2020年苏科版九年级数学（上）第1章 一元二次方程（ 2020年中考真题汇总）（含答案解析）

2020年苏科版九年级数学（上）第一单元《一元二次方程》
2020年中考真题汇编（2）
一、选择题
1.（2020.日照）下列说法正确的是（??）?
A．正六边形的内角和大于五边形内角和?
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点?
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根?
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
2.（2020.鄂州）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（
）
A.
B.
C.
D.
3.（2020.菏泽）
等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（
）
A.
B.
C.
或
D.
4.（2020.滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判定
5.（2020.铜仁）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7
B．7或6
C．6或﹣7
D．6
6.（2020.遵义）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600
B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600
D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
7.（2020.定西）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（
）
A.－1或2
B.－1
C.2
D.0
8.（2020.衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2＝461
B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442
D．368（1+x）2＝442
9.（2020.河南）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（
）
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
无实数根
D.
只有一个实数根
10.（2020.龙东）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
且
11.（2020.鄂州）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（
）
A.
B.
C.
D.
12.（2020.衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（??）
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600??B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600??
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600??D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
二、填空题
13.（2020.淄博）若关于的一元二次方程x2的有实数根，那么的取值范围是_______。
14.（2020.天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
15.（2020.黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．
16.（2020.荆门）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
17.（2020.常州）若关于x的方程有一个根是1，则_________．
18.（2020.上海）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　　．
19.（2020.莱芜）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=????
?。
20.（2020.衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　
　。
21.（2020.邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为
。
22.（2020.常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为
或
　．
三、解答题
23.解方程
（1）（2020.齐齐哈尔）x2－5x＋6=0
（2）
（2020.庆阳）x2﹣4x+3=0
24.（2020.荆州）.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值
问题：解方程
提示：可以用换元法解方程
解：设，则有
原方程可化为：
续解：
25.（2020.定西）（2020.定西）如图，点，分别在正方形的边，上，且.把绕点顺时针旋转90°得到.
（1）求证：.
（2）若，，求正方形的边长.
26.（2020.鄂州）已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
27.（2020.滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
28.（2020.黑龙江龙东）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是方程的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒
（1）线段______；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．
2020年苏科版九年级数学（上）第一单元《一元二次方程》
2020年中考真题汇编（2）（答案与解析）
一、选择题
1.（2020.日照）下列说法正确的是（??）?
A．正六边形的内角和大于五边形内角和?
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点?
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根?
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
【答案】A
2.（2020.鄂州）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】4
3.（2020.菏泽）
等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（
）
A.
B.
C.
或
D.
【答案】C
4.（2020.滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判定
解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，
△＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，
不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，
即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，
所以方程没有实数根，
故选：B．
5.（2020.铜仁）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7
B．7或6
C．6或﹣7
D．6
【解答】B
6.（2020.遵义）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600
B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600
D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．
故选：D．
7.（2020.定西）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（
）
A.－1或2
B.－1
C.2
D.0
【答案】B
8.（2020.衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2＝461
B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442
D．368（1+x）2＝442
【答案】B
9.（2020.河南）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（
）
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
无实数根
D.
只有一个实数根
【答案】A
10.（2020.龙东）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
且
【答案】B
11.（2020.鄂州）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
12.
（2020.衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（??）
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600??B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600??
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600??D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
【答案】C
二、填空题
13.（2020.淄博）若关于的一元二次方程x2的有实数根，那么的取值范围是_______。
【答案】
≤9
14.（2020.天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
【答案】13
15.（2020.黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．
【详解】设这个水池深x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
答：这个水池深12尺．
故答案为：12．
16.（2020.荆门）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
17.（2020.常州）若关于x的方程有一个根是1，则_________．
【答案】1
18.（2020.上海）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　　．
【答案】4
19.（2020.莱芜）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=????
?。
【答案】4
20.（2020.衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　
　。
【答案】x2﹣1
21.（2020.邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为
。
参考答案：解：∵矩形的宽为x，且宽比长少12，?∴矩形的长为（x+12）．?依题意，得：x（x+12）＝864．?故答案为：x（x+12）＝864．?
22.（2020.常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣　．
三、解答题
23.解方程
（1）
（2020.齐齐哈尔）x2－5x＋6=0
（2）
（2020.庆阳）x2﹣4x+3=0
（1）解：由x2－5x＋6=0
可得（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴x﹣2=0或x﹣3=0
∴x1=2，x2=3．
（2）解：由x2﹣4x+3=0得（x﹣1）（x﹣3）=0，
∴x﹣1=0或x﹣3=0，
∴x1=1，x2=3．
24.（2020.荆州）.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值
问题：解方程
提示：可以用换元法解方程
解：设，则有
原方程可化为：
续解：
续解：
解得
，
经检验都是方程的解。
25.（2020.定西）如图，点，分别在正方形的边，上，且.把绕点顺时针旋转90°得到.
（1）求证：.
（2）若，，求正方形的边长.
证明：（1）如图，由旋转知，∴，.
∵，，
∴，
∴.
∴.
在和中，，
∴.
解：（2）由（1）知，即，
∵，∴.
又∵，，∴.
设正方形的边长为，则，
在中，∵，
∴.
解得，（舍去）
故正方形的边长为6.
26.（2020.鄂州）已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得，
由可得，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，
故．
27.（2020.滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
28.（2020.黑龙江龙东）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是方程的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒
（1）线段______；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【详解】（1）解方程得：(舍去)，
∴AB=6，
∵四边形是矩形，，
∴AB=CD=6，BD=2AB=12，
∴BC=AD=，
∵，
∴，
故答数为：；
（2）如图1，过点M作MH⊥BD于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°，
∴MH=MD=，
∵∠DBC=30°，CN⊥BD，
∴BN=，
当点P在线段BN上即时，
△PMN的面积；
当点P与点N重合即时，s=0，
当点P在线段ND上即时，
△PMN的面积；
∴；
（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，
当PN=PM=9-2t时，则DM=，MH=DM=，DH=，
∵，
∴，
解得：或，
即或，
则BE=或BE=，
∴点P的坐标为(，)或(，)；
当PN=NM=9-2t时，
∵，
∴，
解得或24（不合题意舍去），
∴BP=6，PE=BP=3，BE=PE=3
∴点P的坐标为(，)，
综上所述：点P坐标为(，)或(，)
．