华师大版九年级上册22.2.4一元二次方程根的判别式 课件（14张PPT）

一元二次方程根的判别式
情景导入
用公式法解下列方程．
(1)x2＋x－1＝0；
(2)x2－2x＋1＝0；
(3)2x2－2x＋1＝0
自学互研
知识模块一　一元二次方程根的判别式的推导
(一)自主探究
在推导一元二次方程求根公式的配方过程中，得到
只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得
也就是说，只有当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的系数a、b、c满足条件b2－4ac≥0时才有实数根，因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况．
分析：观察方程(*)，我们发现有如下三种情况：
(1)当b2－4ac＞0时，方程(*)的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：
(2)当b2－4ac＝0时，方程(*)的右边是0，因此方程有两个相等的实数根：
(3)当b2－4ac＜0时，方程(*)的右边是一个负数，而对于任何实数x，方程左边
因此方程没有实数根．
(二)合作探究
b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况；
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程没有实数根．
知识模块二　一元二次方程根的判别式的应用
归纳：
应用：(1)不解方程，判别方程根的情况．
注：先化成一般形式．
(2)已知根的情况，求字母的取值范围．
注：考虑二次项系数不能为0.
范例
1：不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)3x2＝5x－2；
解：(1)3x2－5x＋2＝0，
∵Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
解：(2)∵Δ＝(－2)2－4×4× ＝0，
解：(3)4y2－y＋4＝0，
∵Δ＝(－1)2－4×4×4＝－63＜0，
∴原方程无实数根．
∴原方程有两个相等的实数根．
(2)4x2－2x＋ ＝0； (3)4(y2＋1)－y＝0.
范例
2：求证：关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．
证明：∵Δ＝(2k)2－4×1×(k－1)
＝4k2－4k＋4＝4(k－ )2＋3
又(k－ )2≥0，∴Δ＝4(k－ )2＋3＞0.
∴关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．
展示提升
1．关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(　 　)
A．m＞　　B．m＜ C．m＝ D．m＜－
B
2．若关于x的方程kx2－2x－1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是(　 　)
A．k＞－1 B．k＜1且k≠0
C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠0
3．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋ ＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是____．
C
0
4．已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)求证：x＝－1不可能是此方程的实数根．
解：(1)∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(k＋1)2－4k2＞0，∴k＞－ ；
(2)证明：∵当x＝－1时，
方程左边＝1＋2k＋2＋k2＝k2＋2k＋3＝(k＋1)2＋2＞0，而右边＝0，
∴左边≠右边，
∴x＝－1不可能是此方程的实数根
对于一元二次方程 ：
反之，同样成立！
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 ＜0 时，方程没有实数根.
当 =0 时，方程有两个相等的实数根；
课堂小结