苏科版九年级数学下册 7.3 特殊角的三角函数同步练习（Word版 含解析）

7.3
特殊角的三角函数
一．选择题（共15小题）
1．45°的正弦值为（　　）A．1
B．
C．
D．
2．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（　　）
A．△ABC是等腰三角形；
B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形；
D．△ABC是一般锐角三角形
3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
4．cos60°的值等于（　　）A．
B．1
C．
D．
5．因为cos60°=，cos240°=﹣，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（　　）A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
6．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
第6题第8题
7．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　）A．
B．
C．
D．
8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（　　）
A．120°
B．135°
C．145°
D．150°
9．计算：tan45°+sin30°=（　　）A．2
B．
C．
D．
10．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形；
B．等腰三角形；C．等边三角形；
D．等腰直角三角形
11．在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
12．计算sin60°+cos45°的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
13．已知∠C=75°，则∠A与∠B满足以下哪个选项才能构成△ABC（　　）
A．sinA=，sinB=
B．cosA=，cosB=
C．sinA=，tanB=
D．sinA=，cosB=
14．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（　　）
A．30°
B．40°
C．60°
D．70°
15．已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（　　）
A．0＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
二．填空题（共10小题）
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=　
　．
17．已知△ABC的内角满足|tanA﹣3|+=0，则∠C=　
　度．
18．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC=　
　．
第18题第19题
19．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则
tan（α+β）　
　tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）
20．若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为　
　．
21．计算：tan45°﹣2cos60°=　
　．
22．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α=　
　度．
23．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C=　
　．
24．已知对任意锐角α、β均有：cos（α+β）=cosα?cosβ﹣sinα?sinβ，则cos75°=　
　．
25．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是　
　三角形．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16.
；17.
；18.
；19.
；20.
；21.
；22.
；23.
；24.
；25.
；
三．解答题（共8小题）
26．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
27．计算：2sin30°+4cos30°?tan60°﹣cos245°．
28．计算：sin45°．
29．计算：cos245°+﹣?tan30°．
30．计算：2cos230°﹣sin30°+．
31．若规定：sin（α+β）=sinα?sinβ+cosα?sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．
32．已知α为锐角，sin（α+15°）=，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．
33．计算：﹣sin60°（1﹣sin30°）
参考答案与解析
一．选择题（共15小题）
1．45°的正弦值为（　　）A．1
B．
C．
D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：sin45°=，故选：C．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（　　）
A．△ABC是等腰三角形
B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形
D．△ABC是一般锐角三角形
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断．
【解答】解：∵tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°．
又∵三角形内角和为180°，∴∠C=90°．∴△ABC是等腰直角三角形．故选B．
【点评】解答此题关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定．
3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．”分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．
【解答】解：∵|sinA﹣|=0，（﹣cosB）2=0，
∴sinA﹣=0，﹣cosB=0，∴sinA=，=cosB，
∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选C．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．
4．cos60°的值等于（　　）A．
B．1
C．
D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：cos60°=，故选：D．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
5．因为cos60°=，cos240°=﹣，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（　　）A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
【分析】当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα．把210°代入计算即可．
【解答】解：∵cos（180°+α）=﹣cosα，
∴cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣．故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．
6．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．
【解答】解：连接AB，
∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA=OB，
∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=．故选C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
7．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　）A．
B．
C．
D．
【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，
∴设三个内角分别为k、2k、3k，∴k+2k+3k=180°，解得k=30°，
最小角的正切值=tan30°=．故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”求解更加简单．
8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（　　）
A．120°
B．135°
C．145°
D．150°
【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵sin∠1=，∴∠1=45°，
∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∴∠4=180°﹣∠3=135°，
又∵AB∥CD，∴∠2=∠4=135°．故选B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，以及直角三角形的性质、平行线的性质，正确理解平行线的性质是关键．
9．计算：tan45°+sin30°=（　　）A．2
B．
C．
D．
【分析】将tan45°=1，sin30°=，分别代入，然后合并即可得出答案．
【解答】解：∵tan45°=1，sin30°=，∴tan45°+sin30°=1+=．故选C．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握tan45°=1，sin30°=，难度一般，注意记忆一些特殊角的三角函数值．
10．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
【解答】解：由，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，得2cosA=，1﹣tanB=0．
解得A=45°，B=45°，则△ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
11．在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【分析】先根据非负数的性质求出tanA及cosB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，
∴tanA﹣=0，﹣cosB=0，∴tanA=，cosB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，故选B．
【点评】本题考查是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
12．计算sin60°+cos45°的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：sin60°+cos45°=，故选：B．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
13．已知∠C=75°，则∠A与∠B满足以下哪个选项才能构成△ABC（　　）
A．sinA=，sinB=
B．cosA=，cosB=
C．sinA=，tanB=
D．sinA=，cosB=
【分析】根据三角形内角和可得∠A+∠B=180°﹣75°=105°，然后再根据特殊角的三角函数进行分析即可．
【解答】解：∵∠C=75°，∴∠A+∠B=180°﹣75°=105°，
A、sinA=，sinB=，则∠A=45°，∠B=45°，∠A+∠B=90°，故此选项错误；
B、cosA=，cosB=，则∠A=60°，∠B=30°，∠A+∠B=90°，故此选项错误；
C、sinA=，tanB=，则∠A=45°，∠B=60°，∠A+∠B=105°，故此选项正确；
D、sinA=，cosB=，∠A=60°，∠B=60°，∠A+∠B=120°，故此选项错误；故选：C．
【点评】此题主要考查特殊角的三角函数值，关键掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
14．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（　　）A．30°
B．40°
C．60°
D．70°
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：sin（α﹣10o）=，得α﹣10=60°，α=70°，故选：D．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
15．已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（　　）
A．0＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
【分析】根据正切函数的增减性，可得答案．
【解答】解：＜＜1，由正切函数随锐角的增大而增大，得
tan30°＜tanA＜tan45°，即30°＜A＜45°，故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键．
二．填空题（共10小题）
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=　　．
【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．
【解答】解：∵sinA==，∴∠A=60°，∴sin=sin30°=．故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
17．已知△ABC的内角满足|tanA﹣3|+=0，则∠C=　75　度．
【分析】根据非负数的和为零，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由题意，得，解得∠A=60°，∠B=45°，
∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，故答案为与：75．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC=　　．
【分析】分别利用勾股定理求出AB、BC、AC的长度，然后判断△ABC的形状，得出∠BAC的度数，求出cos∠BAC的值．
【解答】解：AB=BC==，AC==，
则AB2+BC2=5+5=10=AC2，则△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，
则cos∠BAC=．故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及勾股定理及逆定理，解答本题的关键是判断三角形ABC为直角三角形．
19．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）　＞　tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）
【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α+β），比较即可．
【解答】解：由正方形网格图可知，tanα=，tanβ=，则tanα+tanβ=+=，
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴α+β=45°，∴tan（α+β）=1，
∴tan（α+β）＞tanα+tanβ，故答案为：＞．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为　20°　．
【分析】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．
【解答】解：∵tan（x+10°）=1，∴tan（x+10°）==，
∴x+10°=30°，∴x=20°．故答案为：20°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角对应的函数值是解题关键．
21．计算：tan45°﹣2cos60°=　0　．
【分析】把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，后计算加减法即可．
【解答】解：原式=1﹣2×，=1﹣1，=0．故答案为：0．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°，45°，60°角的三角函数值．
22．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α=　60　度．
【分析】根据30°角的余弦值等于，正切值是的锐角为60°解答即可．
【解答】解：∵tanα=2cos30°=2×=，∴α=60°．故答案为：60．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的正弦值、余弦值、正切值是解此类题目的关键．
23．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C=　105°　．
【分析】根据绝对值及完全平方的非负性，可得出∠A及∠B的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出∠C的度数．
【解答】解：∵，∴sinA=，cosB=，
∴∠A=45°，∠B=30°，故可得∠C=180°﹣45°﹣30°=105°．故答案为：105°．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出sinA=，cosB=，另外要熟练掌握特殊角的三角函数值．
24．已知对任意锐角α、β均有：cos（α+β）=cosα?cosβ﹣sinα?sinβ，则cos75°=　　．
【分析】直接利用已知公式将原式变形，进而结合特殊角的三角函数值求出答案．
【解答】解：∵cos（α+β）=cosα?cosβ﹣sinα?sinβ，
∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°?cos45°﹣sin30°?sin45°
=×﹣×=．故答案为：．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确将原式变形是解题关键．
25．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是直角三角形．
【分析】根据一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．
【解答】解：由△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，得
∠A+∠B=90°，故答案为：直角．
【点评】本题考查了余角，利用直角三角形的判定是解题关键．
三．解答题（共8小题）
26．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．
【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出tan30°cos60°+tan45°cos30°的值．
【解答】解：tan30°cos60°+tan45°cos30°
===．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．
27．计算：2sin30°+4cos30°?tan60°﹣cos245°．
【分析】将sin30°=，cos30°=，tan60°=，cos45°=代入运算，即可得出答案．
【解答】解：原式=2×+4×?﹣=1+6﹣=．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．
28．计算：sin45°．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：原式=﹣×+×=﹣+1=0．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
29．计算：cos245°+﹣?tan30°．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=（）2+﹣×=+﹣1=．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
30．计算：2cos230°﹣sin30°+．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=2×（）2﹣+=1++．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
31．若规定：sin（α+β）=sinα?sinβ+cosα?sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．
【分析】根据给出的公式，将75°和90°化为特殊角即可求出答案．
【解答】解：原式=sin（30°+45°）+sin（30°+60°）
=sin30°?cos45°+cos30°?sin45°+sin30°?cos60°+cos30°?sin60°
=×+×+×+×=+++=
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是将75°和90°化为特殊角进行计算，本题属于基础题型．
32．已知α为锐角，sin（α+15°）=，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．
【分析】首先得出α的值，进而利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质化简求出答案．
【解答】解：∵sin（α+15°）=，∴α=45°，
∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1=2﹣2+1+3=4．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
33．计算：﹣sin60°（1﹣sin30°）
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=﹣×（1﹣）=﹣×=．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
学校
班级
姓名
考试号
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坚持了才叫梦想，放弃了就只是空想！