3.1 函数定义域 同步学案

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函数定义域的应用学案
一．学习目标
函数是高中数学的重点内容，函数的定义域作为函数性质概念的第一个，占据不可替代的地位。
在后续学习解决函数单调性、奇偶性等性质问题时，应牢牢把握住“定义域优先”的原则，因此函数的定义域的求解以及应用应重点理解与掌握。
二．定义域的概念与价值
1.函数的定义域、值域：在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2.函数的三要素：定义域、值域和对应关系。
3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
4.熟记基本函数的定义域。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
①分式函数中分母不等于零；
②偶次根式函数的被开方式大于或等于0；
③一次函数、二次函数的定义域均为；
④的定义域是；
⑤(且)，、的定义域均为；
⑥(且)的定义域为；
⑦的定义域为。
三．典例分析与性质总结
题型1：定义域的求解
例1：求下列函数的定义域：
①；②；③
例2：的定义域是(　　)
A．
B．
C．
D．
例3：求下列函数的定义域：
①
②
③
④
⑤
[方法归纳]
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
题型2：定义域的逆向问题
例4：若函数的定义域是，求实数的取值范围
(定义域的逆向问题)
[方法归纳]
已知函数定义域求参数的思想方法
已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．
题型3：复合函数定义域的求法
例5：若函数的定义域为，求函数的定义域；
例6：已知的定义域为，求的定义域。
[方法归纳]
函数的定义域指的是的取值范围，而不是的取值范围；
同样的解析式对应的变量的取值范围相同，但是对于定义域来说，它指的是的取值范围。
四．都是“定义域”惹的祸
函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域；在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解。
下面各题目的做法均是错误的，试分析出现错误的原因。
①、求函数解析式时
例1：已知，求函数的解析式。
错解：令，则，
；
②、求函数最值(或值域)时
例2：若，求的最大值
错解：由已知有，代入得；
故而当时，的最大值为2。
例3：已知函，则函数的最大值为（）
错解：
在上是增函数。
故函数在时取得最大值为33。
例4：求函数的值域
错解：令，则，
；
故所求函数的值域是
③、求函数单调区间时
例5：求函数的单调递增区间.
错解：令，则，它是増函数；在上为増函数；
由复合函数的单调性可知，函数在上为増函数；
即原函数的单调增区间是。
例6：求的单调区间。
错解：令，则，当时，为减函数，当时，为增函数。
故以复合函数单调性知，原函数增区间为，减区间为。
例7：指出函数的单调增区间。
错解：；；
当时，或
函数的单调增区间为、o
④、判断函数的奇偶性时
例8：判断的奇偶性。
错解：；所以为偶函数。
五．变式演练与提高
1．函数的定义域为(　　)
A．
B．
C．
D．
2．函数的定义域为(　　)
A．
B．
C．
D.
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________．
4.已知已知的定义域为，求的定义域。
5.设的定义域是，求函数的定义域
6.若函数的定义域为，则的值为________．
7.若函数的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
六．反思总结
定义域是函数的精髓，在解决任何函数问题之前，必须先要考虑定义域的情况；
定义域是自变量取值范围的集合，因此基本初等函数的定义域要熟记于心，然后对于由其组合而成的函数的定义域情况，则是各基本初等函数取值范围的交集。
七．课后作业
1.已知集合，，则集合为（???
）
A.??????????????B.??????????????C.?????????????D.?
2.函数的定义域是（???
）
A.
B.
C.
D.
3.已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
4.已知函数值域是，则实数的取值范围是???????。???.
5.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（???
）
A.
B.
C.
D.
6.已知定义域为，求的定义域
八．参考答案
例1：解析：
①∵，即时，分式无意义，而时，分式有意义；
∴这个函数的定义域是
②∵，即时，根式无意义，
而，即时，根式才有意义，
∴这个函数的定义域是
③∵当且，即且时，根式和分式同时有意义
∴这个函数的定义域是
另解：要使函数有意义，必须：
例2：解析：
要使函数有意义，必须
∴．即函数的定义域是．
例3：解析：
①要使函数有意义，必须：，即：
∴函数的定义域为：
②要使函数有意义，必须
所以定义域为
③要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
④要使函数有意义，必须：
∴定义域为：
⑤要使函数有意义，必须：
∴定义域为：
例4：解析：
∵定义域是，
∴恒成立，
等价于
例5：解析：
要使函数有意义，必须：
函数的定义域为
例6：解析：
分析：法则要求自变量在内取值，则法则作用在上必也要求在内取值，即，解出的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考中与中的位置相同，范围也应一样。
∴解出
的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：中的与中的不是同一个，即它们意义不同。）
解：∵的定义域为，
∴，解之，
∴的定义域为
四．“都是定义域惹的祸”错解辨析
例1：解析：
剖析：因为隐含着定义域是，所以由得
的定义域为，即函数的解析式应为；这样才能保证转化的等价性。
正解：见评析，略。
②、求函数最值(或值域)时
例2：解析：
剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件中的限制条件。
正解：由得；
，因函数图象的对称轴为，时，是增函数，故当时，的最大值为4。
例3：解析：
正解：由已知所求函数的定义域是，得；
在上是增函数；故函数在时取得最大值为13。
例4：解析：
剖析：经换元后，应有，而函数在上是增函数，随着増大而无穷增大；所以当时，；故所求函数的值域是。
③、求函数单调区间时
例5：解析：
剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间。
正解：由，得的定义域为，在上为増函数，由可复合函数的单调性可确定，函数在上为増函数；函数的单调増区间是。
例6：解析：
剖析：在定义域内取，值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单调区间必须在函数定义域内；由，得或，故増区间为，减区间为。
例7：解析：
剖析：此题错在没有考虑函数的定义域，故本题的答案为。
④、判断函数的奇偶性时
例8：解析：
剖析：事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对称区间，而此函数的定义域为，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数。
五．变式演练与提升
1.解析：
选B　由题意知，且，解得，故其定义域是．
2.解析：
选D　由题意得
解得，即且。
3.解析：
∵的定义域为，∴，，
∴的定义域为。
答案：
4.解析：
由
得
所以，所求的定义域为
5.解析：
要使函数有意义，必须：
得：
∵
∴
得
∴
函数的定域义为：
6.解析：
函数的定义域是不等式的解集；不等式的解集为
，所以是方程的两个根；
由韦达定理知，；所以
7.解析：
由题意可得恒成立；
当时，恒成立；
当时，则，解得
综上可得：
七．课后作业
1.解析：
由已知得：，，，
则；故选：B.
2.解析：
要使函数有意义，则，即，即且，
即函数的定义域为，故选C．
3.解析：
若函数的定义域是一切实数，则等价为恒成立，
若，则不等式等价为，满足条件，
若，则满足，即；解得，
综上
4.解析：
设，由已知条件可知可取到上的所有值；
当时满足题意；
当时需满足，解不等式得或
所以实数的取值范围是
5.解析：
由题意，函数的定义域为，即，
令，解得
又由满足且，解得且，
所以函数的定义域为，故选B．
6.解析：
因为是上的单调递増函数，因此由，求得的值域是的定义域。
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精品试卷·第
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