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函数的单调性：
(1)增函数与减函数
（2）函数的单调性
（3）函数的单调区间
如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间。
（4）函数单调性的求法：定义法（取值、作差、变形、定好、结论）、图像法（画出函数图像，根据图像判断单调性）、性质法（主要针对一次函数、反比例、二次函数）。常用结论：
复合函数单调性的确定法则--同增异减。
函数与函数的单调性相反。
若函数恒正或恒负时，函数与函数的单调性相反。
在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；减函数+减函数=减函数；减函数-增函数=减函数。
单调增函数
单调增函数
单调增函数
单调增函数
单调减函数
单调减函数
单调减函数
单调减函数
单调增函数
单调减函数
单调增函数
单调减函数
函数的最大值与最小值
对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y=1x。如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素。
若函数在区间上单调，则的最值必在区间端点处取得，即最大值是，最小值是
函数的奇偶性
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．
(3)若既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即D是关于原点对称的实数集。
(4)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么它们在公共定义域上，满足：
奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．
例1：函数的单调递减区间为（
）
B.
C.
D.
[解析]函数的对称周为直线x=-1，由函数的图象可知该函数在区间上是减函数，又因为该函数的定义域为，所以该函数在区间上是减函数，答案A。
例2：已知
若a=-2，求证：在上单调递增。
若a>0且在上单调递减，求a的取值范围。
【解析】（1）证明：任设，
（2）任设
例3：已知函数在定义域上是减函数，且，求实数a的取值范围。
【解析】由题知。即实数a的取值范围是。
例4：若函数在R上是增函数，则实数b的取值范围是
。
【解析】∵函数在R上为增函数，∴在各段函数上均为增函数，同时在x=0处也要满足单调递增。
由，可得。答案：
选择题
若函数在[a,b]上是增函数,则对任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论不正确的是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：由增函数的定义易知A,B,D结论正确,故选C.
已知函数在定义域[-2,3]上单调递增,则满足>的x的取值范围是
( )
A.[-2,1]
B.[-2,2]
C.[1,2]
D.(1,2]
解析：依题意有-2≤x<2x-1≤3,解得1
下列函数中，满足对任意，当x1A．
B．
C．
D．
解析：由时，，所以函数在上为减函数的函数.A选项，
在上为增函数，不符合题意.B选项，在上为减函数，符合题意.
C选项，在上为增函数，不符合题意.D选项，在上为增函数，不符合题意.故选B.
函数在上是减函数．则（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，
当0≤x≤2时，a<-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(-∞，1]
B．(-∞，0]
C．(-∞，0)
D．(0，+∞)
解析：令f(x)=-x2+2x，则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1。又∵x∈[0，2]，∴f(x)min=f(0)=f(2)=0，∴a<0.
函数在上的最小值和最大值分别是（
）
A．
B．
C．
D．，无最大值
解析：由题意知，函数的对称轴为，在上，为减函数，在上，为增函数，
故当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为.故选A
若f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是
( )
A.{x|-33}
B.{x|x<-3,或0C.{x|x<-3,或x>3}
D.{x|-3答案:B
(2020年新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
答案:D
函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
解析：作出函数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，，
函数在闭区间，上上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围是，．故选：．
填空题
如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是 .?
解析：当a=0时,f(x)=2x-3在定义域R上单调递增,故在(-∞,4)上单调递增;当a≠0时,二次函数f(x)图像的对称轴为直线x=,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0且≥4,解得≤a<0.综上,实数a的取值范围是.
函数在(-2,2)上为增函数,且,则实数m的取值范围是 .?
解析：由题意知，解得
若函数f(x)=,则x∈[3,5]的最大值为2,最小值为1.
解析:f(x)=在区间[3,5]上为减函数,当x=3时,f(x)max=2,当x=5时,f(x)min=1.
函数y=g(x)=2x-的定义域为[-1,+∞),值域为[-,+∞).
解析:因为x+1≥0,所以x≥-1,所以函数的定义域为[-1,+∞).设=t(t≥0),则x+1=t2,即x=t2-1,
所以y=2t2-t-2=2(t-)2-,t≥0,所以当t=时,ymin=-,所以函数g(x)的值域为[-,+∞).
若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b是常数)是偶函数,值域为(-∞,4],则该函数的解析式为f(x)=-2x2+4.
解析:由于f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(ab+2a)·x+2a2,所以f(-x)=bx2-(ab+2a)x+2a2,
由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x).所以ab+2a=0,所以a=0或b=-2.
又因为f(x)有最大值4,所以b=-2,且f(0)=2a2=4,所以f(x)=-2x2+4.
若函数f(x)=为奇函数,则g(x)
=-x2+2x,f(g(-1))=-15.
解析:当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=(-x)2-2x=x2-2x,所以f(x)=-x2+2x,即g(x)=-x2+2x,
因此,f(g(-1))=f(-3)=-9-6=-15.
三、解答题
1.（2020浙江高一课时练习）已知。
用定义证明在区间上是增函数。
求该函数在区间上的最大值与最小值。
解析：（1）任取
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
已知函数.
（1）求的值;
（2）判断函数在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
（3）确定x的取值范围,使得函数的图象在x轴上方(写出结论即可).
解析：（1）因为，所以.
（2）函数在(1,+∞)上单调递减.
证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1==,
由x1,x2∈(1,+∞),得(x1-1)(x2-1)>0,
由x10,所以>0,即f(x1)>f(x2).由单调性的定义可知,
在(1,+∞)上单调递减.
（2）作出函数的图象,如图所示,由图象知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,
的图象在x轴上方.
已知的解集为.
（1）求实数a，b的值;
（2）若，，求函数的最小值.
解析：（1）依题意可得方程的根为4或1，∴由根与系数的关系得即
（2）由（1）知，∵，∴，，
∴+=（+）=++5≥2+5=9
当且仅当=，即x=时等号成立,∴的最小值为9.
已知，函数对任意，总有，且当时，，.
（1）求证:是R上的减函数；
（2）求在上的最小值.
解析：（1）证明:?x1,x2∈R,且x10.因为x>0时，f
(x)<0，所以f
(x2-x1)<0.
又因为x2=(x2-x1)+x1，所以f
(x2)=f
[(x2-x1)+x1]=f
(x2-x1)+f
(x1),
所以f
(x2)-f
(x1)=f(x2-x1)<0，所以f
(x2)(x1),所以f
(x)是R上的减函数.
（2）由（1）可知f
(x)在R上是减函数，所以f
(x)在[-3，3]上单调递减，
所以f
(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).
又f
(3)=f
(1)+f
(2)=3f
(1)=3×=-2,所以函数f
(x)在[-3,3]上的最小值是-2.
已知函数.
（1）若，求函数在区间[0,3]上的最小值；
（2）若函数在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值.
解析：（1）若a=2，则f(x)=
-x2+4x-1=
-(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2，
∴函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,在区间[2,3]上单调递减,
又f(0)=
-1，
f(3)=2,∴f
(x)min=f
(0)=
-1.
(2)易知函数图象的对称轴为直线x=a,
①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,则f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=
-2；
②当0f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合题意;
③当a≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=3,解得a=3.
综上所述,a=-2或a=3.
已知函数.
（1）若，求函数的最值；
（2）若，记函数的最小值为，求关于a的函数解析式.
解析：（1）当时，其图象开口向上,且对称轴方程为，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，
，，
∴的最大值为，最小值为.
（2）函数的图象开口向上，且对称轴方程为，
当，即时，在[-1,1]上单调递增，∴；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
∴；
当，即时，在[-1,1]上单调递减，
∴.
综上可得，
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函数的单调性：
(1)增函数与减函数
（2）函数的单调性
（3）函数的单调区间
如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间。
（4）函数单调性的求法：定义法（取值、作差、变形、定好、结论）、图像法（画出函数图像，根据图像判断单调性）、性质法（主要针对一次函数、反比例、二次函数）。常用结论：
复合函数单调性的确定法则--同增异减。
函数与函数的单调性相反。
若函数恒正或恒负时，函数与函数的单调性相反。
在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；减函数+减函数=减函数；减函数-增函数=减函数。
单调增函数
单调增函数
单调增函数
单调增函数
单调减函数
单调减函数
单调减函数
单调减函数
单调增函数
单调减函数
单调增函数
单调减函数
函数的最大值与最小值
对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y=1x。如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素。
若函数在区间上单调，则的最值必在区间端点处取得，即最大值是，最小值是
函数的奇偶性
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．
(3)若既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即D是关于原点对称的实数集。
(4)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么它们在公共定义域上，满足：
奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．
例1：函数的单调递减区间为（
）
B.
C.
D.
例2：已知
若a=-2，求证：在上单调递增。
若a>0且在上单调递减，求a的取值范围。
例3：已知函数在定义域上是减函数，且，求实数a的取值范围。
例4：若函数在R上是增函数，则实数b的取值范围是
。
选择题
若函数在[a,b]上是增函数,则对任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论不正确的是
( )
A.
B.
C.
D.
已知函数在定义域[-2,3]上单调递增,则满足>的x的取值范围是
( )
A.[-2,1]
B.[-2,2]
C.[1,2]
D.(1,2]
下列函数中，满足对任意，当x1A．
B．
C．
D．
函数在上是减函数．则（ ）
A．
B．
C．
D．
当0≤x≤2时，a<-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(-∞，1]
B．(-∞，0]
C．(-∞，0)
D．(0，+∞)
函数在上的最小值和最大值分别是（
）
A．
B．
C．
D．，无最大值
若f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是
( )
A.{x|-33}
B.{x|x<-3,或0C.{x|x<-3,或x>3}
D.{x|-3(2020年新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，
的取值范围是( )
B．
C．
D．
填空题
如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
函数在(-2,2)上为增函数,且,则实数m的取值范围是 .?
若函数f(x)=,则x∈[3,5]的最大值为
,最小值为
.
函数y=g(x)=2x-的定义域为
,值域为
.
若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b是常数)是偶函数,值域为(-∞,4],则该函数的解析式为
.
若函数f(x)=为奇函数,则g(x)
=
,f(g(-1))=
.
三、解答题
1.（2020浙江高一课时练习）已知。
用定义证明在区间上是增函数。
求该函数在区间上的最大值与最小值。
已知函数.
（1）求的值;
（2）判断函数在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
（3）确定x的取值范围,使得函数的图象在x轴上方(写出结论即可).
已知的解集为.
（1）求实数a，b的值;
（2）若，，求函数的最小值.
已知，函数对任意，总有，且当时，，.
（1）求证:是R上的减函数；
（2）求在上的最小值.
已知函数.
（1）若，求函数在区间[0,3]上的最小值；
（2）若函数在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值.
已知函数.
（1）若，求函数的最值；
（2）若，记函数的最小值为，求关于a的函数解析式.
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