商丹高新学校2019-2020学年度第二学期
高二年级期中考试数学试题（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
若是虚数单位，则复数（
）
A.
-1
B.
1
C.
D.
【答案】D
【解析】
本题选择D选项.
2.
已知，则p是q的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由不等式，解得或，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，可得不等式，可转化为，解得或，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.
设函数，，则等于（
）
A.
B.
C.
1
D.
2
【答案】C
【解析】
【分析】
对求导数，令，即可求出的值.
【详解】∵，∴；
又∵，∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由导数值求参数的值，属于基础题.
4.
关于的函数的极值点的个数有（
）
A.
2个
B.
1个
C.
0个
D.
由确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，，所以，令，得，，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于的函数的极值点的个数为0，选C．
考点：导数计算．
点评：简单题，应用，熟记导数公式．先确定“驻点”的个数．
5.
已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
分析：写出中命题的否定和求出双曲线的离心率可知命题的真假，从而得出结论.
详解：命题的否定是，
命题为真，双曲线中，
则，即离心率，命题为假，
因此只有为真，故选A.
点睛：要判断复合命题的真假，首先必须判断简单命题的真假，再由真值表确定复合命题真假，本题中简单命题的真假只要根据其定义求解即可知.
6.
如图所示的是的图象，则与的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
不能确定
【答案】B
【解析】
试题分析：由函数图像可知函数在A处的切点斜率比在B处的切线斜率要小，由导数的几何意义可知成立
考点：导数的几何意义
7.
已知，证明不等式时，比多的项数是（
）
A.
项
B.
项
C.
项
D.
以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
利用即可判断出结果.
【详解】因为，，
所以，
所以比多的项数是.
故选：C.
【点睛】本题考查了对数学归纳法的正确理解，作差判断是解题关键，属于基础题.
8.
若在上是减函数，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案
【详解】由题意可知，在上恒成立，
即在上恒成立，
由于在上是增函数且最小值为，所以，
故选：B.
【点睛】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题，属于中档题.
9.
函数的图象可能是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分类和进行讨论，根据单调性即可判断结果.
【详解】函数为奇函数，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的图象的识别，得到函数的单调性是解题的关键，属于中档题.
10.
某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A
甲
B.
乙
C.
丙
D.
丁
【答案】D
【解析】
1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;
2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;
3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;
4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.
【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.
11.
函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12.
已知函数对定义域内任意都有，且当时其导函数满足，若则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由=得到函数的对称性，得到函数的单调性，结合关系即可得到结论.
【详解】由于函数对定义域内的任意都有=，
可知函数关于对称，
根据条件时，有
得，
当时递增，当时单调递减，
因为
所以，，因为是对称轴，所以，
所以，
所以，
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据微积分基本定理即可得出结果.
【详解】，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了定积分的计算，求出原函数是解题的关键，属于基础题.
14.
一电路图如图所示，从到共有__________条不同的线路可通电.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据电路图分三类相加即可得解.
【详解】根据电路图可知，共有条不同的线路可通电.
故答案为：8
【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步计数原理的应用，属于基础题.
15.
抛物线与椭圆
有相同的焦点，
抛物线与椭圆交于，若共线，则椭圆的离心率等于
．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意，知，，即．由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和轴垂直，所以，又由抛物线的定义知，所以，即，，解得．
考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系．
【方法点睛】在抛物线中，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
16.
若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是
．
【答案】
【解析】
，令，得，即函数的单调递增区间为，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故填.
点睛：已知函数在所给区间上单调递增，求有关参数的取值范围，往往采用以下两种方法：
①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；
②将问题转化为在所给区间上恒成立进行求解.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.
设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数单调性.
【答案】（1）；（2）增区间，减区间.
【解析】
分析】
（1）先求出
再由求导公式和法则求出导数,
再求出切线的斜率的值,
求出切线方程；
（2
)由(1)求出
再令,
求得函数的单调递增区间，令,
求得函数的单调递减区间.
【详解】（1）由题意得，则切点为，又，
则，则切线的斜率，故在点
处的切线方程为
（2）的定义域为，由（1）知,
令得,
即，则函数单调递增区间是
，
令得,
即，则函数单调递减区间是
，
故的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，利用导数求函数的单调性，
属于基础题.
18.
三个女生和五个男生排成一排，
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
【答案】（1）4320（2）14400（3）14400
【解析】
【分析】
（1）将女生捆绑在一起当个元素使用，与五个男生共6个元素作全排列；
（2）先排五个男生，再将三个女生插进去；
（3）两端先排女生，其余位置随便排.
【详解】（1）将女生捆绑在一起当个元素使用，与五个男生共6个元素作全排列，故有种；
（2）先排五个男生，再将三个女生插进去，故有种；
（3）两端先排女生，其余位置随便排，故有种.
【点睛】本题考查了捆绑法、插空法，考查了有限制条件的排列，属于基础题.
19.
已知函数，.
（1）时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递减区为，单调递增区间为.（2）
【解析】
【分析】
（1）求导后，利用可得单调递增区间，可得单调递减区间；
（2）求导后，利用可得，将转化为，构造函数，利用导数求出的最小值即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以，
所以，
令，得，令，得，
所以的单调递减区为，单调递增区间为.
（2）因为，且函数在处取得极值，
所以，即，解得，
由（1）知，满足题意，所以，
由已知对，恒成立，得，
即对恒成立，，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
所以.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用函数的极值求参数，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.
20.
在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，.
（I）证明：平面；
（II）若，求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】
【详解】试题分析：（1）连接，取中点，连接，然后根据等腰三角形的性质得出，，从而推出平面，进而利用线面垂直的性质定理结合判定定理可使问题得证；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，由此求得平面与平面的法向量，从而利用空间夹角公式求解.
试题解析：（1）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．
取BC中点E，连接AE，PE，
因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，
因为PB＝PC，所以BC⊥PE，
又因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，
又PA?平面PAE，所以BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
又因为BC∩CD＝C，所以PA⊥平面ABCD．
（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则B（，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
（0，2，﹣2），（，3，0），
设平面PBD的法向量为（x，y，z），
则，取x，得（），
取平面PAD的法向量（1，0，0），
则cos，
所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是．
考点：1、线面垂直的判定；2、二面角；3、空间向量的应用.
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
21.
已知椭圆：，，其中是椭圆的右焦点，焦距为，直线与椭圆交于点，，点，的中点横坐标为，且（其中）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）运用离心率公式和椭圆的，，的关系，解得，，即可得到椭圆方程；（2）运用向量共线的知识，设出直线的方程，联立椭圆方程，消去，运用判别式大于，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到，的横坐标，即可得到所求值．
试题解析：（1）由条件可知，，，故，
椭圆的标准方程是；
4分（2）由，可知，，三点共线，设点，点，若直线轴，则，不合意题意，当所在直线的斜率存在时，设方程为，
由，消去得
①
由①的判别式，
∵
，
6分
∴，，
8分
将代入方程①，得，解得，
10分
又∵，，，，．
12分
考点：1．椭圆的方程和性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．中点坐标公式．
22.
设函数
(1)若函数在处与直线相切,求函数在上的最大值．
(2)当时,若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）题意告诉我们函数在处的导数值为0，函数值为，由此可得，在上确定和的解集，从而得出函数的单调性，得极大值；（Ⅱ）本小题是不等式恒成立问题，解题的关键是问题转化．不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，即对所有的都成立，这里有两个参数，先选取作为主元，则是的一次函数，在时，它是增函数，因此时它取得最小值，因此问题又化为对恒成立，易得．
令
，则为一次函数，
试题解析：（Ⅰ）由题知
函数在处与直线相切
解得
当时，令得；
令，得
上单调递增，在[1，e]上单调递减，
（Ⅱ）当时，
若不等式对所有的都成立，
则对所有的都成立，
即对所有的都成立，
令
，则为一次函数，
上单调递增
对所有的都成立
，
（注：也可令对所有的都成立，分类讨论得
对所有的都成立，，酌情给分）
考点：导数与切线，导数与函数的最值，不等式恒成立．商丹高新学校2019-2020学年度第二学期
高二年级期中考试数学试题（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
若是虚数单位，则复数（
）
A.
-1
B.
1
C.
D.
2.
已知，则p是q的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
3.
设函数，，则等于（
）
A.
B.
C.
1
D.
2
4.
关于的函数的极值点的个数有（
）
A
2个
B.
1个
C.
0个
D.
由确定
5.
已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（
）
A.
B.
C.
D.
6.
如图所示的是的图象，则与的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
不能确定
7.
已知，证明不等式时，比多的项数是（
）
A.
项
B.
项
C.
项
D.
以上都不对
8.
若在上是减函数，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
9.
函数的图象可能是（
）
A.
B.
C.
D.
10.
某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A.
甲
B.
乙
C.
丙
D.
丁
11.
函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
12.
已知函数对定义域内的任意都有，且当时其导函数满足，若则（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
__________.
14.
一电路图如图所示，从到共有__________条不同的线路可通电.
15.
抛物线与椭圆
有相同的焦点，
抛物线与椭圆交于，若共线，则椭圆的离心率等于
．
16.
若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.
设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
18.
三个女生和五个男生排成一排，
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
19.
已知函数，.
（1）时，求函数单调区间；
（2）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围.
20.
在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，.
（I）证明：平面；
（II）若，求二面角余弦值.
21.
已知椭圆：，，其中是椭圆的右焦点，焦距为，直线与椭圆交于点，，点，的中点横坐标为，且（其中）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）求实数的值．
22.
设函数
(1)若函数在处与直线相切,求函数在上的最大值．
(2)当时,若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围．
