否符合题意。
3.注意：若是到的到角，则到的到角是。此说法是错误的，因为当时，两个到角均为0°。
4.在利用距离公式求解时，点到直线的距离，需要将直线方程转化为一般形式；两条平行直线之间的距离，应将的系数统一。
5.直线系方程
①平行于直线的直线系方程：(λ≠C)；
②垂直于直线的直线系方程：；
③过两条已知直线、交点的直线系方程：
(不包括直线)．
三．典例分析与性质总结
题型1：求直线的斜率、倾斜角及方程
例1：(1)直线的倾斜角的变化范围是( )
A.
B．
C.
D.
(2)根据所给条件求直线的方程：
①直线过点，倾斜角的正弦值为；
②直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12；
③直线过点，且到原点的距离为5.
(3)曲线上各点处的切线的倾斜角的取值范围为
。
[方法技巧]
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率的取值范围．
②利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角的取值范围．
求倾斜角的时候注意斜率是否存在。
(2)求斜率的常用方法
①已知直线上两点时，由斜率公式来求斜率；
②已知倾斜角或的三角函数值时，由来求斜率；
③方程为的直线的斜率为。
(3)求直线方程的两种方法
①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．
②待定系数法，具体步骤为：
a．设所求直线方程的某种形式；
b．由条件建立所求参数的方程(组)；
c．解这个方程(组)求出参数；
d．把参数的值代入所设直线方程。
[易错提醒]
(1)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；
(2)设直线方程时选择形式应注意：选用点斜式、斜截式要注意斜率不存在的情况，选用两点式要注意与坐标轴垂直的情况，选用截距式要注意截距为零的情况，不要漏解；
题型2：直线位置确定
从直线方程出发，直线在什么情况下经过三个象限，什么情况下经过两个象限；当直线经过三个象限时（不横不竖不过原点），直线方程可以考虑为截距式。
例：已知经过二、三、四象限，试判断各系数的符号：将直线方程转化为截距式，
可以看做，由于经过二三四象限，故而截距均为负值，可知对应的系数、都为
负值。
当直线经过两个象限时（横或竖或经过过原点），直线方程可以为或或；
当直线不经过任何一个象限时，即为坐标轴。
例2：如果，，那么直线不通过(
)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
题型3：中点问题与对称问题
熟悉两点的中点坐标公式：，
对称问题包括中心对称和轴对称：
(1)中心对称
①点关于点对称：若点与关于对称，则由中点坐标公式得
进而求解。
②直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求的直线方程．
(2)轴对称
①求解两点连线的中垂线：设两点中垂线上的任意一点的坐标是，结合中垂线的性质，到线段两个端点的距离相等，即可得到关于的方程。
即，化简即可。
②点关于直线的对称：若两点、关于直线：对称，则线段的中点在对称轴上，且连接的直线垂直于对称轴，
由方程组可得到点关于对称的点P2的坐标其中)．
③直线关于直线的对称：
a.若已知直线1与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出1上任一个已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是；（可类比于物理学中的光的反射定律）
b.若已知直线与对称轴平行，则与对称的直线和分别到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出的对称直线。
例3：已知直线：，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线：关于直线的对称直线的方程；
(3)直线关于点的对称直线的方程．
【方法归纳】
对称问题的解题策略
(1)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
(2)光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称。
题型4：两条直线的平行、垂直关系、距离的计算
例4：(1)已知两直线：和：；
①若，求实数的值；
②试判断1与2是否平行。
(2)已知点．
①求过点且与原点距离为2的直线的方程；
②求过点且与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
【方法归纳】
两直线的位置关系问题的一般步骤
(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和：，；
若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意；
(2)①若直线和有斜截式方程：，：，则直线的充分条件是。
②设、；则。
[易错提醒]
判断两直线位置关系及求距离时注意事项
(1)两条不重合直线平行时，不要忽略两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忽略一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况。
(2)使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中的系数化成分别相等的。
题型5：直线系方程
例5：求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程。
题型6：直线方程的综合应用
例6：在直线：上求一点，使得：
(1)到和的距离之差最大；
(2)到和的距离之和最小．
例7：已知直线分别与轴、轴相交于两点，若动点在线段上，则的最大值为（
）
四．变式演练与提高
1.如图中的直线的斜率分别为，则( )
A．
B．
C．
D．
2.已知点、．若直线：与线段相交，则的取值范围是( )
A．
B．
C．或
D．
3.已知等差数列的前项和为，且，，则过点和
(n∈N
)的直线的斜率是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
4.直线的倾斜角α是(
)
A.
B.
C.
D.
5.过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________．
6.直线：的倾斜角大于45°，则的取值范围是________．
7.求两条平行直线与被直线所截的线段的长度。
五．反思总结
1.数形结合思想：
由于解析几何既有数的特点，又有形的特征，因此在解题的过程中注意运用数形结合的基本思路；
2.特别提醒：
在本章节内容复习过程中，需要对于基本易错点注意积累总结，比如斜率的存在性与否等概念进行有效区分与辨析。
3.直线方程的形式及适用条件
名称
几何条件
方 程
局
限
性
点斜式
过点，斜率为
不含垂直于轴的直线
斜截式
斜率为，纵截距为
不含垂直于轴的直线
两点式
过两点
不含垂直于坐标轴的直线
截距式
在轴、轴上的截距分别为（）
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线均适用
在选择直线方程形式时，应注意各方程形式的适用限制，在解题过程中避免出现漏解情况。
六．课后作业
1.已知直线的斜率为，在轴上的截距为另一条直线的斜率的倒数，则直线的方程为( )
A．
B．
C．
D．
2.已知直线：与直线2：平行，则实数的取值为( )
A．
B．
C．2
D．
3.如果直线与直线互相垂直，则( )
A．2
B．
C．
D．
4.设m，n∈R，若直线：与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则的面积的最小值为( )
A.
B.2
C.3
D.4
5.过两直线和的交点且与直线平行的直线方程为________．
6.设直线的方程为()．
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若，直线与轴分别交于两点，为坐标原点，求面积取最小值时，直线的方程。
7.已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为
，则线段的长为( )
A．11
B．10
C．9
D．8
8.是分别经过、两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是________．
9.设曲线在点(0，1)处的切线与曲线()上点P处的切线垂直，则的坐标为
．
七．参考答案
例1：解析：
(1)直线的斜率是，
又∵，∴。
当时，倾斜角的范围是；
当时，倾斜角的范围是。
(2)①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式：
故所求直线方程或
②由题设知截距不为0，设直线方程为，
所求直线方程为或
③当斜率不存在时，所求直线方程为，符合题意；当斜率存在时，所求直线方程为
综上知，所求直线方程为或。
(3)记曲线上点P处的切线的倾斜角是，
∵，∴，
∴为钝角时，应有；
为锐角(或)时，显然成立；
综上，的取值范围是.
例2：解析：
由题意知直线的斜率，直线在轴上的截距，故直线
通过第一、二、四象限，故选C．
例3：解析：
(1)设对称点的坐标为，由已知可得
；解得；
即。
(2)在直线上取一点，如，则关于的对称点必在上，设对称点为，
则由；得；
设与的交点为，
由
得。
又过点，由两点式得直线的方程为，即；
(3)解法一：在：任取两点，如．
则关于点的对称点均在直线上．
易知，由两点式可得的方程为
解法二：设直线关于点的对称直线上的任意一点，则点关于点的对称点，
∵点在直线上，可得
例4：解析：
(1)①由直线的方程知其斜率为，
当时，直线的斜率不存在，与不垂直；
当时，直线的斜率为；由；故而。
②由①知，当时，、相交，
当时，直线的斜率为，直线的斜率为.
由可得，解得或.
当时，的方程为，的方程为，显然与重合．
当时，的方程为，的方程为，显然与平行．
所以，i当时，；
ii当时，与重合；
iii当且时，与不平行。
(2)①过P点的直线与原点距离为2，而点坐标为，可见，过且垂直于轴的直线满足条件，此时的斜率不存在，其方程为；
若斜率存在，设的方程为，即；由已知得，解得；此时的方程为；
综上，可得直线的方程为或。
②作图可得过点与原点的距离最大的直线是过点且与垂直的直线，如图．
由，得；所以；由直线方程的点斜式得
，即；即直线是过P点且与原点O距离最大
的直线，最大距离为。
例5：解析：
方法一：由方程组；解得；即交点为。
∵所求直线与直线垂直，∴所求直线的斜率为
由点斜式得所求直线方程为，即。
方法二：由垂直关系可设所求直线方程为
由方程组；可解得交点为，
代入得，故所求直线方程为。
方法三：由题意可设所求直线的方程为，
即
①
又所求直线与直线垂直，
∴，
∴，代入①式得所求直线方程为。
例6：解析：
(1)如图，设关于的对称点为，的延长线交于，在上另任取一点，则，则即为所求．
易求得直线的方程为
设，则， ①
?
?
又线段的中点在直线上，故. ②
由①②解得，，∴．
∴所在直线的方程为.
由；可得P0．
(2)设关于的对称点为，与(1)同理可得.
连接交于，在上另任取一点，有
，故即为所求．
又所在直线的方程为，故由；可得。
例7：解析：
直线方程可化为，故直线与轴的交点为，与轴的交点为，由
动点在线段上，可知，且，
即解得；
当且仅当即时取得等号。
四．变式演练与提高
1.解析：
【答案】 D
解析 直线的倾斜角是钝角，故，直线与的倾斜角与均为锐角，且，所以，因此，故选D.
2.解析：
【答案】 D
由已知直线恒过定点P(2,1)，如图所示：
若与线段相交，则，
∵，，∴，故选D。
本题判断出直线过定点是本题解决的关键，这也是一般直线方程定点求解的基本思路；主要方法在于的基本形式。
3.解析：
【答案】 A
设等差数列的公差为，因为，，所以，所以
，故选A
4.解析：
【答案】 D
∵，，
∴，
选D
5.解析：
当截距不为0时，设所求直线方程为，即；
∵点P在直线上，∴，
∴，此时所求直线的方程为
当截距为0时，设所求直线方程为，则有，即，
此时直线的方程为，即
综上，直线的方程为或
6.解析：
当时，直线的倾斜角为90°，符合要求；
当时，直线的斜率为，只要或即可，解得或或
综上可知，实数的取值范围是。
7.解析：
一般常规思路解法是两条平行直线与截线分别联立方程组，求得两个交点，再利用两点间的距离公式进行求解。
本题可以采用两平行直线之间的距离公式得到两直线之间的距离是3；然后利用夹角公式可知
；故而可知所截的线段长度为。
六．课后作业
1.解析：
【答案】 A
∵直线的斜率为，∴直线在轴上截距为2；
∴直线的方程为，故选A
2.解析：
【答案】 A
因为直线：与直线2：平行，所以，解得.
3.解析：
【答案】 C
由题意可知，解得，故选C
4.解析：
【答案】 C
原点O到直线的距离，∴，在直线的方程中，直线与轴交于点，与y轴交于点，
∴;
当且仅当时上式取等号，，故时，的面积取最小值3。
5.解析：
【答案】
联立和，得交点；设过点且与直线平行的直线方程为；把点代入即可得。
6.解析：
(1)当直线经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时，解得，此时直线的方程为，即；当直线不经过坐标原点，即且时，由
直线在两坐标轴上的截距相等可得，解得，此时直线的方程为；所以
直线的方程为或.
(2)由直线方程可得，，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
此时直线的方程为。
7.解析：
【答案】 B
依题意，，，设、，故；则、，
∴，故选B.
8.解析：
【答案】
当两条平行直线与两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大；因为，
所以两条平行直线的斜率为，所以直线的方程是，即。
9.解析：
设点的坐标为，，曲线在点P处的切线斜率()．
又曲线在点处的切线斜率，，
∴，∴，∴点的坐标为。
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精品试卷·第
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解析几何（1）
直线的方程学案
一．学习目标
解析几何是指用代数的方法（坐标）解决几何问题，高中阶段分为直线的方程、圆的方程、圆锥曲线三部分内容；这是每年高考一大难度点，里面涉及比较大的运算量，对运算能力提出较高的要求；同时，基本方法的熟练掌握也是本部分要求掌握的情况；
解析几何总体的知识点与解题思路比较多并且散，在学习的过程中注意思路的总结；另外，对于“由数想形”、“由形转数”的数形结合思想是解析几何的非常重要的思想思维。
二．基础知识
1.直线的倾斜角与斜率：
倾斜角与斜率是表示直线方向的两个数学量；
(1)倾斜角
①定义：在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时(取轴作为基准)，轴正方向与直线向上方向之间所成的角；
②范围：当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，故直线的倾斜角的取值范围为；
(2)斜率
①定义：当时，表示直线的斜率，用表示，即；特殊的，当时，直线的斜率不存在；
②计算公式：给定两点、，在的情况下，经过、两点的直线的斜率公式为；当时，直线的斜率不存在。
③对于直线，。
2.直线的方程：
①点斜式：过点且斜率为的直线方程：；但是同样的，排除了斜率不存在的情况；
②初中阶段只接触到一种直线形式方程，即一次函数的表达式，这也就是这里所说的斜截式（待定系数称为斜率，待定系数称为截距）；对于斜率的情况，如果等于0，方程转化为；但是包含不了斜率不存在的情形；同时可以看出，斜截式也是点斜式的一种特殊情况。
③两点式：过两点、的直线方程：，推导原理便是证明三
点共线的一般思路（即证明每两点之间的斜率相等或者方向向量平行）；排除了垂直于坐标轴的直线，但是一般不常用；
④截距式：直线在轴、轴的截距分别为、，则该直线的方程为，受到方程基本形式的影响，不包含直线垂直于坐标轴的情况以及过原点的直线；这也可以看做是两点式的特殊情况。
⑤一般式：待定系数法解决函数方程解析式的一般思路，基本形式如下所述：，；该种形式一般也不常用，主要用于最终结果答案的书写，以及后面几何结论的证明与求解（比如点到直线的距离公式等等）。
对于直线方程的五种形式，在解题的过程中合理选择适当的公式，解题过程中有比较好的效果。
3.两直线的位置关系：
斜截式
一般式
方程
相交
垂直
平行
重合
且
4.两直线相交
交点：直线：和：的公共点的坐标与方程组的解一一对应。
①相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
②平行?方程组无解；
③重合?方程组有无数个解。
5.到角公式与夹角公式：
①两条直线与所成的角：到的到角：逆时针旋转所转过的角度
；
到角的计算公式：
②到角与倾斜角之间的关系：
已知与分别是与的倾斜角，是到的到角。
若，则；
若，则；
若，则；
③夹角的计算公式：
特殊的，当时，。
6.距离
①与之间的距离
②点到直线的距离：
特殊的，点到轴的距离：；到轴的距离：
③两条平行直线之间的距离：
7.基础知识理解
1.每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度；
2.在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在；注意检验当斜率不存在时是否符合题意。
3.注意：若是到的到角，则到的到角是。此说法是错误的，因为当时，两个到角均为0°。
4.在利用距离公式求解时，点到直线的距离，需要将直线方程转化为一般形式；两条平行直线之间的距离，应将的系数统一。
5.直线系方程
①平行于直线的直线系方程：(λ≠C)；
②垂直于直线的直线系方程：；
③过两条已知直线、交点的直线系方程：
(不包括直线)．
三．典例分析与性质总结
题型1：求直线的斜率、倾斜角及方程
例1：(1)直线的倾斜角的变化范围是( )
A.
B．
C.
D.
(2)根据所给条件求直线的方程：
①直线过点，倾斜角的正弦值为；
②直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12；
③直线过点，且到原点的距离为5.
(3)曲线上各点处的切线的倾斜角的取值范围为
。
[方法技巧]
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率的取值范围．
②利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角的取值范围．
求倾斜角的时候注意斜率是否存在。
(2)求斜率的常用方法
①已知直线上两点时，由斜率公式来求斜率；
②已知倾斜角或的三角函数值时，由来求斜率；
③方程为的直线的斜率为。
(3)求直线方程的两种方法
①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．
②待定系数法，具体步骤为：
a．设所求直线方程的某种形式；
b．由条件建立所求参数的方程(组)；
c．解这个方程(组)求出参数；
d．把参数的值代入所设直线方程。
[易错提醒]
(1)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；
(2)设直线方程时选择形式应注意：选用点斜式、斜截式要注意斜率不存在的情况，选用两点式要注意与坐标轴垂直的情况，选用截距式要注意截距为零的情况，不要漏解；
题型2：直线位置确定
从直线方程出发，直线在什么情况下经过三个象限，什么情况下经过两个象限；当直线经过三个象限时（不横不竖不过原点），直线方程可以考虑为截距式。
例：已知经过二、三、四象限，试判断各系数的符号：将直线方程转化为截距式，
可以看做，由于经过二三四象限，故而截距均为负值，可知对应的系数、都为
负值。
当直线经过两个象限时（横或竖或经过过原点），直线方程可以为或或；
当直线不经过任何一个象限时，即为坐标轴。
例2：如果，，那么直线不通过(
)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
题型3：中点问题与对称问题
熟悉两点的中点坐标公式：，
对称问题包括中心对称和轴对称：
(1)中心对称
①点关于点对称：若点与关于对称，则由中点坐标公式得
进而求解。
②直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求的直线方程．
(2)轴对称
①求解两点连线的中垂线：设两点中垂线上的任意一点的坐标是，结合中垂线的性质，到线段两个端点的距离相等，即可得到关于的方程。
即，化简即可。
②点关于直线的对称：若两点、关于直线：对称，则线段的中点在对称轴上，且连接的直线垂直于对称轴，
由方程组可得到点关于对称的点P2的坐标其中)．
③直线关于直线的对称：
a.若已知直线1与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出1上任一个已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是；（可类比于物理学中的光的反射定律）
b.若已知直线与对称轴平行，则与对称的直线和分别到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出的对称直线。
例3：已知直线：，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线：关于直线的对称直线的方程；
(3)直线关于点的对称直线的方程．
【方法归纳】
对称问题的解题策略
(1)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
(2)光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称。
题型4：两条直线的平行、垂直关系、距离的计算
例4：(1)已知两直线：和：；
①若，求实数的值；
②试判断1与2是否平行。
(2)已知点．
①求过点且与原点距离为2的直线的方程；
②求过点且与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
【方法归纳】
两直线的位置关系问题的一般步骤
(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和：，；
若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意；
(2)①若直线和有斜截式方程：，：，则直线的充分条件是。
②设、；则。
[易错提醒]
判断两直线位置关系及求距离时注意事项
(1)两条不重合直线平行时，不要忽略两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忽略一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况。
(2)使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中的系数化成分别相等的。
题型5：直线系方程
例5：求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程。
题型6：直线方程的综合应用
例6：在直线：上求一点，使得：
(1)到和的距离之差最大；
(2)到和的距离之和最小．
例7：已知直线分别与轴、轴相交于两点，若动点在线段上，则的最大值为（
）
四．变式演练与提高
1.如图中的直线的斜率分别为，则( )
A．
B．
C．
D．
2.已知点、．若直线：与线段相交，则的取值范围是( )
A．
B．
C．或
D．
3.已知等差数列的前项和为，且，，则过点和
(n∈N
)的直线的斜率是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
4.直线的倾斜角α是(
)
A.
B.
C.
D.
5.过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________．
6.直线：的倾斜角大于45°，则的取值范围是________．
7.求两条平行直线与被直线所截的线段的长度。
五．反思总结
1.数形结合思想：
由于解析几何既有数的特点，又有形的特征，因此在解题的过程中注意运用数形结合的基本思路；
2.特别提醒：
在本章节内容复习过程中，需要对于基本易错点注意积累总结，比如斜率的存在性与否等概念进行有效区分与辨析。
3.直线方程的形式及适用条件
名称
几何条件
方 程
局
限
性
点斜式
过点，斜率为
不含垂直于轴的直线
斜截式
斜率为，纵截距为
不含垂直于轴的直线
两点式
过两点
不含垂直于坐标轴的直线
截距式
在轴、轴上的截距分别为（）
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线均适用
在选择直线方程形式时，应注意各方程形式的适用限制，在解题过程中避免出现漏解情况。
六．课后作业
1.已知直线的斜率为，在轴上的截距为另一条直线的斜率的倒数，则直线的方程为( )
A．
B．
C．
D．
2.已知直线：与直线2：平行，则实数的取值为( )
A．
B．
C．2
D．
3.如果直线与直线互相垂直，则( )
A．2
B．
C．
D．
4.设m，n∈R，若直线：与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则的面积的最小值为( )
A.
B.2
C.3
D.4
5.过两直线和的交点且与直线平行的直线方程为________．
6.设直线的方程为()．
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若，直线与轴分别交于两点，为坐标原点，求面积取最小值时，直线的方程。
7.已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为
，则线段的长为( )
A．11
B．10
C．9
D．8
8.是分别经过、两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是________．
9.设曲线在点(0，1)处的切线与曲线()上点P处的切线垂直，则的坐标为
．
七．参考答案
例1：解析：
(1)直线的斜率是，
又∵，∴。
当时，倾斜角的范围是；
当时，倾斜角的范围是。
(2)①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式：
故所求直线方程或
②由题设知截距不为0，设直线方程为，
所求直线方程为或
③当斜率不存在时，所求直线方程为，符合题意；当斜率存在时，所求直线方程为
综上知，所求直线方程为或。
(3)记曲线上点P处的切线的倾斜角是，
∵，∴，
∴为钝角时，应有；
为锐角(或)时，显然成立；
综上，的取值范围是.
例2：解析：
由题意知直线的斜率，直线在轴上的截距，故直线
通过第一、二、四象限，故选C．
例3：解析：
(1)设对称点的坐标为，由已知可得
；解得；
即。
(2)在直线上取一点，如，则关于的对称点必在上，设对称点为，
则由；得；
设与的交点为，
由
得。
又过点，由两点式得直线的方程为，即；
(3)解法一：在：任取两点，如．
则关于点的对称点均在直线上．
易知，由两点式可得的方程为
解法二：设直线关于点的对称直线上的任意一点，则点关于点的对称点，
∵点在直线上，可得
例4：解析：
(1)①由直线的方程知其斜率为，
当时，直线的斜率不存在，与不垂直；
当时，直线的斜率为；由；故而。
②由①知，当时，、相交，
当时，直线的斜率为，直线的斜率为.
由可得，解得或.
当时，的方程为，的方程为，显然与重合．
当时，的方程为，的方程为，显然与平行．
所以，i当时，；
ii当时，与重合；
iii当且时，与不平行。
(2)①过P点的直线与原点距离为2，而点坐标为，可见，过且垂直于轴的直线满足条件，此时的斜率不存在，其方程为；
若斜率存在，设的方程为，即；由已知得，解得；此时的方程为；
综上，可得直线的方程为或。
②作图可得过点与原点的距离最大的直线是过点且与垂直的直线，如图．
由，得；所以；由直线方程的点斜式得
，即；即直线是过P点且与原点O距离最大
的直线，最大距离为。
例5：解析：
方法一：由方程组；解得；即交点为。
∵所求直线与直线垂直，∴所求直线的斜率为
由点斜式得所求直线方程为，即。
方法二：由垂直关系可设所求直线方程为
由方程组；可解得交点为，
代入得，故所求直线方程为。
方法三：由题意可设所求直线的方程为，
即
①
又所求直线与直线垂直，
∴，
∴，代入①式得所求直线方程为。
例6：解析：
(1)如图，设关于的对称点为，的延长线交于，在上另任取一点，则，则即为所求．
易求得直线的方程为
设，则， ①
?
?
又线段的中点在直线上，故. ②
由①②解得，，∴．
∴所在直线的方程为.
由；可得P0．
(2)设关于的对称点为，与(1)同理可得.
连接交于，在上另任取一点，有
，故即为所求．
又所在直线的方程为，故由；可得。
例7：解析：
直线方程可化为，故直线与轴的交点为，与轴的交点为，由
动点在线段上，可知，且，
即解得；
当且仅当即时取得等号。
四．变式演练与提高
1.解析：
【答案】 D
解析 直线的倾斜角是钝角，故，直线与的倾斜角与均为锐角，且，所以，因此，故选D.
2.解析：
【答案】 D
由已知直线恒过定点P(2,1)，如图所示：
若与线段相交，则，
∵，，∴，故选D。
本题判断出直线过定点是本题解决的关键，这也是一般直线方程定点求解的基本思路；主要方法在于的基本形式。
3.解析：
【答案】 A
设等差数列的公差为，因为，，所以，所以
，故选A
4.解析：
【答案】 D
∵，，
∴，
选D
5.解析：
当截距不为0时，设所求直线方程为，即；
∵点P在直线上，∴，
∴，此时所求直线的方程为
当截距为0时，设所求直线方程为，则有，即，
此时直线的方程为，即
综上，直线的方程为或
6.解析：
当时，直线的倾斜角为90°，符合要求；
当时，直线的斜率为，只要或即可，解得或或
综上可知，实数的取值范围是。
7.解析：
一般常规思路解法是两条平行直线与截线分别联立方程组，求得两个交点，再利用两点间的距离公式进行求解。
本题可以采用两平行直线之间的距离公式得到两直线之间的距离是3；然后利用夹角公式可知
；故而可知所截的线段长度为。
六．课后作业
1.解析：
【答案】 A
∵直线的斜率为，∴直线在轴上截距为2；
∴直线的方程为，故选A
2.解析：
【答案】 A
因为直线：与直线2：平行，所以，解得.
3.解析：
【答案】 C
由题意可知，解得，故选C
4.解析：
【答案】 C
原点O到直线的距离，∴，在直线的方程中，直线与轴交于点，与y轴交于点，
∴;
当且仅当时上式取等号，，故时，的面积取最小值3。
5.解析：
【答案】
联立和，得交点；设过点且与直线平行的直线方程为；把点代入即可得。
6.解析：
(1)当直线经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时，解得，此时直线的方程为，即；当直线不经过坐标原点，即且时，由
直线在两坐标轴上的截距相等可得，解得，此时直线的方程为；所以
直线的方程为或.
(2)由直线方程可得，，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
此时直线的方程为。
7.解析：
【答案】 B
依题意，，，设、，故；则、，
∴，故选B.
8.解析：
【答案】
当两条平行直线与两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大；因为，
所以两条平行直线的斜率为，所以直线的方程是，即。
9.解析：
设点的坐标为，，曲线在点P处的切线斜率()．
又曲线在点处的切线斜率，，
∴，∴，∴点的坐标为。
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精品试卷·第
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