1.4.1充分条件和必要条件 教 案（Word版）

《1.4.1 充分条件与必要条件》教学设计
教学目标
教学目标
1．通过研究实例抽象出充分条件与必要条件的概念，能利用充分条件与必要条件对具体的例子进行分析和表述，在这个过程中提升数学抽象素养．
2．通过探索充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系，进一步理解充分条件、必要条件，能进行充分条件、必要条件的判断与应用，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
教学重难点
教学重难点
教学重点：充分条件、必要条件的意义；
教学难点：必要条件的意义．
课前准备
课前准备
PPT课件
教学过程
教学过程
（一）整体概览
问题1：阅读课本第17页第一段，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪些内容？
（2）本节要研究的对象在高中数学中的地位是怎样的？
（3）并试着依据一个新概念的学习过程，给出你的研究思路与方法．
师生活动：学生独立思考，回答问题，生生、师生之间互相订正和补充．
预设的答案：对于问题1（1），学生应该能够完整地回答出：本节将要研究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件．
对于问题1（2）和（3）估计学生会感到棘手．由教师讲解．
（2）三个常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言．
（3）新概念的学习过程：
具体实例——定义——表示——辨析——应用
猜想：
具体实例——什么是充分条件、必要条件和充要条件？——如何表示？——如何判断？——如何应用？
设计意图：通过阅读，首先让学生对本节的研究内容、研究过程有个概览，提高学生学习的系统性；明确三种常用逻辑用语学习的必要性；通过类比所学知识，猜想新知识的研究思路和过程，有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．
（二）问题导入
问题2：在初中，我们学习过命题，什么是命题？什么是真命题和假命题？你能举一些例子吗？并试着将你的例子改写成“若p，则q”的形式．
师生活动：根据学生列举的例子，教师和学生一起回顾初中学习的命题的相关知识：命题的概念、命题真假及其判断等，并引导学生关注到本节主要讨论的命题形式是：“若p，则q”，通过改写列举的命题，认识条件和结论．
设计意图：复习初中学过的关于命题、真命题、假命题的概念，认识命题的条件和结论，为后续学习做好铺垫．
引语：本节我们主要讨论“若p，则q”这种形式的命题，并进一步考察命题中p和q的关系，学习数学中的一些常用的逻辑用语．
（三）新知探究
1．形成概念
问题3：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若false，则x=1；
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b．
师生活动：学生判断命题（1）—（4）的真假，并得到命题（1）（4）为真命题，命题（2）（3）为假命题．教师追问，引导学生将具体结论一般化．
追问1：关于命题（1）和命题（4），由条件p通过推理可以得到结论q，所以它们是真命题．对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理可以得到q，那么这个命题为真命题吗？反过来，如果这个命题是真命题，那么由p通过推理一定可以得到q吗？
追问2：关于命题（2）和命题（3），由条件p通过推理不能得到结论q，所以它们是假命题．对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理不能得到q，那么这个命题为假命题吗？反过来，如果这个命题是假命题，那么由p通过推理一定不能得到q吗？
教师引导学生梳理讨论的结果，由教师讲解或者学生阅读课本获得定义：
一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作false．并且说，p是q的充分条件（sufficient condition），q是p的必要条件（necessary condition）．
如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p falseq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
设计意图：从学生熟悉的命题出发，在判断“若p，则q”形式命题真假的基础上，明确“命题的真假”与“由p推出q”的关系，从而形成充分条件和必要条件的定义．
3．辨析概念
问题4：根据定义，在上述命题（1）—（4）中，p是否为q的充分条件？q是否为p的必要条件？为什么？
师生活动：学生可以解决这个问题．答案略．
追问1：判断p是否为q的充分条件，q是否为p的必要条件的依据和方法是什么？
师生活动：学生独立思考，展示交流，给出总结及解释．
预设的答案：判断充分（必要）条件的依据是：充分条件和必要条件的定义．
具体方法是：命题法：判断命题“若p，则q”的真假．
设计意图：利用定义解决问题，形成方法．
追问2：对于命题（1）满足false，那么若q不成立，p成立吗？请你解释．对于命题（4）呢？一般地，当false时，那么若q不成立，p成立吗？你能据此说明为什么此时称q为p的必要条件？
师生活动：学生独立思考，展示交流．
预设的答案：p是q的充分条件，即p成立足够推出q成立；q是p的必要条件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的．
设计意图：通过对具体例子的辨析，学会判断充分条件和必要条件的方法；借助具体例子，明确充分条件和必要条件的含义，突破理解必要条件这一难点．
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若false，则false；
（5）若false，则false；
（6）若false为无理数，则false为无理数．
追问1：判断p是q的充分条件的依据与方法分别是什么？（答案略．）
师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．
预设的答案：
解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，false，所以p是q的充分条件．
（2）这是一条相似三角形的判定定理，false，所以p是q的充分条件．
（3）这是一条菱形的判定定理，false，所以p是q的充分条件．
（4）由于false，但false，pfalseq，所以p不是q的充分条件．
（5）由等式的性质知，false，所以p是q的充分条件．
（6）false为无理数，但false为有理数，pfalseq，所以p不是q的充分条件．
（4）除了用判断命题的真假判断充分条件之外，还可以用集合关系来判断充分条件．对于命题“若p，则q”，集合false，集合false，若false，则p是q的充分条件．
解：方程false的解集为false，而false，所以p不是q的充分条件．
追问2：命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的充分条件．
预设的答案：①若四边形一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
②若四边形两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；
③若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
④若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形．
……
追问3：根据上述分析，你认为充分条件与判定定理之间有怎样的关系？（答案：数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．）
设计意图：一是进一步熟悉利用判断命题真假来判定充分条件的方法，同时了解利用集合关系判断充分条件的方法，比如（4）；二是通过典型的数学命题，理解数学中的判定定理和充分条件的关系，进一步深化对充分条件的理解．
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；
（4）若false，则false；
（5）若false，则false；
（6）若false为无理数，则false为无理数．
追问1：类比例1如何完成例2？（答案略．）
师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．
预设的答案：
解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，false，所以q是p的必要条件．
（2）这是相似三角形的一条性质定理，false，所以q是p的必要条件．
（3）对于筝形，对角线互相垂直，但它不是菱形，pfalseq，所以q不是p的必要条件．
（4）显然，false，所以q是p的必要条件．
（5）当c=0，结论不成立，pfalseq，所以q不是p的必要条件．
（6）false为无理数，但false不全是有理数，pfalseq，所以q不是p的必要条件．
追问：类比例1，你能用集合法解答（4）吗？
用集合关系来判断必要条件．对于命题“若p，则q”，集合false，集合false，若false，则q是p的必要条件．
解：方程false的解集为false，而false，所以q是p的必要条件．
追问2：命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的必要条件．
预设的答案：①若四边形为平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
②若四边形为平行四边形，则这个四边形两条对角线互相平分；
③若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
④若四边形为平行四边形，则这个四边形两组对边分别平行．
……
追问3：根据上述分析，你认为必要条件与性质定理的关系如何？（答案：数学中的每个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．）
设计意图：一是进一步熟悉利用判断命题真假判定必要条件的方法，同时了解利用集合关系判断必要条件的方法，比如（4）；二是通过典型的数学命题，理解数学中的性质定理和必要条件的关系，进一步深化对必要条件的理解．
3．应用概念
例3 已知false，p：false，q：false．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
追问：对于（1），根据充分条件的定义，两个条件p与q对应的数集之间应该有怎样的关系？对于（2）呢？
师生活动：学生独立思考，然后讨论交流，形成（1）的解题思路．然后学生独立写出（1）的解答过程，并类比（1）完成（2）的解答，展示交流，教师帮助学生规范过程．
预设的答案：
因为p是q的充分条件，所以条件p对应的数集中的每个元素都应该在条件q对应的数集中，所以false，从而将问题转化为已知集合关系求参数范围．
解：（1）因为p是q的充分条件，所以false解得false；
（2）因为p是q的必要条件，所以false解得false．
设计意图：通过充分条件、必要条件的逆用，将问题转化为集合之间关系问题，进一步在变化的情境中加深对概念的理解。
（四）归纳小结 布置作业
问题5：本节课我们学习了充分条件和必要条件，充分条件和必要条件的含义分别是什么？对于“若p，则q”命题，判断p是否为q的充分条件或者必要条件的方法有哪些？充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理有什么关系？对照问题1中给出的研究内容和思路，你有没有需要补充的内容？
师生活动：师生一起总结．
预设的答案：充分条件和必要条件的含义：p是q的充分条件，即p成立足够推出q成立；q是p的必要条件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的．
对于“若p，则q”命题，判断p是否为q的充分条件或必要条件的方法：命题法和集合法．（1）命题法：判断命题“若p，则q”的真假，若其为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若其为假，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．（2）集合法：集合false，集合false，若false，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若false，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
研究内容及思路：在大量实例感知的基础上，抽象出充分条件、必要条件的概念；然后依据定义寻找判断充分条件、必要条件的方法；并利用新知重新认识以前的一些知识（判定定理、性质定理）．
设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充分条件、必要条件的含义以及它们在数学中的地位，同时进一步梳理它们的研究思路．
作业布置：教科书第20页练习第1，2，3题．
（五）目标检测设计
1．下列“若false，则false”形式的命题中，哪些命题中的false是false的充分条件？哪些命题中的false是false的必要条件？
（1）若false，则false；
（2）若false，则false；
（3）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
（4）若false，则集合false中至少有一个为空集．
设计意图：考查充分条件与必要条件的判断方法．
2．（1）设false，则false的一个必要条件是（ ）
A．false B．false C．false D．false
（2）写出“x＜4”的一个充分条件：________．
设计意图：考查充分条件与必要条件的概念．
3．已知集合false，false，若false成立的一个充分条件是false，求实数m的取值范围．
设计意图：考查充分条件的逆用。
参考答案：
1．（1）p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；
（3）p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（4）p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
2．（1）A；（2）false．
说明：答案不唯一．
3．解：因为false是false的充分条件，
所以false，则false，解得false．