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单元测试
选择题
1.下列命题正确的有
( )
①若a>1,则<1;②若a+c>b,则<;③对任意实数a,都有a2≥a;④若ac2>bc2,则a>b.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
不等式(1-x)(x-2)>0的解集为
( )
A.{x|x<1,或x>2}
B.{x|1
C.{x|x<-2,或x>-1}
D.{x|-2若关于x的不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为
( )
a<-或a>
B.a>或a<0
C.a>
D.-若实数a,b满足ab>0,则a2+4b2+的最小值为
( )
A.8
B.6
C.4
D.2
某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数解析式为y=3
000+20x-0.1x2(0( )
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
若集合A={x|x2-10x+21≤0},B={x|-7≤5-2x≤4},则A∩B=
( )
A.x≤x≤3
B.{x|3≤x≤6}
C.{x|-2≤x≤7}
D.{x|6≤x≤7}
若a,b都为正实数,2a+b=1,则ab的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.
若关于x的不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围为
( )
A.m<
B.-C.-≤m≤
D.m≥
若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+2y-m2-2m<0恒成立,则实数m的取值范围为
( )
A.m<-2
或m>4
B.m<-4或m>2
C.-2D.-4已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为( )
A.9
B.12
C.16
D.10
已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为( )
A.9
B.12
C.16
D.10
二、多选题
1.
(2020福建高一月考)下列求最值的运算中,运算方法错误的有( )
A.当x<0时,x+=-(-x)+≤-2=-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故当x<0时,x+的最大值是-2
B.当x>1时,x+≥2,当且仅当x=,即x=-1或2,又由x>1,即x=2时,等号成立.故当x>1时,x+的最小值为2+=4
C.由于x2+=x2+4+-4≥2-4=2,故x2+的最小值是2
D.当x,y>0,且x+4y=2时,由于2=x+4y≥2=4,∴,又≥2=4,故当x,y>0,
且x+4y=2时,的最小值为4
若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1( )
A.当m=0时,x1=2,x2=3
B.m>-
C.当m>0时,2D.当m>0时,x1<2<3若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数,则a的取值可以是
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是
( )
A.ab≤1
B.+≤
C.a2+b2≥2
D.+≥2
三、填空题
1.若正数a,b满足2ab=2a+b,则a+8b的最小值是
设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为
.
设a+b=2,b>0,则取最小值时a的值为 .?
某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P=150-2x,生产x件风衣所需成本为C=50+30x元,要使日获利不少于1
300元,则该厂日产量x的范围为
(日产量=日销售量).
若x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为
.
四、解答题
1.
已知不等式x2-3x-4<0的解集为A,不等式x2-x-6<0的解集为B.
(1)求A∩B;
(2)若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求a,b的值.
已知正数a,b,c满足a+b+c=2,求证:++≥2.
已知m>0,n>0,不等式x2+mx-12<0的解集为{x|-6(1)求实数m,n的值;
(2)正实数a,b满足na+2mb=2,求的最小值.
已知a>0,b>0,且a2+=1,求a的最大值.
已知关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0.
(1)当a=2时,求不等式的解集;
(2)当a为常数时,求不等式的解集.
中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7
200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
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精品试卷·第
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单元测试
选择题
1.下列命题正确的有
( )
①若a>1,则<1;②若a+c>b,则<;③对任意实数a,都有a2≥a;④若ac2>bc2,则a>b.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案:B.
解析:在①中,因为a>1,所以<1,所以①正确;在②中,若a+c>b,可令a=1,c=1,b=-1,则有>,故②错误;在③中,可取a=,则a2bc2,而且c2>0,所以a>b,故④正确.
不等式(1-x)(x-2)>0的解集为
( )
A.{x|x<1,或x>2}
B.{x|1C.{x|x<-2,或x>-1}
D.{x|-2答案:B。解析:将不等式(1-x)(x-2)>0化为(x-1)(x-2)<0,解得1若关于x的不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为
( )
A.a<-或a>
B.a>或a<0
C.a>
D.-答案:C.解析:显然当a=0时不等式不恒成立.当a≠0时,由不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,
得即解得a>,
所以实数a的取值范围是a>.
若实数a,b满足ab>0,则a2+4b2+的最小值为
( )
A.8
B.6
C.4
D.2
答案:C。解析:实数a,b满足ab>0,
则a2+4b2+≥4ab+≥4,当且仅当a2=1,b2=时等号成立.
某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数解析式为y=3
000+20x-0.1x2(0( )
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
答案:C。解析:由题意,得3
000+20x-0.1x2≤25x,即x2+50x-30
000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故选C.
若集合A={x|x2-10x+21≤0},B={x|-7≤5-2x≤4},则A∩B=
( )
A.x≤x≤3
B.{x|3≤x≤6}
C.{x|-2≤x≤7}
D.{x|6≤x≤7}
答案:B.解析:因为A={x|3≤x≤7},B=
,所以A∩B={x|3≤x≤6}.
若a,b都为正实数,2a+b=1,则ab的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.
答案:B.
解析:因为a,b都为正实数,2a+b=1,
所以ab=≤=,
当且仅当2a=b,即a=,b=时,ab取得最大值.
若关于x的不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围为
( )
A.m<
B.-C.-≤m≤
D.m≥
答案:B.解析:因为关于x的不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,所以Δ>0,即1-4m2>0,所以-若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+2y-m2-2m<0恒成立,则实数m的取值范围为
( )
A.m<-2
或m>4
B.m<-4或m>2
C.-2D.-4答案:B。解析:由题意,得x+2y且x+2y=(x+2y)（+）=4++≥4+2=8,
当且仅当y=2,x=4时等号成立,
则m2+2m>8,
解得m<-4或m>2.
已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为( )
A.9
B.12
C.16
D.10
答案:C。解析:因为a>0,b>0,所以a+4b>0,
所以不等式恒成立,
即可转化为(a+4b)≥m恒成立,
即(a+4b)min≥m,因为(a+4b)=8+≥8+2=16,
当且仅当a=4b时,等号成立.所以16≥m,即m的最大值为16.
已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为( )
A.9
B.12
C.16
D.10
答案:C。解析:因为a>0,b>0,所以a+4b>0,
所以不等式恒成立,
即可转化为(a+4b)≥m恒成立,
即(a+4b)min≥m,因为(a+4b)=8+≥8+2=16,
当且仅当a=4b时,等号成立.所以16≥m,即m的最大值为16.
二、多选题
1.
(2020福建高一月考)下列求最值的运算中,运算方法错误的有( )
A.当x<0时,x+=-(-x)+≤-2=-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故当x<0时,x+的最大值是-2
B.当x>1时,x+≥2,当且仅当x=,即x=-1或2,又由x>1,即x=2时,等号成立.故当x>1时,x+的最小值为2+=4
C.由于x2+=x2+4+-4≥2-4=2,故x2+的最小值是2
D.当x,y>0,且x+4y=2时,由于2=x+4y≥2=4,∴,又≥2=4,故当x,y>0,且x+4y=2时,的最小值为4
答案:BCD。解析:
A中,根据基本不等式,可判定是正确的;
B中,当x>1时,x-1++1≥2+1=2+1,当且仅当x-1=,即x=+1时,等号成立,故当x>1时,x+的最小值为2+1,B不正确;
C中,x2+=x2+4+-4≥2-4=2,但是当x2+4=时,有x2=-1不成立,所以x2+≥2中等号不成立,即此时不能用基本不等式求最值,C不正确;
D中,两次基本不等式的等号成立条件不相同,第一次是x=4y,第二次是x=y,D不正确.
若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1( )
A.当m=0时,x1=2,x2=3
B.m>-
C.当m>0时,2D.当m>0时,x1<2<3答案:ABD
若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数,则a的取值可以是
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
答案:ABC
若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是
( )
A.ab≤1
B.+≤
C.a2+b2≥2
D.+≥2
答案:ACD
三、填空题
1.若正数a,b满足2ab=2a+b,则a+8b的最小值是.
解析:因为正数a,b满足2ab=2a+b,
所以+=1,
所以a+8b=(a+8b)(+)=++≥,
当且仅当=,且2ab=2a+b,即a=,b=时取得最小值.
设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为-1解析:由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0,
所以-1设a+b=2,b>0,则取最小值时a的值为 .?
答案:-2。解析:因为a+b=2,
所以+2+1,当且仅当,
即b=-2a=-4,或b=2a=时,等号成立.当a=时,+1=;
当a=-2时,+1=.
所以当b=-2a,a=-2时,取得最小值.
某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P=150-2x,生产x件风衣所需成本为C=50+30x元,要使日获利不少于1
300元,则该厂日产量x的范围为{x|15≤x≤45,x∈N
}(日产量=日销售量).
解析:由题意,得(150-2x)x-(50+30x)≥1
300,化简,得x2-60x+675≤0,解得15≤x≤45,且x为正整数.
若x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为.
解析:由x+2y=4,得x+2y=4≥2,所以xy≤2.
所以===2+≥2+=,
当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.
故所求的最小值为.
四、解答题
1.
已知不等式x2-3x-4<0的解集为A,不等式x2-x-6<0的解集为B.
(1)求A∩B;
(2)若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求a,b的值.
解:(1)由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,
解得-1由x2-x-6<0,得(x-3)(x+2)<0,
解得-2所以A∩B={x|-1(2)因为关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|-1所以-1,3为方程x2+ax+b=0的两根,
所以所以
已知正数a,b,c满足a+b+c=2,求证:++≥2.
证明:因为a+b+c=2,
由基本不等式,得+a≥2b,+b≥2c,+c≥2a,
三式相加可得+a++b++c≥2b+2c+2a,
所以++≥a+b+c,即++≥2.
已知m>0,n>0,不等式x2+mx-12<0的解集为{x|-6(1)求实数m,n的值;
(2)正实数a,b满足na+2mb=2,求的最小值.
解：(1)由题意可知,-6和n是方程x2+mx-12=0的两个根,∴
解得
(2)由题意和(1)可得,2a+8b=2,即a+4b=1.
∴(a+4b)=5+.
∵a>0,b>0,∴>0,>0.
∴=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=,b=时,等号成立.∴的最小值为9.
已知a>0,b>0,且a2+=1,求a的最大值.
解:因为a>0,b>0,a2+=1,
所以a===≤==,
当且仅当正数a,b满足a2=,且a2+=1,即a=,b=时等号成立.
所以a的最大值为.
已知关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0.
(1)当a=2时,求不等式的解集;
(2)当a为常数时,求不等式的解集.
解:(1)当a=2时,不等式为x2+2x-3≤0,
即(x-1)(x+3)≤0,解得-3≤x≤1.
所以不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
(2)当a为常数时,由题意,得原不等式为
[x+(1-a)]·[x+(1+a)]≤0,
不等式对应的方程的两根为x1=-a-1,x2=a-1.
①当a>0时,则-a-1②当a=0时,不等式为x2+2x+1=(x+1)2≤0,解得x=-1;
③当a<0时,则a-1<-a-1,解得a-1≤x≤-a-1.
综上可得,当a>0时,不等式的解集为{x|-a-1≤x≤a-1};
当a=0时,不等式的解集为{-1};
当a<0时,不等式的解集为{x|a-1≤x≤-a-1}.
中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7
200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
解：(1)设甲工程队的总造价为y元,
则y=3150×2x+400×+7
200=900x++7
200(2≤x≤6),900x++7
200≥900×2×+7
200=14
400.
当且仅当x=,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14
400元.
(2)由题意可得,当2≤x≤6时,900x++7
200>恒成立,即,
∴a<=(x+1)++6,
又x+1++6≥2+6=12,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立.
∴a的取值范围为{a|021世纪教育网
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