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常见的函数模型
（1）一次函数模型：；
（2）二次函数模型：；
（3）幂函数模型：；
（4)分段函数：。
2.
解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原。
选择题
据调查，某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车量为x辆次，存车处总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：D。根据题意可知总收入分为两部分：普通车存车费用为0.2x元和变速车存车费用（4000-x）×0.3元，所以
。故选D。
某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（
）
A.2000套
B.3000套
C.4000套
D.5000套
解析：D。因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000，由z≥5000，故至少日生产文具盒5000套，
故选D。
用长度为24
m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )
A.3
m
B.4
m
C.5
m
D.6
m
解析：A。设隔墙长为x
m,则矩形场地长为=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,即当x=3
m时,矩形面积最大.
某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是( )
A.升高7.84%
B.降低7.84%
C.降低9.5%
D.不增不减
解析：B.
设该商品原价为a,四年后的价格为a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.921
6a.∴(1-0.921
6)a=0.078
4a=7.84%a,即比原来降低7.84%.
某电子产品的利润y(单位:元)与产量x(单位:件)的函数解析式为y=-3x2+120x,要使利润获得最大值,则产量应( )
A.10件
B.20件
C.25件
D.30件
答案:B
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时，矩形中相邻两边的长x，y(8≤y<24)应为( )
A．x=15,y=12
B．x=12,y=15
C．x=14,y=10
D．x=10,y=14
解析：如图所示,过点D作DE⊥BC于点E,则=,即=,整理得y=24-x.
∴截取的矩形面积S=x=-(x-15)2+180(0由此可知,当x=15时,S取得最大值,此时y=12,故选A.
某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:
①如果一次购物不超过200元,不予以折扣;
②如果一次购物超过200元,但不超过500元,按标价予以九折优惠;
③如果一次购物超过500元的,其中500元给予九折优惠,超过500元的给予八五折优惠.
某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,那么应付款
( )
A.608元
B.574.1元
C.582.6元
D.456.8元
答案:C
如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( )
解析：A.
依题意,当0当1当2∴y=f(x)=再结合题图知应选A.
某工厂生产某产品x吨所需费用为P元.而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1
000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有
( )
A.a=45,b=-30
B.a=30,b=-45
C.a=-30,b=45
D.a=-45,b=-30
解析:A.
设生产x吨产品,若全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=x(a+)-(1
000+5x+x2)=(-)x2+(a-5)x-1000，x∈(0,+∞),
由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.所以解得a=45,b=-30.
某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（ ）
A．略有降低
B．略有提高
C．相等
D．无法确定
解析：A。设原来的价格为a，该商品的最终售价
y＝a（1+10%）（1+10%）（1﹣10%）（1﹣10%）＝0.9801a．
该商品的最终售价与原来价格相比略有降低．故选：A．
填空题
某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元.
解析：60。设涨价x元，销售的利润为y元，则，
当，即销售单价为60元时，y取得最大值.故答案为：60
生产某机器的总成本(万元)与产量(台)之间的函数关系式是，若每台机器售价均为25万元，则该厂为使所获利润最大应生产机器 台.?
解析：50。设安排生产x台机器,则获得的利润为25x-y=-x2+100x=
-(x-50)2+2
500.
故当x=50时，获利最大.
某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加1单位,成本增加1万元,又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)=4Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元,这时产品的生产数量为 .(总利润=总收入-成本)?
解析：250，300.由题意可得L(Q)=4Q-Q2-(200+Q)=-(Q-300)2+250,则当Q=300时,总利润L(Q)取得最大值250万元.
某列火车从北京西站开往石家庄,全程277
km,火车出发10
min开出13
km后,以120
km/h
的速度匀速行驶,试写出火车行驶路程s(单位:km)与匀速行驶的时间t(单位:h)之间的函数解析式s=13+120t(0≤t≤),火车离开北京西站2
h
内行驶的路程为233
km.?
解析:因为火车匀速运动的时间为(277-13)÷120=(h),所0≤t≤.
因为火车匀速行驶t
h所行驶的路程为120t,所以火车行驶的路程s与t的函数解析式是s=13+120t(0≤t≤),2
h内火车行驶的路程s=13+120×(2-)=233(km).
已知甲、乙两地相距，某人开汽车以的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以的速度返回甲地，把汽车距甲地的距离表示为时间的函数，则此函数的表达式为__________．
解析：根据题意此人运动的过程分为三个时段，
当时，；当时，；
当时，.综上所述，
三、解答题
1.
如图所示,已知边长为8
m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4
m,CD=6
m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.
(1)设MP=x
m,PN=y
m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
解析：(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,则PQ=8-y,EQ=x-4.
在△EDF中,,∴.∴y=-x+10,定义域为[4,8].
(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.
又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.所以当MP=8
m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48
m2.
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①和图②所示.
(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数解析式;
(2)该企业已筹集资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)
①
②
解析:(1)A产品:y=k1x过点(1,0.5),所以k1=.
B产品:y=k2xα过点(4,2.5),(9,3.75).所以所以
所以A产品:y=x(x≥0),B产品:y=(x≥0).
(2)设投资B产品x百万元,则投资A产品(10-x)百万元.
总利润y=(10-x)+=-(-)2+(0≤x≤10).
所以当=1.25,即x=1.562
5≈1.56时,ymax≈5.78,此时10-x=8.44.
故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,约为578万元.
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精品试卷·第
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常见的函数模型
（1）一次函数模型：；
（2）二次函数模型：；
（3）幂函数模型：；
（4)分段函数：。
2.
解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原。
选择题
据调查，某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车量为x辆次，存车处总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（
）
A.
B.
C.
D.
（2020.全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（
）
A.2000套
B.3000套
C.4000套
D.5000套
用长度为24
m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )
A.3
m
B.4
m
C.5
m
D.6
m
某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是( )
A.升高7.84%
B.降低7.84%
C.降低9.5%
D.不增不减
某电子产品的利润y(单位:元)与产量x(单位:件)的函数解析式为y=-3x2+120x,要使利润获得最大值,则产量应( )
A.10件
B.20件
C.25件
D.30件
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时，矩形中相邻两边的长x，y(8≤y<24)应为( )
A．x=15,y=12
B．x=12,y=15
C．x=14,y=10
D．x=10,y=14
某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:
①如果一次购物不超过200元,不予以折扣;
②如果一次购物超过200元,但不超过500元,按标价予以九折优惠;
③如果一次购物超过500元的,其中500元给予九折优惠,超过500元的给予八五折优惠.
某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,那么应付款
( )
A.608元
B.574.1元
C.582.6元
D.456.8元
如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( )
某工厂生产某产品x吨所需费用为P元.而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1
000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有
( )
A.a=45,b=-30
B.a=30,b=-45
C.a=-30,b=45
D.a=-45,b=-30
某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（ ）
A．略有降低
B．略有提高
C．相等
D．无法确定
填空题
某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元.
生产某机器的总成本(万元)与产量(台)之间的函数关系式是，若每台机器售价均为25万元，则该厂为使所获利润最大应生产机器 台.?
某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加1单位,成本增加1万元,又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)=4Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元,这时产品的生产数量为 .(总利润=总收入-成本)?
某列火车从北京西站开往石家庄,全程277
km,火车出发10
min开出13
km后,以120
km/h
的速度匀速行驶,试写出火车行驶路程s(单位:km)与匀速行驶的时间t(单位:h)之间的函数解析式
,火车离开北京西站2
h
内行驶的路程为
.?
已知甲、乙两地相距，某人开汽车以的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以的速度返回甲地，把汽车距甲地的距离表示为时间的函数，则此函数的表达式为__________．
三、解答题
1.
如图所示,已知边长为8
m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4
m,CD=6
m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.
(1)设MP=x
m,PN=y
m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①和图②所示.
(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数解析式;
(2)该企业已筹集资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)
①
②
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