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幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(a为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
补充：也可以表示成，也可以表示成。
幂函数的图象及应用
常见的5种幂函数的图象（）
幂函数的性质应用
常见幂函数的性质
（2）幂函数的性质补充
1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象。幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限；
2)过定点：所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都通过点（1，1）。
3)单调性：如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数；如果a<0，则幂函数在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴。其中当a>1时，幂函数在递增的趋势越来越快，图像下凹；当0
4)奇偶性：当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数。
幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系：当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过(0，0)，(1，1)
过(0，0)，(1，1)
过(1，1)
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
y=x2
、
例1：已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；
(3)二次函数；(4)幂函数．
解：(1)若f(x)为正比例函数，则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
例2：点（2，2）与点（-2，-12）分别在幂函数的图象上，问当x为何值时，有：(1);
;(3).
解析：设，分别作出它们的图象，如图所示，由图象知，
(1)当时，；(2)当x=1时，；
当时，。
选择题
下列函数中不是幂函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：C。只有不符合幂函数y＝xα的形式，故选C。
2．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：B
∵y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),
所以常函数y＝1不是幂函数．
3.
幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为( )
A.
B．64
C．2
D.
解析：A [设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.]
4.
幂函数图象过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
解析：A设，因为幂函数图象过点，所以有，解得，
所以，因为，所以.故选：A
函数f(x)＝x3的图象( )
A．关于直线y＝x对称
B．关于x轴对称
C．关于原点对称
D．关于y轴对称
解析：C
∵f(x)＝x3是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．
已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
解析：由题意可得：且为偶数，，
解得，且为偶数，，
∴．
故选：C．
7.
图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
解析：B [作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]
8.
设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
解析：A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c；y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.]
满足的实数m的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
解析：D。幂函数在为减函数，且函数值为正，在为减函数，且函数值为负，
等价于，或或，
解得或或，所以不等式的解集为.故选：D.
若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：D。设幂函数的解析式为，∵幂函数的图象过点，∴，
∴，∴，∴的定义域为，且单调递增，
∵等价于，解得，∴的解集为.故选：D.
如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nB．mC．n>m>0
D．m>n>0
解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m>2n，所以n填空题
1．函数f(x)＝ax－2＋1的图象一定过定点P，则P点的坐标是(2,2)
．
解析：∵y＝ax恒过定点(0,1)，∴函数f(x)＝ax－2＋1恒过定点(2,2)．
已知函数y＝的图象过原点，则实数m的取值范围是______________．
解析：m<－，由幂函数的性质知－2m－3>0，故m<－.
已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
解析：1
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5<0(m∈N)，则m＝0或m＝1，当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数，不合题意．当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，因此m＝1。
已知幂函数，若，则的取值范围是
解析：由题意，因为是幂函数，所以x＞0，且是递减函数，又因为
所以有
，即，所以，即a的取值范围是(3,4)
函数在区间上的值域为__________．
解析：。因为幂函数在区间上为减函数，
所以当时，函数取得最大值，又当时，，
所以函数在区间上的值域为.故答案为：.
6.幂函数的图像经过点，则_______.
解析：3。设幂函数，图像经过点，，，
，.故答案为：3
7.
函数既是幂函数又是二次函数，则_________；函数既是幂函数又是反比例函数，则_________．
解析：
。
因为是幂函数，所以设（为常数），
又因为又是二次函数，所以，即
因为是幂函数，所以设（为常数），
又因为又是反比例函数，所以，即，故答案为：；
三、解答题
1.
已知幂函数y＝f
(x)＝x－2m2－m＋3，其中
m∈{x|－2①是区间(0，＋∞)上的增函数；
②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f
(x)的值域．
解析：因为m∈{x|－2因为对任意x∈R，都有f
(－x)＋f
(x)＝0，
即f
(－x)＝－f
(x)，所以f
(x)是奇函数．
当m＝－1时，f
(x)＝x2只满足①而不满足②；
当m＝1时，f
(x)＝x0条件①、②都不满足．
当m＝0时，f
(x)＝x3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．
所以x∈[0,3]时，函数f
(x)的值域为[0,27]．
已知函数
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.
解析：(1)当a＝－1时，令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
3.
已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．
解析：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m－3＜0，解得m＜3.
∵m∈N
，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m－3是偶数，
而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m＝1.
而f(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a＋1)＜(3－2a)等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.
解得a＜－1或＜a＜.
故a的取值范围为{a|a＜－1或＜a＜}．
4.已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.
【答案】或，.
【解析】为函数，，解得或.
当时，，则，且有；
当时，，则，且有.
故所求幂函数的解析式为或，它们的定义域都是.
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幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(a为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
补充：也可以表示成，也可以表示成。
幂函数的图象及应用
常见的5种幂函数的图象（）
幂函数的性质应用
常见幂函数的性质
（2）幂函数的性质补充
1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象。幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限；
2)过定点：所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都通过点（1，1）。
3)单调性：如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数；如果a<0，则幂函数在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴。其中当a>1时，幂函数在递增的趋势越来越快，图像下凹；当04)奇偶性：当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数。
幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系：当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过(0，0)，(1，1)
过(0，0)，(1，1)
过(1，1)
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
y=x2
、
例1：已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；
(3)二次函数；(4)幂函数．
例2：点（2，2）与点（-2，-12）分别在幂函数的图象上，问当x为何值时，有：(1);
;(3).
选择题
下列函数中不是幂函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
2．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3.
幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为( )
A.
B．64
C．2
D.
4.
幂函数图象过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
函数f(x)＝x3的图象( )
A．关于直线y＝x对称
B．关于x轴对称
C．关于原点对称
D．关于y轴对称
已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
7.
图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
8.
设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
满足的实数m的取值范围是（
）.
B．
C．
D．
若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nB．mC．n>m>0
D．m>n>0
填空题
1．函数f(x)＝ax－2＋1的图象一定过定点P，则P点的坐标是(2,2)
．
已知函数y＝的图象过原点，则实数m的取值范围是______________．
已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
已知幂函数，若，则的取值范围是
（2020·上海高一课时练习）函数在区间上的值域为__________．
6.（2020·浙江省高二期中）幂函数的图像经过点，则_______.
7.
（2020·上海高一课时练习）函数既是幂函数又是二次函数，则_________；函数既是幂函数又是反比例函数，则_________．
三、解答题
1.
已知幂函数y＝f
(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2①是区间(0，＋∞)上的增函数；
②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f
(x)的值域．
已知函数
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.
3.
已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．
4.（2020·全国高一课时练习）已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.
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