2020年秋人教版九年级数学上册随堂练——23.1图形的旋转学情练习(Word版 含答案）

23.1图形的旋转学情练习
一、选择题
1．将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．
如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为(　　)
A．3+2
B．4+3
C．2+2
D．10
3．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（
）
A．
B．6
C．
D．
4．如图，将直角三角形ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周得到的几何体是(
)
A．
B．
C．
D．
5．
如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则（　　）
A．45°
B．40°
C．35°
D．30°
6．如图，在△ABC中，，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB’C’的位置，使，则旋转角的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
7．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（　　）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
8．
如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　）
A．1.6
B．1.8
C．2
D．2.6
9．点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于(
)
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
10．如图，将矩形
ABCD
绕点
A
顺时针旋转到矩形
AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(
)
A．68°
B．20°
C．28°
D．22°
二、填空题
11．如图，是正三角形内的一点，且，，.若将绕点逆时针旋转60°后，得到，则________.
12．
如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为?，点在轴正半轴上，且．将先绕点逆时针旋转，再向左平移3个单位，则变换后点的对应点的坐标为______．
13．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
14．
如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若，，．则S△ABP+S△BPC＝_______．
15．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．
16．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，则的直角顶点的坐标为______.
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为，则B′E的长为__．
18．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3
cm，BO=4
cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=__________cm．
三、解答题
19．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，求EF的长．
20．
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，反比例函数的图象经过点．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）已知点是反比例函数图象上的一个动点，求点到直线距离最短时的坐标．
21．如图，在△ABC中，，，D是AB边上一点，点D与A，B不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
求证：△ACD≌△BCE；
当时，求的度数．
22．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
23．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是　
　，位置关系是　
　；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
24．已知正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、或它们的延长线于点M、N，当绕点A旋转到时如图，则
线段BM、DN和MN之间的数量关系是______；
当绕点A旋转到时（如图，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
当绕点A旋转到（如图的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
答案
1．
C
2．
B
3．
A
4．
D
5．
D
6．
C
7．
B
8．
A
9．
C
10．
D
11．
150°
12．
13．
60或300
14．
15．
（-2，6）
16．
17．
﹣2
18．
1.5
19．
解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°，
∴F，C，M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF＋∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF＝MF，设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴EB＝AB－AE＝3－1＝2，BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，
∴BF＝BM－MF＝4－x，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2＋BF2＝EF2，即22＋(4－x)2＝x2，
解得x＝，即EF＝.
20．
解：（1）将点，点，代入，
∴，
∴；
∵过点作轴，
∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段，
∴≌（），
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）设与平行的直线，
联立，
∴，
当时，，此时点到直线距离最短；
∴；
21．
由题意可知：，，
，
，
，
，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE；
，，
，
由可知：，
，
，
.
22．
(1)∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
(2)与(1)一样可证明△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；
(3)DE=BE﹣AD．
23．
（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN，
（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大=AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，
∴AM=2，
在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，
∴MN最大=2+5=7，
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=
．
24．
（1）如图1，连接AC，交MN于点G．
∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴AM=AN．
∵AG⊥MN，∴∠MAG=∠NAG．
∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．
在△ABM和△AGM中，∵，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN．
故答案为：BM+DN=MN；
（2）猜想：BM+DN=MN，证明如下：
如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．
在△ABE和△ADN中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．
在△AEM和△ANM中，∵，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；
（3）DN﹣BM=MN．证明如下：
如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF．
△ABM和△ADF中，∵，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．
∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠FAN=45°．
在△MAN和△FAN中，∵，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．