2020年秋人教版九年级数学上册随堂练——23.1图形的旋转提升练习（word版，含答案）

23.1图形的旋转提升练习
一、选择题
1．
如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(
)
A.(1，-1)
B.(-1，-1)
C.(，0)
D.(0，-)
3．如图，△ODC是由△OAB统点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（　　）
A．70°
B．75°
C．60°
D．65°
4．如图，将△ABC旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是（
）
A．ACCE
B．ADEC
C．ABCD
D．BCEC
5．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（
）
A.3
B.
C.
D.
6．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC，已知AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则DE＝(　　)
A．1.5
B．3
C．4
D．5
7．
如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（??
）
A.
B.
C.
D.
9．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，∠APB＝∠BAC＝120°．若AP＋BP＝4，则PC的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．3
10．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．65°
二、填空题
11．
在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________．．
12．如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,
PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．
13．
一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则的度数为______.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．
15．在平面直角坐标系中，先将函数y=2x+3的图象向下平移3个单位长度，再沿y轴翻折，所得函数对应的解析式为_____．
16．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．
三、解答题
18．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，
AB＝AD．
（1）试说明△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC＝75°，将△ADE绕点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）.
（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．
20．
(1)问题发现?
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.?
填空:线段AD,BE之间的关系为?
.
(2)拓展探究?
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.?
(3)解决问题?
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.?
21．
(1)（操作发现）
如图①，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE,连接BD，则∠ABD=____度；
(2)（类比探究）
如图②，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形：
(3)（解决问题）
如图③，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积;
(4)（拓展应用）
图④是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
22．已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
24．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将绕点C顺时针方向旋转得到△DCF，连结EF，若，求的度数．
25．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=12，DE=5，求△AEF的面积．
26．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
求证：．
当时，求EF的长．
答案
1．
D
2．
B
3．
B
4．
D
5．
C
6．
A
7．
D
8．
B
9．
B
10．
C
11．
90°
12．
150°
13．
15°或60°.
14．
15．
y=-2x．
16．
17．
18．
解：（1）、∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠B=∠D，∴△ABD≌△ADE.
（2）、∵△ABC≌△ADE，
∴AC与AE是一组对应边，
∴∠CAE的旋转角，
∵AE=AC，∠AEC=75°，
∴∠ACE=∠AEC=75°，
∴∠CAE=180°—75°—75°=30°
19．
解
（1）如图，△A1B1C1为所作，
∵，，，
∴，
∴以O，A1，B为顶点的三角形为等腰直角三角形；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C旋转到C2所经过的路径长．
20．
解（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图1中，
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∠ACB=∠ACD=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD
延长BE交AD于点F，
∵BC⊥AD，
∴∠EBC+∠CEB=90°，
∵∠CEB=AEF，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．
∴AD=BE，AD⊥BE．
故答案为AD=BE，AD⊥BE．
（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，
∴AD⊥BE，
∴AD=BE，AD⊥BE．
（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，
∴PC=BE，
图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3，
图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3，
∴5-3≤BE≤5+3，
即5-3≤PC≤5+3．
21．
解
（1）【操作发现】60.
理由：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE,∴AD=AB，∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD=60°.
(2)【类比探究】证明：如图，以PA为边长作等边△PAD，使
P，D分别在，AC的两侧，连接CD.
∵∠BAC=∠PAD=60°
∴∠BAP=∠CAD.
∵AB=AC，AP=AD,
∴△PAB≌△DAC(SAS)，
∴BP=CD.
在△PCD中，∵PD+CD＞PC.
又∵AP=PD，
∴AP+BP＞PC.
∴以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
(3)【解决问题】如图，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，
∴∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°，
AP=AP′，∠PAP′=
60?∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,
∴∠PP′C=150°-60°=90°,
∠P′PC=∠APC-∠APP′=30°，
∴PP′=,即AP=．
∵∠APC=90°,AC=，
∴AP?
+PC?
=AC?，即，
∴PC=2（舍负），∴AP=，∴.
(4)【拓展应用】如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC,连接PD,BE.
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC,
∴△APC≌△EDC,∠PCD=60°
∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=4,
∴∠ACB=∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB=30°，
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°.
在Rt△BCE中，∵BC=5,CE=4，
∴，
当P,D在BE上时,PA+PB+PC=BE，此时PA+PB+PC取最小值，为.
22．
（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB=QC；
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠PQC=150°﹣60°=90°，
∵PB=QC，
∴QC=4，
∴△PQC是直角三角形，
23．
（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB=10，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5，
由平移的性质得，CG=AE=12.5．
24．
△DCF是△BCE旋转得到的图形，
，，，
．
．
25．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中，
∵
,
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）∵BC=12，∴AD=12，
在Rt△ADE中，DE=5，AD=12，
∴AE==13，(勾股定理)
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心?A点，按顺时针方向旋转90°得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=AE2=×169=84.5．
26．
（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF；
（2）解：设EF=MF=x，
∵AE=CM=2，且BC=6，
∴BM=BC+CM=6+2=8，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，
∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
则EF=5．
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