初中数学鲁教版九年级上册2.6利用三角函数测高练习题（含解析）

初中数学鲁教版九年级上册第二章6利用三角函数测高练习题
一、选择题
如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为：的斜坡上．宾馆AB高为129米．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像雕像的高度忽略不计，已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为则轮船E距离海岸线D的距离ED的长为米
参考数据：，
A.
262
B.
212
C.
244
D.
276
如图，有一斜坡AB的长米，坡角，则斜坡AB的铅垂高度AC为
A.
B.
C.
D.
南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为
A.
B.
C.
D.
如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是．
A.
B.
30
C.
D.
40
我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路、EF、与水平线平行，每一段上坡路、FG、与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点、C、D同一水平线上，斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为，其中小伟走平路的速度为米分，走上坡路的速度为米分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为图中所有点在同一平面内，
A.
60分钟
B.
70分钟
C.
80分钟
D.
90分钟
一把长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角的正切值为，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为，则梯子下滑的距离的长度是???
A.
B.
C.
D.
某人沿着坡度为1：3的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了
A.
30米
B.
米
C.
米
D.
米
如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离AB为米
A.
B.
C.
D.
如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为，已知斜坡AB的坡角为，米．则标识牌CD的高度是米．
A.
B.
C.
D.
如图，在山坡上种树，坡度：2，，则相邻两树的水平距离AC为
A.
5m
B.
C.
D.
10m
小明同学想要测量如图所示的仙女峰的高度，他利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角为，再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1：，那么仙女峰的高度为参考数据：
A.
650?米
B.
580?米
C.
540?米
D.
520?米
二、填空题
如图，一艘轮船在小岛A的北偏东方向且距小岛80海里的B处，沿正西方向航行一定时间后到达小岛的北偏西的C处，则该船航行的路程为______海里．
如图所示，九班数学课外活动小组在河边测量河宽这段河流的两岸平行，他们在点C测得，点D处测得，，则河宽AB约为______结果保留整数，．
如图，某人沿着有一定坡度的坡AB面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为______．
某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和大灯A离地面的距离为1m，则该车大灯照亮地面的宽度是________不考虑其他因素参考数据：，，，
三、解答题
某仓储中心有一个坡度为：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．
求该斜坡的坡面AB的长度；
现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长米，高米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当米时，点D离BC所在水平面的高度DH．
如图，海中有两个小岛C、D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距海里，该渔船自西向东航行一段时间到达B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距75海里，又测得点B与小岛D相距海里．
求的值；
求小岛C、D之间的距离计算过程中的数据不取近似值．
热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为，看大楼底部B的俯角为，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．结果精确到1米，参考数据：
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：过点作于点C，
由题意可知：，
，
，
故选：B．
过点作于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】解：如图，延长AB交ED的延长线于G，作于H，于F．
在中，米，CH：：，
米，米，
在中，米，BF：：，
米，
四边形CFGH是矩形，
米，米，
米，米，
，
，
米，
故选：B．
如图，延长AB交ED的延长线于G，作于H，于想办法求出DG，BG，根据，构建方程解决问题即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可得：，
即，
故AC．
故选：A．
直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：在和中，，，，
，，
；
故选：C．
在和中，由三角函数得出，，得出即可．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
先根据米，得出，故可得出，再由可知，由可得出，故，所以，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：在中，
，，
，
．
，，
，
，．
，
，
，
，
．
故选：B．
方法二：可以证明≌，所以，所以，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，作于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于想办法求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，作于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．
由题意：，，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
小伟从C出发到坡顶A的时间分钟，
故选：C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，勾股定理，设，，根据勾股定理得到，求得，，根据直角三角形的性质得到结论．
【解答】
解：如图，
梯子倾斜角的正切值为，
设，，
，
，
，，
，，
，
，
故梯子下滑的距离的长度是，
故选D．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示：
山坡AB的坡度为1：3，
设米，则米，
由勾股定理得：，
解得：，
即此人所在的位置升高了米；
故选：B．
根据题意作出图形，然后根据坡度为1：3，设，，根据米，利用勾股定理求解．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用勾股定理求解．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了坡度坡角问题与三角函数的定义，属于基础题．
由题意可得：，，米，然后由余弦函数的定义，即可求得答案．
【解答】
解：已知，，米，
在中，米．
故选D．
10.【答案】A
【解析】解：过点B作的延长线于点M，过点B作于点N，如图所示．
在中，米，，
米，米．
在中，米，，
米．
在中，米，，
米，
米．
故选：A．
过点B作的延长线于点M，过点B作于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合即可求出结论．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题及解直角三角形坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：在山坡上种树，坡度：2，
设，则，
，
解得：，
故AC．
故选：C．
直接利用坡角的定义设，则，进而利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了坡角的定义，正确表示出各边长是解题关键．
12.【答案】B
【解析】解：如图，过点B作于点D，
山坡BC的坡度为1：，
，
则．
为，
．
米，，
，
解得米．
答：仙女峰的高度约为580米，
故选：B．
如图，过点B作于点D，通过解直角和坡度的定义来求BD的长度即可．
本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
13.【答案】
【解析】解：如图所示：
设该船行驶的速度为x海里时，
3小时后到达小岛的北偏西的C处，
由题意得：海里，海里，
在直角三角形ABQ中，，
，
，，
在直角三角形AQC中，，
，
海里．
设该船行驶的速度为x海里时，由已知可得，，，，海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出；
本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．
14.【答案】69
【解析】解：在中，，，
，
，
在中，
，
米，
故答案为69．
在中，，，则，所以，在中，通过三角函数关系求得AB的长．
本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，
则在直角中，
，
故这个坡面的坡度为：．
故答案为：．
直接利用勾股定理得出AC的长，再利用坡角的定义得出答案．
此题主要考查了坡角的定义，正确把握坡角的定义是解题关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
本题可通过构造直角三角形来解答，过A作于D，就有了、的度数，又已知了AD的长，可在直角三角形ABD、ACD中分别求出BD、CD的长，BC就能求出了．
【解答】
解：过A作于点D，则，
在中，，，
在中，，，
．
故答案为．
17.【答案】解：坡度为：2，，
．
米；
，，
，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
【解析】根据坡度定义以及勾股定理解答即可；
证出，根据，得到，利用勾股定理求出DM的长，然后求出，进而求出MH，然后得到DH．
本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义和勾股定理是解题的关键．
18.【答案】解：过D作于E，
在中，，，
，
在中，，
；
过D作于F，
在中，，，
，
四边形BFDE是矩形，
，，
，
在中，，
小岛C，D之间的距离为75nmile
【解析】过D作于E，解直角三角形即可得到结论；
过D作于F，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线高，原则上不破坏特殊角．
19.【答案】解：由题意可得，米，，
在中，，米，
，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
即这栋楼的高度BC是95米．
【解析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
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