2.1 命题、定理、定义
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点)2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点)3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点)4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点)
借助命题真假的判定、定理与定义的应用培养逻辑推理素养．
在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫做命题，一方面数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？
1．命题的定义与分类
(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．
(3)分类：命题
思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．
(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．
2．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
[提示] 条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．
3．定理与定义
在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．
在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．
(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．
1．语句“若a
c2>b
c2，则a＋c>b＋c”( )
A．不是命题
B．是真命题
C．是假命题
D．不能判断真假
B [结合不等式的性质可知，若a
c2>b
c2，则a>b且c≠0，则a＋c>b＋c，是真命题．]
2．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和大于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2020央视春晚真精彩啊！
A．①②③
B．①③④
C．①②⑤
D．②③⑤
A [①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]
3．把命题“末位数字是0的整数一定能被5整除”改写成“若p，则q”的形式为
．
[答案] 若一个整数的末位数字是0，则它一定能被5整除
命题的判断
【例1】 (1)下列语句为命题的是( )
A．x2－1＝0
B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？
D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有
．
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22
020是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′．
(1)B (2)①④ [(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]
判断一个语句是否是命题的两个关键点
?1?命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
?2?对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.
提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题.
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数y＝x2－2x
(x∈R)是二次函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
(5)一个数不是奇数就是偶数；
(6)2030年6月1日上海会下雨．
[解] (1)是命题，满足二次函数的定义．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．
(4)疑问句，不是命题．
(5)是命题，能判断真假．
(6)不是命题，不能判断真假．
命题真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个奇数是两个整数的平方差．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0．
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0．
(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．
命题真假的判定方法
?1?真命题的判断方法,要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
?2?假命题的判断方法,通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
2．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②同一平面内四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若a2>b2，则|a|>|b|．
其中真命题的序号是
．
①④ [①④是真命题，②同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．]
命题的构成
【例3】 (1)(一题两空)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是
，q是
．
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
①函数y＝2x＋1是一次函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0．
[思路点拨] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q”的形式．
(1)一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 [命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．]
(2)[解] ①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．(真命题)
②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2．(假命题)
③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0．(假命题)
1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．
2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．
3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)当>时，a
(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
[解] (1)若>，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．
数学中的新定义
【例4】 对于a，b∈N，规定a
b＝
集合M＝{(a，b)}|a
b＝12，a，b∈N
}，则M中元素的个数为( )
A．6
B．8
C．15
D．16
[思路点拨] 本题新定义两个自然数的新运算，利用新定义解方程a
b＝12，a，b∈N，分a，b同为奇数或偶数和a，b奇偶性不同进行分类推论即可．
C [分a，b奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论．
如果a，b奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a，b)符合M中元素的要求；
如果a，b奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4种情况，即有4组(a，b)符合M中元素的要求．
综上，M中元素的个数为11＋4＝15．故选C
．]
数学中的定义在解题中得应用还很多，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据.在解题中充分利用定义，有时会收到事半功倍的效果.数学定义的应用蕴涵着极其丰富的内涵，深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径.本题中新定义的运算，是以自然数的奇偶作为分类的基准，就是本题解相关方程的依据.
4．设集合S＝{r1，r2，…，rn}?{1,2,3，…，32}，有S中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为
．
15 [一个数能被5整除，可以用5k表示，k∈Z．两数之和被5整除，我们需要分析一下每个数被5除后的余数，如果两个余数之和能被5整除，则两数之和就能被5整除，否则不能．比如1和9,2和8,3和7,4和6，余数分别是1和4,2和3,3和2,4和1，按此原则，把1～32这32个数字进行归类．
集合S的元素从1～32中选取，我们将这32个数字分入以下5个集合；
S0＝{5,10,15,20,25,30}，S0中的元素共6个，都能被5整除；
S1＝{1,6,11,16,21,26,31}，S1中的元素共7个，都被5除余1；
S2＝{2,7,12,17,22,27,32}，S2中的元素共7个，都被5除余2；
S3＝{3,8,13,18,23,28}，S3中的元素共6个，都被5除余3；
S4＝{4,9,14,19,24,29}，S4中的元素共6个，都被5除余4．
S0中的元素都能被5整除，因此S0中只能选1个数字；S1中的元素，两两相加都不能被5整除；同理，S2，S3中，同组内两两相加都不能被5整除，因此可以整组挑选．但S1与S4中各任选一个元素相加，必定能被5整除，因此只能选一组，S1中7个元素，比S4更多，选S1；同理，S2与S3也只能选1组，S2的元素比S3多，因此最多的取法是S0中选1个元素，S1整组7个，S2整组7个，共1＋7＋7＝15．故n的最大值为15．]
1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写出“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
3．数学中定理是我们逻辑推理的基础，必须在理解的基础上加以应用，数学中的定义是进行判断、推理、论证的重要依据，必须深刻理解其内涵，抓住其本质加以应用．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)陈述句都是命题．
( )
(2)含有变量的语句也可能是命题．
( )
(3)如果一个语句判断为假，那么它就不是命题．
( )
(4)有些命题在形式上可以不是“若p，则q”的形式．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
C [把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C．]
3．下列命题是真命题的为( )
A．若a>b，则<
B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C．若|x|D．若a＝b，则＝
C [对于A，若a＝1，b＝－2，则>，故A是假命题．
对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．
对于C，因为y>|x|≥0，则x2对于D，当a＝b＝－2时，与没有意义，故D是假命题．]
4．定义差集A－B＝
{x|x∈A且xB}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的是( )
A B C D
A [首先根据差集定义，A－B表示从集合A中去掉A与B的公共元素后的部分，即A－B＝?A(A∩B)，用Venn图表示如图①．那么C－(A－B)表示的集合是从C中去掉C与(A－B)的公共元素，用Venn图表示如图②．故选A．
]
① ②
5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)末位数字是0的整数能被5整除；
(2)偶函数的图象关于y轴对称；
(3)菱形的对角线互相垂直．
[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．
(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．
(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．
PAGE
-
1
-2.2 充分条件、必要条件、充要条件
学
习
目
标
核
心
素
养
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系．(重点)4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养．
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
(1)习近平总书记在2020年3月26日出席二十国集团领导人应对新冠肺炎特别峰会上讲话中指出：“只要我们同舟共济、守望相助，就一定能够彻底战胜疫情，迎来人类发展更加美好的明天！”．
(2)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》)．
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
“p?q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是充分的．
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p?q．(2)等价．
2．充要条件
(1)如果p?q，且q?p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件．
为了方便起见，p是q的充要条件，就记作p?q，称为“p与q等价”或“p等价于q”“?”和“?”都具有传递性，即
①如果p?q，q?s，则p?s；
②如果p?q,
q?s，则p?s；
(2)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q．
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
3．性质定理和判定定理与充分必要条件的关系
(1)性质定理是某类对象具有的具体特征，所以性质定理具有“必要性”；
(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，所以判定定理具有“充分性”；
(3)数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”．
1．“同位角相等”是“两直线平行”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
2．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4
B．x>0
C．x>2
D．x<2
A [只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3．]
3．使x>3成立的一个必要不充分条件是( )
A．x>4
B．x<4
C．x>2
D．x<2
C [因为x>3?x>2，x>2x>3，所以选C．]
4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4,
x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]
充分条件、必要条件的判断
【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0．
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bc．
[解] (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，
故p是q的既不充分也不必要条件．
定义法判断充分条件、必要条件
?1?确定谁是条件，谁是结论.
?2?尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.
?3?尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0．
[解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
[提示] 若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA．
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？
[提示] 若M?N，则p是q的充分条件，若N?M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为
．
[思路点拨]
{m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp．
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得m≥9．
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q?p，且pq．
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，
所以，解得0即m的取值范围是{m|0＜m≤3}．
2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P．
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
?1?化简p，q两命题；
?2?根据p与q的关系?充分、必要、充要条件?转化为集合间的关系；
?3?利用集合间的关系建立不等式；
?4?求解参数范围.
充要条件的探求与证明
【例3】 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．
[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．
[证明] ①必要性：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0．
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0．
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么
①若A?B，则p是q的充分条件；q是p的必要条件；
②若AB，则p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件；
③若A＝B，则p是q的充分必要条件．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．
( )
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．
( )
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]
3．已知：A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z},
x，y∈Z，则x，y∈A是x＋y∈B的
条件．
(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
既不充分又不必要 [若x＝2，y＝4,
则x＋y＝6B；因为1＋3＝4∈B，但1,3A．]
4．已知p：实数x满足3a[解] 由p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p?q，所以A?B，
所以即－≤a<0，
所以a的取值范围是．
PAGE
-
1
-2.3 全称量词命题与存在量词命题
学
习
目
标
核
心
素
养
1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义．2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
1．通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养．
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：‘前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．’”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．
1．全称量词与全称量词命题
(1)
“所有”“任意”
“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“?x”表示“对任意x”．
(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：?x∈M，p(x)．
其中M为给定的集合，p(x)
是一个关于x的语句．
2．存在量词与存在量词命题
(1)
“存在”“有的”
“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“?x”表示“存在x”．
(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：?x∈M,
p(x)．
其中M为给定的集合，p(x)
是一个关于x的语句．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] 是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3．全称量词命题与存在量词命题的否定
语句p(x)是对语句p(x)的否定．
一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否p：?x∈M，p(x)；
存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否p：?x∈M，p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
一般地，对全称量词命题的否定，主要对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”．
4．全称量词命题与存在量词命题的真假的判定
(1)判定全称量词命题为真，需要严格证明，判定全称量词命题为假，列举反例即可．
(2)判定存在量词命题为真，只要列举特例，判定存在量词命题为假，需要严格证明．
(3)对一个命题进行否定，就得到一个新命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．
1．下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的菱形是正方形；
③三角形的内角和是180°．
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] C
2．下列全称量词命题为真命题的是( )
A．所有的质数是奇数
B．?x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
[答案] B
3．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，|x|≥0
B．?x∈N
，(x－1)2>0
C．?x∈R，x＋2
019<1
D．?x∈R,2x＞2
B [当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．]
4．已知命题p：?x∈R，sin
x≤1，则其否定是( )
A．p：?x∈R，sin
x≥1
B．p：?x∈R，sin
x≥1
C．p：?x∈R，sin
x＞1
D．p：?x∈R，sin
x＞1
[答案] C
全称量词命题和存在量词命题的判断
【例1】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)对任意实数a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin
α＝．
[解] (1)是全称量词命题．因为?x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．
(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin
α＝，所以该命题是真命题．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
?1?要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p?x?成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p?x?不成立即可?这就是通常所说的“举出一个反例”?.
?2?要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p?x?成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
1．
判断下列命题的真假．
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2)?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)?x∈N，x2>0．
[解] (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题．
全称量词命题和存在量词命题的否定
【例2】 (1)设命题p：?n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( )
A．?n∈N，n2>2n
B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n
D．?n∈N，n2＝2n
(2)命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x
∈R，?n∈N
，使得nB．?x
∈R，?n∈N
，使得nC．?x
∈R，?n∈N
，使得nD．?x
∈R，?n∈N
，使得n(1)C (2)D [(1)因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，p(x)”，所以命题“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”，故选C．
(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2”．]
含有一个量词的命题的否定的方法
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
2．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：?x∈R，≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0．
[解]
(1)
p：?x∈R，＜0，假命题．
因为?x∈R，≥0恒成立，所以p是假命题．
(2)
q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)
r：?x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．
因为?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r是真命题．
(4)
s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以s是假命题．
全称量词命题与存在量词命题的应用
【例3】 对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
[解] 令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，
因为?x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m｜m<－5}．
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“?x∈M，a＞y?或a＜y?”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值?或最小值?，即a＞ymax?或a＜ymin?．
(2)对于存在量词命题“?x∈M，a＞y?或a＜y?”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值?或最大值?，即a＞ymin?或a＜ymax?．
3．若命题“p：?x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(
)
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
B [命题p：?x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1．故选B．]
1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．
2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．
3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，条件不变，并把命题的结论加以否定．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．
( )
(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．
( )
(3)命题：?x∈R，x2－3x＋3>0的否定是?xR，x2－3x＋3≤0．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列存在量词命题中，是假命题的是(
)
A．?x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．有的三角形没有外接圆
D．某些四边形不存在外接圆
C [A中，x＝－1或x＝3满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C．]
3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．]
4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)对某些实数x，有2x＋1>0；
(2)?x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(3)?x∈Q，x2＝3．
[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．
(2)命题中含有全称量词的符号“?”，因此是全称量词命题．
把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．
(3)命题中含有存在量词的符号“?”，因此是存在量词命题．
由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
PAGE
-
1
-第2章
常用逻辑用语
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
充分条件与必要条件的判断
【例1】 (1)设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y
轴对称”的
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
(1)A (2)充要 [(1)当1＜x＜2时，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p?q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以qp．
(2)当a＝0时，二次函数y＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，关于y
轴对称；若二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象对称轴为x＝－，其关于y
轴对称，则－＝0，解得a＝0．
综上可知，“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y
轴对称”的充要条件．]
条件的充要关系的常用判断方法
?1?定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.
?2?等价法：利用A?B与B?A，B?A与A?B，A?B与B?A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.
?3?利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件.
1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )
A．a＞b＋1
B．a＞b－1
C．a2＞b2
D．a3＞b3
A [a＞b＋1?a＞b，a＞ba＞b＋1．]
充分、必要、充要条件的应用
【例2】 已知非空集合A＝{x|2a－3(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
所以A?B，又A≠?，
则
解得－1≤a≤1，所以a∈[－1,1]．
(2)若存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件，即A＝B，则必有
即
则方程组无解．
故不存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件．
利用条件的充要性求参数范围的两个策略
(1)转化为集合关系解决此类问题，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)利用命题的等价性转化解决，利用转化的方法理解充分必要条件：若p是q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
(3)充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性．
2．求证：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|．
[证明] 充分性：因为a>|b|，所以a>0，
即|a|>|b|≥0，所以a2>b2，
所以a>|b|是a2>b2的充分条件，
因为a＝－2，b＝1时a2>b2，但a<|b|，
所以a>|b|不是a2>b2的必要条件．
综上：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|．
利用命题的真假求参数的取值
【例3】 (1)已知命题“?x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1,3)
C．(－3，＋∞)
D．(－3,1)
(2)已知p：?x0∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q都是假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2
B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2
D．－2≤m≤2
(1)B (2)A [(1)原命题的否定为?x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，命题的否定为真命题，
则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，
则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B．
(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，?x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2．
因此，由p，q均为假命题得
即m≥2，故选A．]
含量词的命题中求参数范围的讨论步骤
?1?先根据条件推出每一个命题的真假．
?2?求出每个命题为真命题时参数的取值范围．
?3?最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
3．若命题“?x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 由题意，?x∈[－1，＋∞)，令y＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以y＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为?x∈[－1，＋∞)，ymin≥a恒成立，而?x∈[－1，＋∞)，
ymin＝
由f(x)的最小值ymin≥a，
知a∈[－3,1]．即所求实数a的取值范围是[－3,1]．
PAGE
-
4
-