2020秋人教版八上数学12.1全等三角形教学课件2（29张）

一、全等三角形的概念及其性质
全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ，重合的点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形性质：
（1） 对应边相等 （2）对应角相等
（3）周长相等 （4）面积相等
注意：“全等”的记法“≌”，全等变换：平移、旋转、翻转。
例1、已知如图（1），⊿ABC ≌⊿DCB ,
对应边:____与____,____与____,____与____,
对应角:____与____,____与____,____与____.
1.请指出图中全等三角形的对应边和对应角
2、图中△ ABD ≌ △CDB,
则AB= ；AD= ；BD= ； ∠ABD=__ ； ∠ADB=______ ； ∠A=__ ；
CD
CB
BD
∠CDB
∠CBD
∠C
AB与CD、AD与CB、BD与DB
∠ABD与∠CDB、
∠ADB与∠CBD、∠A与∠C
有公共边的，公共边是对应边.
有公共角的，公共角是对应角.
有对顶角的，对顶角是对应角.
一对最长的边是对应边，
一对最短的边是对应边.
一对最大的角是对应角，
一对最小的角是对应角.
在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？
3、如图△ABD≌ △EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长
解：
∵△ABD≌ △EBC
∴AB=EB、BD=BC
∵BD=DE+EB
∴DE=BD-EB
=BC-AB
=5-3=2cm
知识回顾：
一般三角形 全等的条件：
1.定义（重合）法；
2.SSS；
3.SAS；
4.ASA；
5.AAS.
直角三角形 全等特有的条件：
HL.
包括直角三角形
不包括其它形状的三角形
解题中常用的4种方法
练习1：如图，AB=AD,CB=CD.
求证: AC 平分∠BAD
A
D
C
B
证明：在△ABC和△ADC中
AC=AC
AB=AD
CB=CD
∴ △ABC≌△ADC （SSS）
∴ ∠BAC= ∠DAC
∴ AC平分∠BAD
2、如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC ,∠B=∠C, 试问AD=AE吗？为什么？
E
D
C
B
A
解： AD=AE
理由： 在△ACD和△ABE中
∠B=∠C
AB=AC
∠A=∠A
∴ △ACD≌△ABE （ASA）
∴ AD=AE
3、如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC
AO平分∠BAC吗？为什么？
O
C
B
A
答： AO平分∠BAC
理由：∵ OB⊥AB,OC⊥AC
∴ ∠B=∠C=90°
在Rt△ABO和Rt△ACO中
OB=OC
AO=AO
∴ Rt△ABO≌Rt△ACO （HL）
∴ ∠BAO=∠CAO
∴ AO平分∠BAC
4、如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD
求证：DC∥AB
证明：在△ABO和△CDO中
OA=OC
∠AOB= ∠COD
OB=OD
∴ △ABO≌△CDO （SAS）
∴ ∠A= ∠C
∴ DC∥AB
A
O
D
B
C
练习5： 如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？
B
A
F
E
D
C
B
A
6、如图，已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,还需要补
充的条件可以是
或
或
或
AB=ED
AC=EF
BC=DF
DC=BF
7：已知 AC=DB, ∠1=∠2.
求证: ∠A=∠D
2
1
D
C
B
A
证明：在△ABC和△DCB中
AC=DB
∠1=∠2
BC=CB
∴ △ABC≌△DCB （SAS）
∴ ∠A=∠D
8、如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。
F
E
D
C
B
A
△ABF≌△DEC
△CBF≌△FEC
△ABC≌△DEF
答：
9、如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
4
3
2
1
E
D
C
B
A
解：AC=AD
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2
∠3=∠4
EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS)
∴ BC=BD
在△ABC和△ABD中
AB=AB
∠1=∠2
BC=BD
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
∴ AC=AD
10、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD

E
D
C
A
B
变式：以上条件不变，将△ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？
证明：
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形
∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60°
∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE
即∠BCE=∠DCA
在△ACD和△BCE中
AC=BC
∠BCE=∠DCA
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS)
∴ BE=AD
分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此AD＝BC。C符合题意。
说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角 ???????????? 。
例题精析：
连接例题
例2　如图2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，
求证：⊿ADF≌⊿CBE ?????????????
　　分析：已知△ABC≌△ A1B1C1 ，相当于已知它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.
例3已知：如图3，△ABC≌△A1B1C1，AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的高.
　　求证：AD=A1D1
图3
例4：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。
分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出已知求证后，再写出证明过程。
说明：文字证明题的书写格式要标准。
例5、如图6，已知：∠A＝90°， AB=BD，ED⊥BC于 D.
　求证：AE＝ED

提示：找两个全等三角形，需连结BE.
图6
例6、如图：AB=AC，BD=CD，若∠B=28°
则∠C= ；
如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，
已知∠1+∠2=100°，则∠A= 度；
1.如图1：△ABF≌ △CDE，∠B=30°， ∠BAE= ∠DCF=20 °.求∠EFC的度数.
练习题：
2 、如图2，已知：AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD，并延长相交AC、AB于F、E点．则图形中有（?　　 ）对全等三角形.
A、2　　B、3　　C4　　D、5
C
图1
图2
（800）
3、如图3，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共有（?　　 ）
　　A、5对　　B、4对　　C、3对　　D2对
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
4、如图4，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，DE=DC，延长BE交AC于F，
　　求证：BF是△ABC中边上的高.
　　
提示：关键证明△ADC≌△BFC
B
　5、如图5，已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：∠E=∠F.
提示：由条件易证△ABC≌△CDA 从而得知∠BAC＝∠DCA ，即：AB∥CD.
知识梳理：
1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？
2：全等三角形有哪些性质？
3：三角形全等的判定方法有哪些？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT△)
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；
（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”