3.1 不等式的基本性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点)
通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．
和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？
1．不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a
(3)不等式中常用符号语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
>
<
≥
≤
≤
≥
≥
≤
2．两个实数的大小比较
(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0?a>b；
(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0?a＝b；
(3)如果a－b是负数，那么aa－b<0?a3．不等式的基本性质
性质1:
若a>b，则bb?b性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性)
性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)
性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)
若a>b，c<0，则ac性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)
性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)
性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N
)．(拓展)
提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．
(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
(2)要注意每条性质是否具有可逆性．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若ac>bc，则a>b．
( )
(2)若a＋c
>b＋d，则a>b，c>d．
( )
(3)若a>b，则<．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知a1，a2∈，记M＝a1a2,
N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MB．M>N
C．M＝N
D．不确定
B [由题意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝>0，故M>N．故选B．]
3．若x＞y，且x＋y＝2，则下列不等式一定成立的是( )
A．x2＜y2
B．＜
C．x2＞1
D．y2＜1
C [因为x＞y，且x＋y＝2，所以2x＞x＋y＝2，即x＞1，则x2＞1，故选C．]
利用不等式的性质判断和解不等式
【例1】 (1)对于实数a，b，c，给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若aab>b2；
③若a>b，则a2>b2；
④若a．
其中正确命题的序号是
．
(2)求解关于x的不等式ax＋1>0(a∈R)，并用不等式的性质说明理由．
(1)②④ [对于①∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确；
对于②，aab；ab2，∴②正确；
对于③，若0>a>b，则a2－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；
对于④，∵a－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2．
又∵ab>0，∴>0，∴a2·>b2·，∴>，④正确．
所以正确答案的序号是②④．]
(2)[解] 不等式ax＋1>0(a∈R)两边同时加上－1得
ax>－1 (不等式性质3)，
当a＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x∈R，
当a>0时，不等式两边同时除以a得
x>－ (不等式性质4)，
当a<0时，不等式两边同时除以a得
x<－ (不等式性质4)．
综上：当a＝0时，不等式的解集为R，当a>0时，不等式的解集为，当a<0时，不等式的解集为．
1．利用不等式判断正误的两种方法
①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．
1．已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＜b2＜c2
B．ab2＜cb2
C．ac＜bc
D．ab＜ac
C [∵a＋b＋c＝0且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴ac＜bc，故选C．]
2．若关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，2)，则不等式bx－a>0的解集为
．
[因为关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，2)，所以a<0，且x＝2是方程ax＋b＝0的实数根，所以2a＋b＝0，即b＝－2a，由bx－a>0得－2ax－a>0，因为a<0，所以x>－，即不等式bx－a>0的解集为．]
利用不等式的性质比较代数式的大小
[探究问题]
1．如果a，b之间的大小关系分别为a>b，a＝b，a[提示] 若a>b，则a－b>0，反之也成立；
若a＝b，则a－b＝0，反之也成立；
若a2．若a>b，则>1吗？反之呢？
[提示] 若a>b，当b<0时，<1，
即a>b>1；
若>1，则－1>0，即>0，
∴a－b>0，b>0或a－b<0，b<0，
即>1a>b，反之也不成立．
【例2】 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[思路点拨] ―→―→
[解] x3－1－(2x2－2x)
＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋\f(3,4)))，
∵x<1，∴x－1<0，
又∵＋>0，
∴(x－1)eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋\f(3,4)))<0，
∴x3－1<2x2－2x．
1．(变条件)本例条件“x<1”变为“x≥1”，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[解] x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋\f(3,4)))，
∵x≥1，∴x－1≥0，又＋>0，
∴(x－1)eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋\f(3,4)))≥0，
∴x3－1≥2x2－2x．
2．(变题)已知：a
>0,
b
>0,
比较＋与的大小．
[解] (作差法)－＝＝，
因为a
>0,
b
>0，所以>0，
所以＋>．
(作商法)因为a
>0,
b
>0，所以＋与同为正数，
所以＝，
所以－1＝>0，
即>1，
因为>0，所以＋>．
(综合法)因为a
>0,
b
>0，所以a＋b>0，
所以(a＋b)＝＋＝2＋＋>1，
所以＋>．
1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．
2．作商法比较大小的三个步骤
(1)作商变形；
(2)与1比较大小；
(3)得出结论．
提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．
3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A>B>0?A·>1．
3．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a
B．a>c≥b
C．c>b>a
D．a>c>b
A [∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b．
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，∴b>a，∴c≥b>a．故选A．]
4．已知a，b∈R，试比较a2－ab与3ab－4b2的大小．
[解] 因为a，b∈R，所以(a2－ab)－(3ab－4b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2，
当a＝2b时，a2－ab＝
3ab－4b2，
当a≠2b时，a2－ab>
3ab－4b2．
证明不等式
【例3】 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac(2)已知a>
b
>0,
m>0，求证：<．
[证明] (1)∵a>b，c>0，∴ac>bc．
∴－ac<－bc，∵f(2)(作差法)因为a>
b
>0,
m>0，所以b－a<0，a＋m>0，
所以－＝＝<0，
所以<；
(不等式的性质)因为a>
b
>0,
m>0，
所以am>
bm,
a＋m>0，ab>0，
所以am＋ab>ab＋bm，即a(b＋m)>b(a＋m)，
所以<．
1．利用不等式的性质证明不等式(综合法)的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
2．作差法也可以应用于证明不等式．
3．第二题的结论源于生活背景的提炼：在含糖b克的a克糖水中放入m克的糖，结果糖水变甜了．本质上是浓度变大了．
5．若bc－ad≥0，bd>0．求证：≤．
[证明] ∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0，
∴≤，∴＋1≤＋1，∴≤．
6．已知a>b>m>0，求证：<．
[证明] (作差法)因为a>b>m>0，
所以b－a<0，b－m>0，
所以－＝＝<0，
所以<；
(不等式的性质)因为a>b>m>0，所以am>bm，b－m>0，
所以－bm>－am，
所以ab－bm>ab－am，即b(a－m)>a(b－m)，
所以<．
不算式性质的应用
【例4】 已知1[思路点拨] 欲求a－b的范围，应先求－b的范围，再利用不等式的性质求解．
[解] ∵1∴8<2a＋3b<32．
∵2又∵1∴1＋(－8)即－7故8<2a＋3b<32，－7即2a＋3b的取值范围为(8,32)，
a－b的取值范围为(－7,2)．
1．在本例条件下，求
的取值范围．
[解] ∵2∴<<2．
即
的取值范围为．
2．若本例改为：已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．
[解] 法一：(双换元)设x＝a＋b，y＝a－b，
则a＝，b＝，
∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝x＋y．
又≤x≤，－≤y≤，
∴－2≤x＋y≤10．
即－2≤3a－2b≤10．
所以3a－2b的范围是[－2,10]．
法二：(待定系数法)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b＝3a－2b，
所以解得
即3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
因为1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，
所以≤(a＋b)≤，－≤(a－b)≤，
所以－2≤(a＋b)＋(a－b)≤10，
即3a－2b的范围是[－2,10]．
1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．
7．已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
[解] ∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤．
两式相加得－<<．
∵－≤<，－≤－<，
两式相加得－≤<．
又∵α<β，∴<0，∴－≤<0．
8．已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求9a－c的范围．
[解] 令得
∴9a－c＝y－x，
∵－4≤x≤－1，∴≤－x≤，
①
∵－1≤y≤5，∴－≤y≤，
②
①和②相加，得－1≤y－x≤20，
∴－1≤9a－c≤20．
1．作差法比较大小的三个步骤
作差、变形、定号，概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
2．利用不等式的性质可以判定不等式的正确性、也证明一些不等式还可以求相关量的取值范围．必须熟记不等式的性质，不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
3．不等式的证明可以用比较法(作差或作商法)、也可以利用不等式的性质(综合法)，注意方法的灵活应用．
1．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
B [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以，否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B．]
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a＞b
B．a＜b
C．a≥b
D．a≤b
C [a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b．]
3．已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是
．
(－π，2π) [结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]
4．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)
．(在横线上填甲或乙即可)
乙 [由题意得甲购买产品的平均单价为＝，
乙购买产品的平均单价为＝，由条件得a≠b．
∵－＝>0，∴>，即乙的购买方式更优惠．]
5．若a>b>0，c．
[证明] ∵c－d>0，
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，即<．
又e<0，∴>．
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-3.2 基本不等式≤(a，b≥0)
3.2.1 基本不等式的证明
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1．了解基本不等式的证明过程．(重点)2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)
1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．
如下表所示，再任意取几组正数a，b，算出它们的算术平均数和几何平均数，猜测一般情况下两个正数的算术平均数与几何平均数的大小．尝试用比较法加以证明．
a
1
2
b
1
4
1
3
1
2
1．算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时，等号成立)，我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式．
思考：如何证明不等式≤(a，b≥0)?
[提示] 因为a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a＋b≥2，
所以≤，
当且仅当a＝b时，等号成立．
3．两个重要的不等式
若a，b∈R，则(1)ab≤，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)；
(2)ab≤
(当且仅当a＝b时，等号成立)．
4．应用基本不等式求最值
在运用基本不等式≤求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．
一正：
a，b是正数．
二定：①和a＋b一定时，由≤变形得ab≤，即积ab有最大值；
②积ab一定时，由≤变形得a＋b≥2，即和a＋b有最小值2．
三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＝0
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．]
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
D [因为a，b∈(0,1)，所以a2＜a，b2＜b，
所以a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(因为a≠b)，
所以2ab＜a2＋b2＜a＋b．
又因为a＋b＞2(因为a≠b)，所以a＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
B [因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2．]
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是 ．
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab．
③ [根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
对基本不等式的理解
【例1】 给出下面三个推导过程：
①因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；
③因为x，y∈R，xy＜0，所以＋＝－≤－2＝－2．
其中正确的推导为( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
B [①因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
所以＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]
1．基本不等式≤
(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是非负数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b?＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b．
1．下列不等式的推导过程正确的是 ．
①若x＞0，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤
－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2．
①② [③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2
B．＋≥2
C．≥2
D．≥
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是 ．
(1)D (2)p＞q [(1)由≥得a＋b≥2，
所以A成立；
因为＋≥2＝2，所以B成立；
因为≥＝2，所以C成立；
因为≤＝，所以D不一定成立．
(2)因为a，b，c互不相等，
所以a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
因此2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．]
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．
2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M
B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
B [显然＞，又因为＜，(由a＋b＞，也就是由＜1可得)，所以＞＞．故M＞P＞Q．]
利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9．
[思路点拨] 看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
[证明] 因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9．
当且仅当a＝b＝c时取等号，
又因为a，b，c互不相等，
所以＋＋>9．
本例条件不变，求证：>8．
[证明] 因为a，b，c∈R＋，
且a＋b＋c＝1，
所以－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
所以
＝··
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
因为a，b，c互不相等，
所以>8．
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2．
[证明] 由基本不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
所以(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2．
4．
已知2a＋b＝1，a>0，b>0，求证：＋≥3＋2．
[证明] ＋＝＋＝3＋≥3＋2，当且仅当＝，且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1时取等号．
利用基本不等式求最值
【例4】 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0[思路点拨] (1)看到求y＝4x－2＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
[解] (1)因为x<，所以5－4x>0，
所以y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1．
(2)因为00，
所以y＝×2x(1－2x)≤×eq
\s\up0()＝×＝．
所以当且仅当2x＝1－2x，
即x＝时，ymax＝．
利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.
5．(1)已知x>0，求函数y＝的最小值；
(2)已知0[解] (1)因为y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9．
(2)法一：因为00．
所以y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)
≤＝．
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
所以当x＝时，函数取得最大值．
法二：因为00．
所以y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
所以当x＝时，函数取得最大值．
1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a≥0，b≥0时，才会有≤．对于“当且仅当a＝b时，‘＝’号成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b．
2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．
3．利用基本不等式求最值的要点：一正、二定、三相等．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．
( )
(2)若a>2，则a＋≥2＝2．
( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤．
( )
[提示] (1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b≥0时，不等式a＋b≥2成立．
(2)根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立，当且仅当只有当a＝1时取等号．
(3)因为≤，所以ab≤．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．函数y＝＋x(其中x＞2)取得最小值的条件是( )
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
C [当x＞2时，由基本不等式知y＝＋x＝＋(x－2)＋2≥2＋2≥8，当且仅当＝x－2时取等号
，即x＝5(x＝－1舍去)．]
3．若a＞0，b＞0，ab＝1＋a＋b，则a＋b的最小值为
．
2＋2 [1＋a＋b＝ab≤，
所以(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0．
所以a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2．
因为a＞0，b＞0，
所以a＋b≥2＋2．
所以a＋b的最小值为2＋2．]
4．设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b．
[证明] 因为a>0，b>0，
所以＋a≥2b，＋b≥2a，
所以＋≥a＋b．
PAGE
-
1
-3.2.2 基本不等式的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点)2．会利用基本不等式求参数的取值范围．(重点)3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点)
1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l
km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？
1．利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)
(1)合理选择自变量，建立函数关系；
(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)
(3)解题注意点
①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A．
B．4
C．
D．5
C [∵a＋b＝2，∴＝1．
∴＋＝
＝＋≥＋2＝
(当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立．)
故y＝＋的最小值为．]
2．若x>0，a>0
且a为正常数，且x＋的最小值为4，则a＝
．
4 [因为x>0，a>0所以x＋≥2＝2＝4，解得a＝4．]
3．直角三角形ABC的斜边AB＝4，则△ABC的面积的最大值为 ．
4 [设直角三角形ABC的另外两条直角边分别为a，b则a2＋b2＝42＝16，所以△ABC的面积S＝ab≤＝4当且仅当a＝b＝2时取等号．]
利用基本不等式求条件最值或多元最值
【例1】 (1)已知a＞0，b＞0,2a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A．4
B．6
C．8
D．9
(2)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．3
D．4
(3)若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
(1)C (2)D (3)A [(1)法一(“1”的代换)：因为
a＞0，b＞0,2a＋b＝1，
所以＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2
＝8，当且仅当b＝2a＝时取等号，故选C．
法二
(消元法)：因为2a＋b＝1，所以b＝1－2a，又
a＞0，b＞0，所以
所以＋＝＋＝＝＝≥eq
\f(2,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a＋?1－2a?,2))))＝8，
当且仅当2a＝1－2a，即a＝，b＝时取等号．
故选C．
(2)因为a>b>0，所以a－b>0，a2－ab>0，则a2＋＋＝(a2－ab)＋＋＋ab≥2
＋2
＝4，
当且仅当a2－ab＝且＝ab，即a＝，b＝时取等号．故选D．
(3)法一(消元法)：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0,
所以y＝．
由即解得0＜x＜1．
所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
故x＋2y的最小值为．
故选A．
法二(配凑法)：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0,
所以x(x＋6y)＝1，
所以2x(x＋6y)＝2，因为x，y均为正数，所以3(x＋2y)＝2x＋(x＋6y)≥2＝2，
当且仅当2x＝x＋6y＝，即x＝，y＝时取等号．
故x＋2y的最小值为．
故选A．]
1．基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．
常见形式有y＝ax＋(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型．
2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围．
3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到．
1．已知0A．
B．
C．
D．
A [∵00，
则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]
2．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．
3 [由题意得y＝，
∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．]
3．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18．
利用基本不等式求参数取值范围
【例2】 (1)已知函数y＝x＋＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A．
B．
C．1
D．2
(2)已知函数y＝(a∈R)，若对于任意的x∈N
，y≥3恒成立，则a的取值范围是 ．
(1)C
(2)
[(1)由题意可得a＞0，
①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，
当且仅当x＝时取等号；
②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，
当且仅当x＝－时取等号，
所以解得a＝1．
故选C．
(2)
对任意x∈N
，y≥3，即≥3恒成立，
即a≥－＋3．设z＝x＋，x∈N
，
则z＝x＋≥4，当x＝2时等号成立，又x＝2时z＝6，又x＝3时z＝．
∴a≥－，故a的取值范围是．]
求解含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.
4．已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
B [对任意的正实数x，y，(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立．所以a≥4，故选B．]
5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为__________．
2 [依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2．又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．]
利用基本不等式解决实际问题
【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36
m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[解] 设每间虎笼长x
m，宽y
m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．
设每间虎笼面积为S，则S＝xy．
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由
解得
故每间虎笼长为4．5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y．
∵x>0，∴0∵00．∴S≤＝．
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4．5．
故每间虎笼长为4．5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
6．某单位用2
160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2
000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝．
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48．
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30．
当且仅当x＝，
即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2
000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过1的代换、配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数值随着自变量变化的规律性求函数的最值．
1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A．
B．2
C．2
D．4
C [因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
由＝＋≥2
＝2
，
得ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2．应选C．]
2．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9
B．12
C．18
D．24
B [因为a＞0，b＞0，由＋≥，
得m≤(a＋3b)＝＋＋6．
又＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，
∴m≤12，∴m的最大值为12．应选B．]
3．把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A．
cm2
B．4
cm2
C．3
cm2
D．2
cm2
D [设两段长分别为x
cm，(12－x)cm，则S＝×＋×＝≥×＝2，当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号．故两个正三角形面积之和的最小值为2
cm2．]
4．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2
＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64．
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2
＝18．
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18．
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-
1
-3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解函数零点的概念．(重点)2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点)
通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养．
函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格；并思考它们有着怎样的联系？
a>0
a<0
一次函数y＝ax＋b的图象
一元一次方程y＝ax＋b的根
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
1．二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)的零点．
提醒：函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．
2．当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个相异的实数根x1,2＝
有两个相等的实数根x1,2＝－
没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的零点
有两个零点x1,2＝
有一个零点x＝－
无零点
1．函数y＝x2＋4x－5的零点为( )
A．－5和1
B．(－5,0)和(1,0)
C．－5
D．1
A [由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．]
2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为 ．
2 [由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．]
3．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为
．
{－3,0} [由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0,1)，所以n的取值集合为{－3,0}．]
求函数的零点
【例1】 求下列函数的零点．
(1)y＝3x2－2x－1；
(2)
y＝ax2－x－a－1(a∈R)；
(3)
y＝ax2＋bx＋c,
其图象如图所示．
[思路点拨] (1)直接解出相应方程的根．
(2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小．
(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标．
[解] (1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－．
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1．
又－(－1)＝，
①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1．
②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和．
综上：当a＝0或时，函数的零点为－1．
当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和．
(3)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3．
1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．
2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．
3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤：
(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；
(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数．
若可以因式分解，则一定存在零点．
(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．
1．求下列函数的零点．
(1)y＝2x2－3x－2；
(2)y＝ax2－x－1；
(3)y＝ax2＋bx＋c,
其图象如图所示．
[解] (1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为2和－．
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，
当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点；
当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2．
②当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1,2＝，
函数有两个零点和．
综上：当a＝0时，函数的零点为－1；
当a＝－时，函数的零点为－2；
当a>－时，函数有两个零点和；
当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点．
(3)
由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1．
函数的零点个数的论证与探究
【例2】 若a>2，求证：
函数y＝
(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[思路点拨] 要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等实数根．
[证明] 考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，
因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，
又a>2，所以Δ>0，
所以函数y＝
(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
(变题)求函数y＝
(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．
[解] [必要性]因为函数y＝
(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，
当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解．函数无零点；
当a≠2时，因为函数y＝
(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，
即
或
解得a≥2或a≤－2，
又a≠2，所以a>2或a≤－2，
所以函数y＝
(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，则a>2或a≤－2．
[充分性]当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，
Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，
所以函数y＝
(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点．
综上函数y＝
(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2．
二次函数y＝ax2＋bx＋c?a≠0?的零点的论证
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0?a≠0?的根的判别式Δ＝b2－4ac.
?1?Δ>0?
函数y＝ax2＋bx＋c?a≠0?有两个零点.
?2?Δ＝0?
函数y＝ax2＋bx＋c?a≠0?有一个零点.
?3?Δ<0?
函数y＝ax2＋bx＋c?a≠0?无零点.
2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
[证明] 当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；
当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．
综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
二次函数的零点分布探究
【例3】 (1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；
(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．
[思路点拨] (1)直接求出函数的零点，再加以判定．
(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究．
[解] (1)
由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2，
所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点．
(2)因为函数y＝
(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，
所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根．显然a≠2．
由一元二次方程的根与系数的关系得
即
所以a<－2．
即实数a的取值范围(－∞，－2)．
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究
结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理
(1)
?
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．
(2)
?
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．
(3)
x1x2<0?
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．
2．二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．
3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．
(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；
(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围．
[解] 法一：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a，
(1)因为该函数有两个正的零点，所以
解得0所以a的取值范围是0(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，
所以
或
解得a>1或a<0．
所以a的取值范围是a>1或a<0．
法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0，
所以
解得0所以a的取值范围是0(2)
方程x2－x－a2＋a＝0中Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，设其两实数根分别为x1，x2，
则
因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，
所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0．
所以a的取值范围是a>1或a<0．
1．求函数的零点，可以结合相应函数的图象，看其与x轴交点的横坐标，也可以直接解相应的方程，求出其不相等的实数根；对于含有参数的函数零点个数的讨论，可以着手从参数是否影响方程的次数、方程根的存在性、方程根的大小等方面确定分类讨论的标准．
2．二次函数零点个数的论证本质上就是论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系．
3．二次函数零点的分布研究，可以先解出相应方程的实数根，再判定，也可以研究相应的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．
1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④
B．①④
C．②③
D．①③
B [因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a2．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1,1)上有零点，则实数a的取值范围是 ．
(－∞，－3)∪(1，＋∞) [当a＝0时，函数y＝3，无零点，当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得，x＝，所以－1<<1，当a>0时－2a1；当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3，所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]
3．已知p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有异号两个实数根，q：ac<－1，则p是q的 条件．
必要不充分 [因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有异号两个实数根?x1x2＝<0?ac<0，所以p是q的必要不充分条件．]
4．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，求实数m的取值范围．
[解] 作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0，
则有x＝m时，y<0，且x＝m＋1时，y<0．
即
解得－所以实数m的取值范围为．
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-
9
-3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 一元二次不等式及其解法
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．
2022年，冬季奥运会将在中国举行，跳台滑雪是其中最具有观赏性的项目之一，一位跳台滑雪运动员在90
m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68
m．他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110
km/h．那么他能实现自己的目标吗？
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式．
思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
[提示] 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
2．三个“二次”的关系
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0的根
有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有根实数
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
ax2＋bx＋c＞0的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
ax2＋bx＋c＜0的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
思考2：若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
[提示] 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则解得a>，所以a∈使不等式ax2＋x＋1>0的解集为R．
1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A．
B．
C．
D．R
C [3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≥3或x≤－．]
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A．
B．
C．?
D．R
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R．]
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是 ．
{x|x>5或x<－1} [由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，
因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为 ．
? [原不等式变形为3x2－5x＋4<0．
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?．]
一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0．
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－．又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为．
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
?1?化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
?2?判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
?3?求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
?4?画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
?5?写解集.根据图象写出不等式的解集.
1．解下列不等式
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0．
[解] (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2>0的解集为
．
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为．
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R．
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为．
含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．
[思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1．
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1．
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0．
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈?；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为．
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0．
∵a<0，∴(x＋1)≤0．
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤．
综上所述，
当－2当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为．
三个“二次”的关系
[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
[提示] y＝x2－2x－3的图象如示．
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
[提示] 方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1[提示] 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1【例3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[思路点拨]
[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|21．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0．
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0．
解得．
2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解] 法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0．
又×2＝＜0，则c＞0．
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－．
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0．
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
所求不等式的解集为．
法二：由已知得a＜0
且＋2＝－，×2＝知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，
－＝＝＝－，
∴x1＝－3，x2＝．
∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为．
已知以a，b，c为参数的不等式?如ax2＋bx＋c＞0?的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
?1?根据解集来判断二次项系数的符号；
?2?根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
?3?约去
a，
将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0．
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．
( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．
( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1( )
(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R．
( )
[提示] (1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．
(2)因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R．
(3)当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1(4)因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为 ．
[因为a<－1，所以a(x－a)·<0?(x－a)·>0．又a<－1，所以>a，所以x>或x3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为 ．
[由题意知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故
解得a＝c，b＝a．
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
解得0的解集为．]
4．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1)．
[解] (1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R．
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1
-第2课时 一元二次不等式的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)2．理解三个“二次”之间的关系．3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
1．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．2．借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养．
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一个限速为40
km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6
m，乙车的刹车距离略超过10
m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s
m与车速v
km/h之间的关系分别是什么？试判断甲、乙两车有无超速现象．
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型
同解不等式
＞0(＜0)
(其中a，b，c，d为常数)
法一：或法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
≥0(≤0)
法一：或法二：
＞k(其中k为非零实数)
先移项通分转化为上述两种形式
思考1：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
[提示] 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立?y最大值≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立?y最小值≥k
思考2：x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？
[提示] x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．
3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
(3)解不等式(或求函数最值)．
(4)回扣实际问题．
思考3：解一元二次不等式应用题的关键是什么？
[提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0C．{x|0≤x<2}
D．{x|0≤x≤1}
B [∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|02．不等式≥5的解集是 ．
[原不等式?≥?≤0?解得03．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
(0,8) [因为x2－ax＋2a>0在R上恒成立，
所以Δ＝a2－4×2a<0，所以04．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是 ．
[10,30] [设矩形高为y
m，由三角形相似得：＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30．]
分式不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1．
[解] (1)<0?(x－3)(x＋2)<0?－2∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，
∴－1≤0，
∴≤0，
即≥0．
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为．
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
1．解下列不等式：(1)≥0；(2)<3．
[解] (1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3．
即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，
即<0．
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1所以，原不等式的解集为{x|－1一元二次不等式的应用
【例2】 国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．
[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2
400m×8%×78%．
[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2．
根据x的实际意义，知0解不等式应用题的步骤
2．某校园内有一块长为800
m，宽为600
m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
[解] 设花卉带的宽度为x
m(0m．
不等式恒成立问题
[探究问题]
1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，ax2＋2x＋2>0恒成立，如何求实数a的取值范围？
[提示] 若a＝0，显然ax2＋2x＋2>0不能对一切x∈R都成立，所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a>．
2．若函数y＝x2－ax－3对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？
[提示] 要使x2－ax－3<0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由函数y＝x2－ax－3的图象可知，此时a应满足
即
解得a<－2．
故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3<0在x∈[－3，－1]时恒成立．
3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？
[提示] 由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数y＝f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝g(a)＝2x·a＋x2－4x＋4．
要使对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立，只需满足即
因为x2－2x＋4<0的解集是空集，
所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立．
【例3】 已知y＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，y≥0恒成立，求a的取值范围．
[思路点拨] 对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．
[解] 设函数y＝x2＋ax＋3－a在x∈[－2,2]时的最小值为m，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，m＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，m＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2．
(3)当－>2，即a<－4时，m＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4．
综上，a的取值范围为－7≤a≤2．
1．(变结论)本例条件不变，若y≥2恒成立，求a的取值范围．
[解] 若x∈[－2,2]，y≥2恒成立可转化为：当x∈[－2,2]时，函数的最小值m≥2?
或或
解得a的取值范围为[－5，－2＋2]．
2．(变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围．
[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，
∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，
∴Δ＝4－4(a2－3)<0，解得a>2或a<－2．
法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足函数的最小值m＝a2－4>0，解得a>2或a<－2．
法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2．
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．y≤a恒成立?a≥M(函数的最大值为M)，
y≥a恒成立?a≤m(函数的最小值为m)．
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有分母时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：
(1)若关于x的函数有最大值M，则a>y恒成立?a>M；(2)若关于x的函数有最小值m，则a1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式>1的解集为x<1．
( )
(2)求解m>x2＋mx恒成立时，可转化为求解函数y＝x2＋mx的最大值，从而求出m的范围．
( )
[提示] (1)>1?－1>0?<0?{x|0(2)错．因为参数m没有完全分离出来．
[答案] (1)× (2)×
2．不等式<0的解集为( )
A．{x|－2B．{x|－2C．{x|－1D．{x|－3A [原不等式?∴－23．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈(1,3)恒成立，则a的取值范围是 ．
(－∞，5] [原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1,3)恒成立，设y＝－x2＋2x＋8，易知该函数在[1,3]上的最小值为5．
∴a∈(－∞，5]．]
4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得15≤x<20．
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．
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-第3章
不等式
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
一元二次不等式的解法
[探究问题]
1．当a>0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示] 借助函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x<α或x>β}．
2．若[探究1]中的a<0，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示] 解集为{x|α3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示] 当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集为?．
【例1】 若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围．
[思路点拨] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．
[解] 由x2－x－2>0，得x<－1或x>2．
对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k．
(1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为，显然－2．
(2)当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为?．
(3)当－<－k，即k<时，
不等式的解集为．
∴不等式组的解集由
或确定．
∵原不等式组整数解只有－2，
∴－2<－k≤3，
故所求k的范围是－3≤k<2．
(变条件，变结论)若将例题改为“已知a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0”．
[解] (1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，
故解集为{x|x>0}．
(2)若a>0，Δ＝4－4a2．
①当Δ>0，即0∴原不等式的解集为
．
②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?．
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?．
(3)若a<0，Δ＝4－4a2．
①当Δ>0，即－1②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式可化为(x＋1)2>0，
∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R．
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R．
不等式的解法
?1?一元二次不等式的解法.
①将不等式化为ax2＋bx＋c>0?a>0?或ax2＋bx＋c<0?a>0?的形式；
②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集.
?2?含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.
不等式恒成立问题
【例2】 已知不等式mx2－mx－1<0．
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．
[思路点拨] 先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题．
[解] (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0
恒成立?解得－4综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]．
(2)令y＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，y＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需当x＝1时，y<0，即y＝－1<0；当x＝3时，y<0，即y＝9m－3m－1<0，解得m<，∴0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需当x＝1时，函数y<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是．
(3)令z＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需当m＝－2时，函数z＝－2(x2－x)－1<0；当m＝2时，函数z＝2(x2－x)－1<0；
解得∴实数x的取值范围是．
对于不等式恒成立求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：
?1?变更主元法,根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元.
?2?分离参数法,先将参数与变量分离到等式两边，转化为相关函数得最值问题.
?3?数形结合法,利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.
1．设y＝mx2－mx－6＋m，
(1)若对于m∈[－2,2]，mx2－mx－6＋m<0恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，mx2－mx－6＋m<0恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)依题意，设y＝(x2－x＋1)m－6，
则y＝(x2－x＋1)m－6为关于m的一次函数，且一次项系数x2－x＋1＝＋>0，
所以y＝(x2－x＋1)m－6在[－2,2]上y随m的增大而增大，
所以m＝2时，y的最大值为2(x2－x＋1)－6，
所以欲使mx2－mx－6＋m
<0恒成立，
需2(x2－x＋1)－6<0，
解得－1(2)法一：要使m(x2－x＋1)－6<0在[1,3]上恒成立，
则有m<在[1,3]上恒成立，
而当x∈[1,3]时，
＝eq
\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋\f(3,4))≥＝，
所以m<，
因此m的取值范围是．
法二：①当m＝0时，y＝－6<0对x∈[1,3]恒成立，所以m＝0．
②当m≠0时y＝mx2－mx－6＋m的图象的对称轴为x＝，
若m>0，则y＝mx2－mx－6＋m在[1,3]上y随x的增大而增大，
所以x＝3时，y的最大值为7m－6．
要使mx2－mx－6＋m<0对x∈[1,3]恒成立，
只需7m－6<0，
所以0若m<0，则y＝mx2－mx－6＋m在[1,3]上随x的增大而减小，
所以x＝1时，y的最大值为m－6．
要使mx2－mx－6＋m<0对x∈[1,3]恒成立，
只需m<6，
所以m<0．
综上可知m的取值范围是．
利用基本不等式求最值
【例3】 设函数y＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数y＝x＋的最小值；
(2)若a>1且a为正常数，求函数y＝x＋的最小值．
[解] (1)把a＝2代入y＝x＋，
得y＝x＋＝(x＋1)＋－1，
∵x∈[0，＋∞)，
∴x＋1>0，>0，
∴x＋1＋≥2，当且仅当x＋1＝，
即x＝－1时等号成立，此时函数y＝x＋的最小值为2－1．
(2)当a>1时，y＝x＋1＋－1，
x＋1＋≥2，
则当且仅当x＋1＝时取等号，
即x＝－1时取等号，
所以函数y＝x＋的最小值为2－1．
基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛.
?1?基本不等式通常用来求最值，一般用a＋b≥2?a>0，b>0?解“定积求和，和最小”问题，用ab≤解“定和求积，积最大”问题.
?2?在实际运用中，经常涉及函数f?x?＝x＋?k>0?，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.
2．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
[解] (1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0．2]t≥25×8，
整理得t2－65t＋1
000≤0，
解得25≤t≤40．
因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，
∴a≥10．2．
因此当该商品明年的销售量a至少应达到10．2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．
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