6.2 排列与组合 同步学案

中小学教育资源及组卷应用平台
排列与组合学案
一．学习目标
排列与组合问题在历次高考的考查过程中占据重要地位，它是高中数学知识具体在应用题过程的实际应用，同时也是统计性问题研究的前提与基础；在本章节内容的复习过程中，应注意了解排列组合的概念并能够分辨清楚，同时学会构建模型分析。
二．基础知识
1.排列与排列数
①排列：从个不同的元素中任取个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
②相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同。（排列不仅与元素有关，也与元素的位置有关）
③排列数：从个不同的元素中任取个元素排成一列，称为从个不同的元素中任取个元素的一个排列；从个不同的元素中任取个元素的一个排列数，用符号表示。
排列数公式：
注意1：
规定
规定
2.组合与组合数
①组合：从个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从个不同的元素中任取个元素的一个组合（与元素的位置无关）
②组合数公式：
③两个公式：
①
②
【方法归纳】
排列与组合的对比
联系：都是从个不同的元素中任取个元素；
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系。
三．典例分析与性质总结
题型1：排列数与组合数的计算：
排列数与组合数的计算，通常采有阶乘公式进行化简；利用排列数或组合数公式可以进行求值、化简或证明；
在计算中一般用原始公式；在证明中一般用阶乘式，
。
例1：①证明：
②解方程：
③解不等式：。
题型2：排列的应用
例2：某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72
B．120
C．144
D．168
题型3：组合的应用
例3：某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
【思路导引】
本题是组合的综合问题，在选取元素时要注意“搭配原则”，做到“不重不漏”。
题型4：排列组合的综合应用
例4：有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定要担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
【思路导引】
解排列、组合的综合问题的注意点
(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题．要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。
(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。
(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则。
(4)由于排列、组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同。
题型5：分组分配问题
①均匀无序分组：将个不同元素分成不编号的组，假定其中组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（其中为非均匀不编号分组中分法数），如果再有组均匀分组应再除以.
例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为；
②非均匀有序分组：个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为（其中为非均匀不编号分组中分法数）
例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：种；若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有种；
③均匀有序分组：个不同元素分成组，其中组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为；
例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动（有序），分法种数为
④非均匀无序分组：将个不同元素分成不编号的组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为
例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为；若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为。
总结1：均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型，解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是非均匀分组；无序均匀分组是要除以均匀数的阶乘，有序分组是在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘。
总结2：①不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数；②整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数；③部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有组元素个数相等，则分组时应除以，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数。
四．方法归纳
解决排列与组合问题的方法与策略
①直接法：把符合条件的排列数直接列式子计算；
②至多至少间接法：对于至多、至少等出现的排列组合问题，如果用分类讨论，其分类的情况比较多，所以通常用间接法即排除法，它适用于反面明确且易于计算的问题；
③捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看做一个整体参与其他元素的排列，同时注意捆绑元素的内部排列（一般地，个不同元素排成一列，要求其中某个元素相邻的排列有个；其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”）；
④插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑其他元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素之间的空隙中，同时注意捆绑元素的内部排列（练习①：6把椅子排成一排，3个人随机就坐，任何两人都不相邻的做法共有多少种？——换个角度看一下，3个人插到了3把椅子产生的4个空隙中，所以是24种）；
⑤特殊元素、位置优先明确：对问题中的特殊元素或位置优先明确，再考虑其他元素的排列；限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数，相当于减法原理；
练习②：7个学生站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，有几种方法？
解析一：按照甲是否在最右端进行分类：（特殊元素优先明确）
如果甲在最右端，6个位置进行全排列种方法；
甲不在最右端，可选择的位置有5种，乙也有5个位置可选，其他5个位置全排列，故而甲不在最右端的方式有种方法；
综上，满足题意的排列方法共有3720种方法。
解析二：按照最左端的元素进行分类：（特殊位置优先明确）
对于最左端的元素除去甲外有6种方法，余下六个位置进行全排列共有，甲不在最左端的排法有，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有种排法
综上，满足题意的排列方法共有种方法。
解析三：无限制条件的排列方式有
甲在最左端，同时乙在最右端的排列方式有
甲在最左端的排列方式有；乙在最右端的排列方式有
综上，满足题意的排列方法共有种方法。
⑥元素相同间隔板法：若把个不加区分的元素分成组，可通过将个元素排成一列，在元素之间插入个隔板来完成分组，此方法适用于同元素分组问题（每个组合至少含有1个元素）以及解正整数解组数的问题（练习③：10个相同的小球放入到3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，共有种不同的放法；从10个小球中的9个空隙中插入两个隔板；练习④：的正整数解的组数。就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组；每一种方法所得球的数目依次为。显然，故（）是方程的一组解；反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式；故方程的解和插板的方法一一对应.
即方程的解的组数等于插隔板的方法数）；
隔板法举例说明：若为非负数解（包含0）的个数，即用中等于，由题知
，进而转化为求的正整数解的个数为。
⑦选排问题先选后排：选排问题很容易出现重复或者遗漏的错误，因此需要先选择元素在进行排列，即先选后排。（练习⑤：从6个男生2个女士共8名学生中选择队长1名、副队长1名、普通队员2名组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有多少种方法？——先选人后安排职务）（先特殊后一般、先组合后排列，先分类后分步）
⑧消序法：定序问题除法处理，可不考虑顺序限制，排列后再除以定序问题的全排列。
⑨均分法：若把个不同元素平均分成组，每组个，共有种。（练习⑥：
从中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3组；平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）；
⑩相同元素：除以阶乘数。例如：已知数字，求其排列个数；又例如：数字，能组成几个三位数？其排列个数。
五．变式演练与提高
1.有7位同学站成一排：
①如果甲站在中间位置，有几种不同的排法？
②甲、乙只能站在两边的位置，有几种不同的排法？
③甲不在排头、乙不在排尾，有几种不同的排法？
④甲、乙同学必须相邻，有几种不同的排法？
⑤甲、乙同学必须相邻，且丙不能在排头或排尾，有几种不同的排法？
⑥甲、乙两同学不能相邻，有几种不同的排法？
⑦甲总在乙前面，有几种不同的排法？
2.有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内；
①随意排列，有几种不同的排法？
②恰有一个盒子不放球，有几种不同的排法？
③恰有一个盒子放2个球，有几种不同的排法？
④恰有2个盒子不放球，有几种不同的排法？
3.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)
4.从这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有(　　)
A．51个
B．54个
C．12个
D．45个
5.某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有______种不同的抽调方法．
六．反思总结
1.解决排列问题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
消序法
定序问题消序(除法)处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
2．解决排列类应用题的策略
(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．
(2)分排问题直排法处理．
(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．
3.组合应用问题的解题思路
(1)把具体问题转化或归结为组合问题，注意排列问题与组合问题的区别，关键看是否与元素的顺序有关．
(2)通过分析确定运用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理．
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏，同时注意组合问题中以下两类常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，通常用间接法处理．
4.除法切记不要忽视
在排列组合问题的解决过程中，对于最终结果的产生需要运用除法的情况，很多学生容易忽视；在本章节内容中，涉及了三种情况需要运用除法：平均分组分配问题、存在相同元素的排列问题、元素排列顺序固定问题；在实际操作过程中不要忽视。
5.解后反思
有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。
深刻理解其排列与组合定义中的“所有”的含义，特别是组合数，已包含了m个元素所有可能的组合的个数，故而在平均分堆过程中就会产生重复，而平均分配给不同的对象中就不用再排序；
同时在本节中要注意强调转化化归数学思想的应用，在解决问题的过程中，通过合理转化，将问题转化为常见的数学模型；注意对于各种模型的应用，注意“一题多解”，学习思维发散能力的提升。
对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏；不同元素的分组问题，采用先分组后分配，相同元素的分组问题，采用“隔板法”。
七．课后作业
1.有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
①甲不在中间也不在两端；
②甲、乙两人必须排在两端；
③男女相间．
2.有8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为(　　)
A．
B．
C．
D．
3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)
A．16
B．18
C．24
D．32
4.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为(　　)
A．48种
B．36种
C．24种
D．12种
5.将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有(　　)
A．12种
B．20种
C．40种
D．60种
6.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是______(用数字作答)．
7.数字按如图形式随机排列，设第一行的数为，其中分别表示第二、三行中的最大数，则满足的所有排列的个数是________．
八．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析：
①证明：左边
右边，左边=右边，命题得证。
②解：由题知，
整理得；
化简即，解此分式方程，得，舍去。
③解：由题知，
整理得；
化简即，解此分式；
同时注意到组合数的概念，得。
例2：解析：
歌舞类节目设为，小品类节目设为，相声类节目设为，先排不相邻（插空法），共种方法，相邻前提下插空法共种方法；
所以同类节目不相邻的排法种数为；
例3：解析：
(1)从余下的34种商品中，选取2种有(种)，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有(种)或者(种)，
∴某一种假货不能在内的不同取法有5
984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有(种),
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2
100种.
选取2件假货有种，选取3件假货有种，共有选取方式
(种),
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2
555种.
(5)方法一(直接法)：有2种假货在内，不同的取法有种；有1种假货在内，不同的取法有种；没有假货在内，有种，因此共有选取方式(种).
方法二(间接法)：选取3件的总数有，因此共有选取方式(种),
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6
090种.
例4：解析：
(1)先选后排．符合条件的课代表人员的选法有种，排列方法有种，所以满足题意的选法有(种).
(2)除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有(种)选法.
(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有种选法，排列方法有种，所以选法共有(种).
(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有种选法，该男生的安排方法有种，其余3人全排列，有种，因此满足题意的选法共有(种)
（五．变式演练与提高）
1.解析：
本题考查排队问题，显然是一个排列问题，需要对于题意中的限制条件注意分析，同时在理解题意的基础上进行问题的转化，以找到突破口。
①由于甲的位置固定，所以对于其他6个人的排列顺序不确定，需要做全排列；
因此此种情况的排列数为：种；
②甲乙两人的位置在首末两端，其排列数为，其他5个人的位置不确定，应做全排列，5个人的排列数为；
因此此种情况的排列数为种；
③本种情况由于涉及到两重位置的限制，需要对其中一个元素的位置进行分类
i当甲恰好在排尾时，乙的位置可以任取，因此此种情况的排列数为种；
ii当甲不在排尾时，甲的位置共有种，乙的位置共有种，其他人员的位置安排共有种，因此此种情况的排列数为种；
故而满足题意的排列数为种。
④相邻问题采用捆绑法，将其捆绑后与其他5个同学共计6个同学；
依照捆绑法的解题思路，得到满足题意的种类为种；
⑤除去丙其他6个同学的排列种类为种，丙的位置共有4种；
故而满足题意的排列数为种
⑥不相邻问题使用插空法，依照插空法的解题思路，满足题意的种类为种；
⑦根据题意，本题是定序问题：
依照定序问题的解题思路，符合题意的种类有
2.解析：
对于盒子放球的问题，应注意对题意的转化，在合理分类的过程中做到不重不漏。
①将4个不同的球随机放到4个不同的盒子中，由于盒子中放球数量不确定，可以是空盒子；
所以满足题意的小球放法共有种；
②若只有一个盒子是空盒，意味着有一个盒子内放2个球，有两个盒子各放1个球；
依照先选后排的思路，满足题意的种类为种；
③恰有1个盒子是空盒与恰有1个盒子是两个球，效果是等价的；
因此满足题意的种类为144种；
④恰有两个盒子不放球，先选出两个盒子种；
剩下2个盒子中放4个球，每个盒子不空，2个盒子放球的种类有：
因此满足题意的种类有种。
3.解析：
不同的获奖分两种：一是有一人获得两张奖券，一人获得一张，共有(种)，二是三个人各获得一张，共有(种)，因此不同的获奖情况有60种.
4.解析：
分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有(个)；
第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成(个)；
第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成(个)．
故这样的三位数共有51个，故选A.
5.解析：
方法一(分类法)：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有种．故共有(种)抽调方法.
方法二(隔板法)：由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有(种)抽调方法.
【答案】　84
（七．课后作业）
1.解析：
①方法一(元素分析法)：先排甲有6种，再排其余人有种，故共有(种)排法．
方法二(位置分析法)：中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法，故共有(种)排法．
方法三(等机会法)：9个人全排列有种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不
在中间及两端的排法总数是(种).
方法四(间接法)：(种),
②先排甲、乙，再排其余7人，共有(种)排法
③(插空法)先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，有种方法，故共有(种)排法。
2.解析：
不相邻问题用插空法，8名学生先排有种排法，产生9个空，2位老师插空有种排法，所以共有种排法．故选A.
3.解析：
将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有(种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．
4.解析：
(捆绑法)爸爸排法有种，两个小孩排在一起故看成一体，有种排法．妈妈和孩子共有种排法；
∴排法种数共有(种)．故选C.
5.解析：
(消序法)五个元素没有限制全排列数为，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，
故除以这三个元素的全排列，可得(种)
6.解析：
甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，共有(种)站法，当三个人同时站到同一个台阶的站法有7种，故若每级台阶最多站2人，有(种)站法.
【答案】　336
7.解析：
(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有种方法，剩下的两个数字有种排法．按分步乘法计数原理，所有排列的个数是.
【答案】　240
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)