平面
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文档简介
(共30张PPT)
2.1.1 平面
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
空间点、直线、平面的位置关系
长方体由上下、前后、左右六个面围成．
有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，每条棱所在的直线都可以看成是某个平面内的直线，等等．
观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的形象？
实例引入
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
实例引入
观察海面，它又呈现出怎样的形象？
实例引入
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面形的物体吗？
引入新课
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
平面的画法
平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．
D
C
A
B
A
D
C
B
E
F
被遮挡部分用虚线表示
平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来．
D
C
A
B
平面ABCD
平面AC或平面BD
A
D
C
B
E
F
平面
记作：
平面的表示
平面
记作：
平面
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
A
B
点A在平面 内，
记作 ．
记作 ．
点B在平面 外，
读作
读作
点与平面的位置关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
平面公理
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
平面公理
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在平面α内？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
A
B
l
作用：
判定直线是否在平面内．
平面公理
在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．
A
l
A
B
l
A
l
点A在直线l上．
点A在直线l外．
A
l
直线l在平面 外．
直线l在平面 内．
平面 经过直线l．
图形、文字、符号
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
平面公理
平面公理
测量员用三角架支撑测量用的平板仪．
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
A
C
B
存在性
唯一性
作用：
确定平面的主要依据．
平面公理
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
公理2可以得到如下三个推论；
推论1、经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
平面公理
B
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
平面公理
观察长方体，你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗？
这条公共直线B’C’叫做这两个平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线．
另一方面，相邻两个平面有一个公共点，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一个公共点B’，经过点B有且只有一条过该点的公共直线B’C’.
平面公理
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
l
P
平面公理
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
l
A
B
a
l
P
b
（1）
（2）
解：在（1）中，
在（2）中，
典型例题
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
①直线 在平面 内；
错误
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
②设正方形ABCD与 的中心分别为O， 则平面 与平面 的交线为 ；
正确
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
③由点A，O，C可以确定一个平面；
错误
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
④由 确定的平面是 ；
⑤由 确定的平面与由 确定的平面是同一个平面．
正确
正确
随堂练习
空间图形
文字叙述
符号表示
知识小结
实例引入平面
平面的画法和表示
点和平面的位置关系
平面三个公理
2.1.1 平面
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
空间点、直线、平面的位置关系
长方体由上下、前后、左右六个面围成．
有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，每条棱所在的直线都可以看成是某个平面内的直线，等等．
观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的形象？
实例引入
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
实例引入
观察海面，它又呈现出怎样的形象？
实例引入
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面形的物体吗？
引入新课
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
平面的画法
平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．
D
C
A
B
A
D
C
B
E
F
被遮挡部分用虚线表示
平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来．
D
C
A
B
平面ABCD
平面AC或平面BD
A
D
C
B
E
F
平面
记作：
平面的表示
平面
记作：
平面
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
A
B
点A在平面 内，
记作 ．
记作 ．
点B在平面 外，
读作
读作
点与平面的位置关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
平面公理
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
平面公理
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在平面α内？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
A
B
l
作用：
判定直线是否在平面内．
平面公理
在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．
A
l
A
B
l
A
l
点A在直线l上．
点A在直线l外．
A
l
直线l在平面 外．
直线l在平面 内．
平面 经过直线l．
图形、文字、符号
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
平面公理
平面公理
测量员用三角架支撑测量用的平板仪．
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
A
C
B
存在性
唯一性
作用：
确定平面的主要依据．
平面公理
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
公理2可以得到如下三个推论；
推论1、经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
平面公理
B
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
平面公理
观察长方体，你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗？
这条公共直线B’C’叫做这两个平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交线．
另一方面，相邻两个平面有一个公共点，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一个公共点B’，经过点B有且只有一条过该点的公共直线B’C’.
平面公理
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
l
P
平面公理
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
l
A
B
a
l
P
b
（1）
（2）
解：在（1）中，
在（2）中，
典型例题
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
①直线 在平面 内；
错误
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
②设正方形ABCD与 的中心分别为O， 则平面 与平面 的交线为 ；
正确
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
③由点A，O，C可以确定一个平面；
错误
随堂练习
在正方体 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
④由 确定的平面是 ；
⑤由 确定的平面与由 确定的平面是同一个平面．
正确
正确
随堂练习
空间图形
文字叙述
符号表示
知识小结
实例引入平面
平面的画法和表示
点和平面的位置关系
平面三个公理