苏科版九年级数学下册 7.1 正切同步练习(Word版 含解析)

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名称 苏科版九年级数学下册 7.1 正切同步练习(Word版 含解析)
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资源类型 教案
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2020-10-05 23:05:19

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文档简介

7.1
正切
一.选择题(共10小题)
1.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC的长是(  )
A.msin35°
B.mcos35°
C.
D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sinA的值为(  )
A.
B.
C.
D.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是(  )
A.
B.
C.
D.
第1题第4题第5题
4.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是(  )
A.
B.
C.
D.
5.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列四个选项中,错误的是(  )
A.sinα=cosα
B.tanC=2
C.sinβ=cosβ
D.tanα=1
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为(  )
A.
B.
C.
D.
7.如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=(  )
A.
B.
C.
D.
8.如图,在2×2正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于,则sin∠CAB=(  )A.
B.
C.
D.
9.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,AC=1,那么∠A的正切tanA等于(  )
A.
B.2
C.
D.
10.已知sinα<cosα,那么锐角α的取值范围是(  )
A.30°<α<45°
B.0°<α<45°
C.45°<α<60°
D.0°<α<90°
第7题第8题
二.填空题(共10小题)
11.如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB与CD相交于点P,则tan∠APD的值为 
 .
12.如图,P(12,a)在反比例函数图象上,PH⊥x轴于H,则tan∠POH的值为 
 .
13.如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(2,1),则tanα的值是 
 .
第13题第14题
14.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则∠OAB的正弦值是 
 .
15.如图,已知A、B、C三点均在格点上,则tanA的值为 
 .
第15题第16题
16.正方形网格中,∠AOB如图放置,则cos∠AOB的值为 
 .
17.根据锐角三角函数的定义,我们知道,对于任何锐角α,都有sin2α+cos2α=1.如果关于x的方程3x2sinα﹣4xcosα+2=0有实数根,那么锐角α的取值范围是 
 .
18.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=,则AC的长为 
 .
19.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=25cm,BC=24cm.将该梯形折叠,点A恰好与点D重合,BE为折痕,那么tanA= 
 .
第19题第20题
20.在△ABC中,AB=AC,腰上的高BD=2,底边上的高AE=4,则tanC的值为 
 .
三.解答题
21.如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1,参考数据:=1.4,=1.7,=2.2)
22.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值.
23.如图,点A(t,4)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,sinα=,求t的值.
24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN=3,AM=4,求cosB的值.
25.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,tanB=,求AB的值.
26.如图,直角坐标系中,P(3,y)是第一象限内的点,且,求sinα.
27.在△ABC中,∠B、∠C
均为锐角,其对边分别为b、c,求证:=.
28.在△ABC中,∠C=90°,BC=24cm,cosA=,求这个三角形的周长.
29.如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C与AB交于点D,过点D作DE∥A′B′交CB′于点E,连接BE.易知,在旋转过程中,△BDE为直角三角形.设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S.
(1)当α=30°时,求x的值.
(2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)以点E为圆心,BE为半径作⊙E,当S=时,判断⊙E与A′C的位置关系,并求相应的tanα值.
30.如图,在平面直角坐标系中,已知点B(4,2),BA⊥x轴于A.
(1)求tan∠BOA的值;
(2)将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C,求点C的坐标.
31.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,tan∠A=,求BC的长和sin∠B的值.
32.学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.
类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sad
A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述对角的正对定义,解下列问题:
(1)sad60°的值为(  )A.
B.1
C.
D.2
(2)对于0°<A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是 
 .
(3)已知sinα=,其中α为锐角,试求sadα的值.
 
参考答案与解析
一.选择题
1.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC的长是(  )
A.msin35°
B.mcos35°
C.
D.
【分析】根据正弦定义:把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案.
【解答】解:sin∠A=,∵AB=m,∠A=35°,∴BC=msin35°,故选:A.
【点评】此题主要考查了锐角三角函数,关键是掌握正弦定义.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sinA的值为(  )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据勾股定理求出BC,根据正弦的概念计算即可.
【解答】解:在Rt△ABC中,由勾股定理得,BC==12,∴sinA==,故选:B.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是(  )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据勾股定理,可得AC的长,根据正切函数的定义,可得答案.
【解答】解:由勾股定理,得AC==4,
由正切函数的定义,得tanA==,故选:A.
【点评】本题考查了锐角三角函数,利用正切函数的定义是解题关键.
4.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是(  )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据余弦的定义解答即可.
【解答】解:在Rt△ABC中,BC=3,AB=5,∴cosB==,故选:A.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,掌握锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键.
5.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列四个选项中,错误的是(  )
题图答图
A.sinα=cosα
B.tanC=2
C.sinβ=cosβ
D.tanα=1
【分析】观察图形可知,△ADB是等腰直角三角形,BD=AD=2,AB=2,AD=2,CD=1,AC=,利用锐角三角函数一一计算即可判断.
【解答】解:观察图象可知,△ADB是等腰直角三角形,BD=AD=2,AB=2,AD=2,CD=1,AC=,∴sinα=cosα=,故A正确,tanC==2,故B正确,tanα=1,故D正确,
∵sinβ==,cosβ=,∴sinβ≠cosβ,故C错误.故选C.
【点评】本题考查锐角三角函数的应用.等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为(  )
A.
B.
C.
D.
【分析】利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,∴BC==,
则cosB==,故选A
【点评】此题考查了锐角三角函数定义,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.
7.如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=(  )
A.
B.
C.
D.
【分析】过D作EF⊥l1,交l1于E,交l4于F,易证△ADE≌△DCF,可得∠α=∠CDF,DE=CF.在Rt△DCF中,利用勾股定理可求CD,从而得出sin∠CDF,即可求sinα.
【解答】解:过D作EF⊥l1,交l1于E,交l4于F,
∵EF⊥l1,l1∥l2∥l3∥l4,
∴EF和l2,l3,l4的夹角都是90°,
即EF与l2,l3,l4都垂直,∴DE=1,DF=2.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,AD=CD,∴∠ADE+∠CDF=90°,
又∵∠α+∠ADE=90°,∴∠α=∠CDF,
∵AD=CD,∠AED=∠DFC=90°,
∴△ADE≌△DCF,∴DE=CF=1,∴在Rt△CDF中,CD==,
∴sinα=sin∠CDF===.故选:B.
【点评】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,难度较大.
8.如图,在2×2正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于,则sin∠CAB=(  )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据勾股定理,可得AC、AB、BC的长,根据三角形的面积公式,可得CD的长,根据正弦函数的定义,可得答案.
【解答】解:如图:作CD⊥AB于D,AE⊥BC于E,
由勾股定理,得AB=AC=,BC=.
由等腰三角形的性质,得BE=BC=.
由勾股定理,得AE==,
由三角形的面积,得AB?CD=BC?AE.即CD==.
sin∠CAB===,故选:B.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,利用了勾股定理,利用三角形的面积公式得出CD的长是解题关键.
9.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,AC=1,那么∠A的正切tanA等于(  )
A.
B.2
C.
D.
【分析】根据勾股定理求出BC,根据正切的定义计算即可.
【解答】解:∵∠C=90°,AB=,AC=1,∴BC==2,则tanA==2,故选:B.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键.
10.已知sinα<cosα,那么锐角α的取值范围是(  )
A.30°<α<45°
B.0°<α<45°
C.45°<α<60°
D.0°<α<90°
【分析】首先根据正余弦的转换方法,得:cosα=sin(90°﹣α),
又sinα<cosα,即sinα<sin(90°﹣α),
再根据正弦值随着角的增大而增大,进行分析.
【解答】解:∵cosα=sin(90°﹣α),∴sinα<cosα=sin(90°﹣α).
又正弦值随着角的增大而增大,得α<90°﹣α,∴α<45°.
又α是锐角,则α的取值范围是0°<α<45度.故选B.
【点评】掌握正余弦的转换方法,同时掌握锐角三角函数值的变化规律.
二.填空题
11.如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB与CD相交于点P,则tan∠APD的值为 2 .
【分析】首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACP∽△BDP,然后由相似三角形的对应边成比例,易得DP:CP=1:3,即可得PF:CF=PF:BF=1:2,在Rt△PBF中,即可求得tan∠BPF的值,继而求得答案.
【解答】解:如图,连接BE,
∵四边形BCED是正方形,
∴DF=CF=CD,BF=BE,CD=BE,BE⊥CD,
∴BF=CF,根据题意得:AC∥BD,
∴△ACP∽△BDP,∴DP:CP=BD:AC=1:3,
∴DP:DF=1:2,∴DP=PF=CF=BF,
在Rt△PBF中,tan∠BPF==2,
∵∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=2.故答案为:2
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,三角函数的定义.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用.
12.如图,P(12,a)在反比例函数图象上,PH⊥x轴于H,则tan∠POH的值为  .
【分析】利用锐角三角函数的定义求解,tan∠POH为∠POH的对边比邻边,求出即可.
【解答】解:∵P(12,a)在反比例函数图象上,∴a==5,
∵PH⊥x轴于H,∴PH=5,OH=12,∴tan∠POH=,故答案为:.
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
13.如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(2,1),则tanα的值是  .
【分析】根据正切函数是对边比邻边,可得答案.
【解答】解:如图,tanα==。故答案为:.
【点评】本题考查了锐角三角函数,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
14.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则∠OAB的正弦值是  .
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C,构建直角三角形ACO,利用勾股定理求出斜边OA的长,即可解答.
【解答】解:如图,过点O作OC⊥AB的延长线于点C,
则AC=4,OC=2,在Rt△ACO中,AO=,
∴sin∠OAB=.故答案为:.
【点评】本题考查了解直角三角形,锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键.
15.如图,已知A、B、C三点均在格点上,则tanA的值为  .
【分析】连接BC,首先计算出BC和AC的长,再根据三角函数定义可得tanA的值.
【解答】解:连接BC,由网格图可得∠BCA=90°,
BC==,AC==2,tanA===,故答案为:.
【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义,关键是掌握tanA=∠A的对边:∠A的邻边.
16.正方形网格中,∠AOB如图放置,则cos∠AOB的值为  .
【分析】找出OB边上的格点C,连接AC,利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度,再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形,然后根据余弦=计算即可得解.
【解答】解:如图,C为OB边上的格点,连接AC,
根据勾股定理,AO==2,AC==,OC==,
所以,AO2=AC2+OC2=20,所以,△AOC是直角三角形,
cos∠AOB===.故答案为:.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,勾股定理,勾股定理逆定理,找出格点C并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
17.根据锐角三角函数的定义,我们知道,对于任何锐角α,都有sin2α+cos2α=1.如果关于x的方程3x2sinα﹣4xcosα+2=0有实数根,那么锐角α的取值范围是 0<α≤30° .
【分析】利用方程有实根判别式大于或等于零可得出关于α三角函数值的方程,然后利用因式分解的知识进行判断可得出sinα的取值范围,从而可解得答案.
【解答】解:由△=16cos2α﹣24sinα=16(1﹣sin2α)﹣24sinα≥0得:2sin2α+3sinα﹣2≤0,
∴(sinα+2)(2sinα﹣1)≤0.又∵sinα+2>0,
∴.故答案为:0<α≤30°.
【点评】本题考查了根的判别式及锐角三角函数的增减性,难度一般,关键是根据判别式的关系得出sinα的取值范围.
18.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=,则AC的长为 2 .
【分析】根据余弦定义可得=,代入AB的值可以计算出CB的长度,再根据勾股定理可以计算出AC的长.
【解答】解:∵cosB=,∴=,∵AB=6,∴BC=4,
∴AC==2,故答案为:2.
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义,以及勾股定理,关键是掌握余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA.
19.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=25cm,BC=24cm.将该梯形折叠,点A恰好与点D重合,BE为折痕,那么tanA=  .
【分析】根据折叠的性质,得∠BDE=∠A,BD=AB,∠ABE=∠DBE.再由勾股定理得CD,过点D作DG⊥AB,由勾股定理得出AD、BE,从而得出答案.
【解答】解:该梯形折叠,点A恰好与点D重合,BE为折痕,
∴BD=AB=25cm,∴CD=7cm,
过点D作DG⊥AB,则CD=BG=7cm,AG=AB﹣BG=18cm,
在Rt△ADG中,由勾股定理得,AD=30cm,∴AE=15cm,
在Rt△ABE中,由勾股定理得,BE=20cm,∴tanA===.故答案为:.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义、折叠问题以及梯形的性质,是一道综合题,是中档题.
20.在△ABC中,AB=AC,腰上的高BD=2,底边上的高AE=4,则tanC的值为  .
【分析】根据三角形的面积得到AC与BC的关系,然后由等腰三角形的性质,底边上的高也是底边上的中线,得到AC与CE的关系,再在直角△ACE中求出∠C的正切.
【解答】解:∵S△ABC=AC?BD=BC?AE,∴AC?BD=BC?AE,AE=4,BD=2∴AC=2BC
由三线合一可知CE=BC∴AC=4CE,AE===CE,
∴tanC=
故答案是:
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,根据三角形的面积得到等腰三角形的底与要的关系,再由等腰三角形的性质得到EC=BC=AC,然后在直角△ACE求出AE与EC的关系,求出∠C的正切值.
三.解答题
21.如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1,参考数据:=1.4,=1.7,=2.2)
【分析】(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2,由三角函数求出CD=2,在Rt△ABD中,由三角函数求出BD=16,即可得出结果;
(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,求出∠AMC=∠MAC=15°,tan15°=tan∠AMD=即可得出结果.
【解答】解:(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图1所示:
在Rt△ADC中,AC=4,
∵∠C=150°,∴∠ACD=30°,∴AD=AC=2,CD=AC?cos30°=4×=2,
在Rt△ABD中,tanB===,∴BD=16,∴BC=BD﹣CD=16﹣2;
(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示:
∵∠ACB=150°,∴∠AMC=∠MAC=15°,
tan15°=tan∠AMD====2﹣≈0.27≈0.3.
【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键.
22.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值.
【分析】依题意设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,先证明△CEM是直角三角形,再利用三角函数的定义求解.
【解答】解:设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,
∴EC==5x,EM==x,CM==2x,
∴EM2+CM2=CE2,∴△CEM是直角三角形,∴sin∠ECM==.
【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法.关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形,把问题转化到直角三角形中求解.
23.如图,点A(t,4)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,sinα=,求t的值.
【分析】过A作AB⊥x轴于B,根据正弦的定义和点A的坐标求出AB、OA的长,根据勾股定理计算即可.
【解答】解:过A作AB⊥x轴于B.∴,
∵,∴,∵A(t,4),∴AB=4,∴OA=6,∴.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、坐标与图形的性质,掌握在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边是解题的关键.
24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN=3,AM=4,求cosB的值.
【分析】根据AA可证△AMN∽△ABC,根据相似三角形的性质得到==,设AC=3x,AB=4x,由勾股定理得:BC=x,在Rt△ABC中,根据三角函数可求cosB.
【解答】解:∵∠C=90°,MN⊥AB,∴∠C=∠ANM=90°,
又∵∠A=∠A,∴△AMN∽△ABC,∴==,
设AC=3x,AB=4x,由勾股定理得:BC==x,
在Rt△ABC中,cosB===.
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义,相似三角形的性质勾股定理,本题关键是表示出BC,AB.
25.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,tanB=,求AB的值.
【分析】利用锐角三角函数定义求出BC的长,再利用勾股定理求出AB的长即可.
【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,tanB=,
∵tanB=,∴BC===,则AB==.
【点评】此题考查了锐角三角函数定义,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.
26.如图,直角坐标系中,P(3,y)是第一象限内的点,且,求sinα.
题图答图
【分析】根据在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边,可得答案.
【解答】解:如图:作PC⊥x于C点,由=,得y=4.
由勾股定理,得OP===5,sinα==.
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
27.在△ABC中,∠B、∠C
均为锐角,其对边分别为b、c,求证:=.
【分析】如图,过A作AD⊥BC于D,如果利用三角函数可以分别在△ABD和△ADC中可以得到sinsB,sinC的表达式,由此即可证明题目的结论.
【解答】证明:过A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,sinB=,∴AD=ABsinB,
在Rt△ADC中,sinC=,∴AD=ACsinC,∴ABsinB=ACsinC,
而AB=c,AC=b,∴csinB=bsinC,∴=.
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题.
28.在△ABC中,∠C=90°,BC=24cm,cosA=,求这个三角形的周长.
【分析】首先根据锐角三角函数的定义求出AB、AC,然后求出周长.
【解答】解:可设AC=5xcm,AB=13xcm,则BC=12xcm,
由12x=24得x=2,∴AB=26,AC=10,∴△ABC的周长为:10+24+26=60cm.
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义,不是很难.
29.如图,将含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C与AB交于点D,过点D作DE∥A′B′交CB′于点E,连接BE.易知,在旋转过程中,△BDE为直角三角形.设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S.
(1)当α=30°时,求x的值.
(2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)以点E为圆心,BE为半径作⊙E,当S=时,判断⊙E与A′C的位置关系,并求相应的tanα值.
【分析】(1)根据等腰三角形的判定,∠A=∠α=30°,得出x=1;
(2)由直角三角形的性质,AB=2,AC=,由旋转性质求得△ADC∽△BCE,根据比例关系式,求出S与x的函数关系式;
(3)当S=时,求得x的值,判断⊙E和DE的长度大小,确定⊙E与A′C的位置关系,再求tanα值.
【解答】解:(1)∵∠A=a=30°,又∵∠ACB=90°,∴∠ABC=∠BCD=60°.
∴AD=BD=BC=1.∴x=1;
(2)∵∠DBE=90°,∠ABC=60°,∴∠A=∠CBE=30°.∴AC=BC=,AB=2BC=2.
由旋转性质可知:AC=A′C,BC=B′C,∠ACD=∠BCE,∴△ADC∽△BEC,
∴=,∴BE=x.∵BD=2﹣x,∴s=×x(2﹣x)=﹣x2+x.(0<x<2)
(3)∵s=s△ABC∴﹣+=,∴4x2﹣8x+3=0,∴,.
①当x=时,BD=2﹣=,BE=×=.∴DE==.
∵DE∥A′B′,∴∠EDC=∠A′=∠A=30°.∴EC=DE=>BE,∴此时⊙E与A′C相离.
过D作DF⊥AC于F,则,.
∴.∴.
②当时,,.∴,
∴,∴此时⊙E与A'C相交.同理可求出.
【点评】本题考查的知识点:等腰三角形的判定,直角三角形的性质,相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定,是一道综合性较强的题目,难度大.
30.如图,在平面直角坐标系中,已知点B(4,2),BA⊥x轴于A.
(1)求tan∠BOA的值;
(2)将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C,求点C的坐标.
【分析】(1)根据正切的定义,对边与相邻的斜边的比,即可求解;
(2)根据图形,确定旋转以后的位置,可以直接写出坐标.
【解答】解:(1)tan∠BOA===;(2)点C的坐标是(﹣2,4).
【点评】本题主要考查了正切的定义以及图形的旋转,正确理解定义是解题的关键.
31.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,tan∠A=,求BC的长和sin∠B的值.
【分析】根据∠A的正切值用BC表示出AC,再利用勾股定理列式求解即可得到BC的长,然后求出AC的长,再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.
【解答】解:∵tan∠A==,∴AC=2BC,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(2BC)2+BC2=102,解得BC=2,
∴AC=2BC=4,sin∠B===.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,勾股定理,用BC表示出AC是解题的关键.
32.学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.
类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sad
A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述对角的正对定义,解下列问题:
(1)sad60°的值为(  )A.
B.1
C.
D.2
(2)对于0°<A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是 0<sadA<2 .
(3)已知sinα=,其中α为锐角,试求sadα的值.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质,求出底角的度数,判断出三角形为等边三角形,再根据正对的定义解答;
(2)求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可;
(3)作出直角△ABC,构造等腰三角形ACD,根据正对的定义解答.
【解答】解:(1)根据正对定义,当顶角为60°时,等腰三角形底角为60°,则三角形为等边三角形,则sad60°==1.故选B.
(2)当∠A接近0°时,sadα接近0,
当∠A接近180°时,等腰三角形的底接近于腰的二倍,故sadα接近2.
于是sadA的取值范围是0<sadA<2.故答案为0<sadA<2.
(3)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sin∠A=.在AB上取点D,使AD=AC,作DH⊥AC,H为垂足,令BC=3k,AB=5k,
则AD=AC==4k,
又∵在△ADH中,∠AHD=90°,sin∠A=.∴DH=ADsin∠A=k,AH==k.
则在△CDH中,CH=AC﹣AH=k,CD==k.
于是在△ACD中,AD=AC=4k,CD=k.
由正对的定义可得:sadA==,即sadα=.
【点评】此题是一道新定义的题目,考查了正对这一新内容,要熟悉三角函数的定义,可进行类比解答.
学校
班级
姓名
考试号
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坚持了才叫梦想,放弃了就只是空想!