23.4 9课题　中位线课件（13张PPT）

23.4 中位线
情景导入
如图，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC.由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点．现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
自学互研
知识模块一　三角形的中位线的探究
(一)自主探究
猜想：从画出的图形看，可以猜想：
DE∥BC，且DE＝ BC.
(二)合作探究
问题：用演绎推理怎么做呢？
证明：△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴△ADE∽△ABC
(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)．
∵∠A＝∠A，
结论：
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
(相似三角形的对应角相等，对应边成比例)，
∴∠ADE＝∠ABC，
知识模块二　三角形中位线的简单应用
范例
求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC.求证：AE、DF互相平分．
证明：连结DE、EF.
因为AD＝DB，BE＝EC，
所以DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)，
同理EF∥AB，
所以四边形ADEF是平行四边形，因此AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分)．
仿例
如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的
中点，AD、CE相交于G.
证明：连结ED，
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE∥AC，
(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)，
∴△ACG∽△DEG，
拓展
如果在如图中，取AC的中点F，假设BF与AD
交于G′，如图，那么我们同理有
所以有
即两图中的点G与G′是重合的．
结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一．
展示提升
1．如图，D、E、F三点分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的是(　 　)
D．DF＝EF
B．S△ABF＝S△AFC
A．△ADE∽△ABC　　
D
2．如图，在△ABC中 ，AB＝4，AC＝6，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E是BC的中点，则DE＝____．
3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，点P、Q分别为AC、BC的中点，AQ、BP相交于点O，则OP＝____．
1
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4．D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连结OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连结点D、G、F、E.
(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
解：∵D、E、G、F分别是AB、AC、OB、OC的中点，
∴DE∥BC，GF∥BC，
∴DE∥GF，DE＝GF，
∴四边形DGFE是平行四边形．
DE＝ BC，GF＝ BC，
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)．
解：OA＝BC
课堂小结
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
3.三角形的中位线性质不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了它们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，可转化为中位线.