4.2.2 对数的运算性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)2．了解换底公式．3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的核心素养．
回顾指数性质：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么对数有哪些性质？如loga(MN)＝？
1．符号表示
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
2．文字表述
(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；
(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．
3．换底公式
一般地，我们有logaN＝，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．
4．与换底公式有关的几个结论
(1)loga
b·logb
a＝1(a，b>0且a，b≠1)；
(2)
＝loga
b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．
( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．
( )
(3)loga(－2)4＝4loga(－2)．
( )
[提示] 根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．(1)log2
25－log2
＝ ；(2)log2
8＝ ．
(1)2 (2)3 [(1)log2
25－log2
＝log2
25×＝log2
4＝log2
22＝2log2
2＝2．
(2)log2
8＝log2
23＝3log2
2＝3．]
3．若lg
5＝a，lg
7＝b，用a，b表示log75＝ ．
[log75＝＝．]
对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值：
(1)lg
2＋lg
5；(2)log535＋2logeq
\s\do12()－log5
－log5
14；
(3)[(1－log6
3)2＋log6
2·log6
18]÷log6
4．
[思路点拨] 根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．
[解] (1)lg
2＋lg
5＝lg
(2×5)＝lg
10＝1．
(2)原式＝log5
＋2logeq
\s\do12()2eq
\s\up12()＝log5
53－1＝2．
(3)原式＝[(log6
6－log6
3)2＋log6
2·log6(2·32)]÷log6
4
＝eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6
\f(6,3)))＋log6
2?log6
2＋log6
32?))÷log6
22
＝[(log6
2)2＋(log6
2)2＋2log6
2·log6
3]÷2log6
2
＝log6
2＋log6
3＝log6(2·3)＝1．
1．对于同底的对数的化简常用的方法
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．
2．注意对数的性质的应用，如loga1＝0，logaa＝1，a＝N．
3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．
1．计算下列各式的值：
(1)lg
－lg
＋lg
；
(2)lg
25＋lg
8＋lg
5×lg
20＋(lg
2)2；
(3)2log32－log3＋log38－5．
[解] (1)法一：原式＝(5lg
2－2lg
7)－×lg
2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5＝(lg
2＋lg
5)
＝lg
10＝．
法二：原式＝lg
－lg
4＋lg
7
＝lg
＝lg
(·)＝lg
＝．
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3．
(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1．
【例2】 化简：
(1)log2(28×82)；(2)用lg
2和lg
3表示lg
24；
(3)用loga
x，loga
y，loga
z表示loga(xy2zeq
\s\up12(－))．
[思路点拨] 将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．
[解] (1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2
214＝14．
(2)lg
24＝lg
(3×8)＝lg
3＋lg
8＝lg
3＋3lg
2．
(3)loga(xy2zeq
\s\up12(－))＝loga
x＋loga
y2＋loga
zeq
\s\up12(－)＝loga
x＋2loga
y－loga
z．
1．这类问题一般有两种处理方法
一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠loga
M·loga
N，loga(M±N)≠loga
M±loga
N．
2．对数的运算性质的推广：＝loga
b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．
2．化简：
(1)logeq
\s\do7()
(45×82)；(2)logeq
\s\do7()
27－logeq
\s\do7()
9；
(3)用lg
x，lg
y，lg
z表示lg
．
换底公式及其应用
【例3】 (1)已知3a＝5b＝c，且＋＝2，则c的值为 ．
(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py．
①求p；
②证明：－＝．
[思路点拨] 用换底公式统一底数再求解．
(1) [由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以＝logc3，＝logc5．又＋＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝．]
(2)[解] ①设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，
解得p＝2log34＝4log32．
②证明：－＝－
＝logk6－logk3＝logk2，
而＝＝logk4＝logk2．
故－＝．
1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．
2．换底公式推导出的两个恒等式：
(1)＝loga
N；
(2)loga
b·logb
a＝1，要注意熟练应用．
3．计算：(log2
125＋log4
25＋log8
5)(log5
2＋log25
4＋log125
8)．
对数运算在实际问题中的应用
【例4】 2019年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2019年的2倍？(已知lg
2≈0．301
0，lg
3≈0．477
1，lg
1．08≈0．033
4，精确到1年)
[思路点拨] 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．
[解] 设经过x年，我国国民生产总值是2019年的2倍．
经过1年，总产值为a(1＋8%)，
经过2年，总产值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，总产值为a(1＋8%)x．
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1．08x＝2，
两边取常用对数，得lg
1．08x＝lg
2，
则x＝≈≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2019年的2倍．
解对数应用题的步骤
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
[解] 假设经过x年，该物质的剩余量是原来的，
根据题意得：0.75x＝，
∴x＝log0.75
＝－＝－≈4．
故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的．
利用对数运算性质解简单的对数方程
[探究问题]
1．对数的运算性质有哪些？
[提示] loga
(MN)＝loga
M＋loga
N，loga
＝loga
M－loga
N，loga
b＝，loga
Mn＝nloga
M，＝loga
b．
2．解对数方程loga
M＝loga
N应注意什么？
[提示]
【例5】 已知lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，求logeq
\s\do12()的值．
[思路点拨] 根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可．
[解] lg
x＋lg
y＝lg
(xy)＝2lg
(x－2y)＝lg
(x－2y)2，
由题知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
∴－5＋4＝0，
∴＝0，故＝1或4．
又当x＝y时，x－2y＝－y<0，故舍去，∴＝4．
∴logeq
\s\do12()
＝logeq
\s\do12()
4＝－2．
解含对数式的方程应注意的两点
(1)对数的运算性质；
(2)对数中底数和真数的范围限制．
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；③logaM±logaN＝loga(M±N)．
1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，则下列式子正确的是( )
A．logax＋logay＝loga(x＋y)
B．logax－logay＝loga(x－y)
C．loga＝logax÷logay
D．loga(xy)＝logax＋logay
D [由对数的运算性质知D正确．]
2．已知lg
2＝a，lg
7＝b，那么用a，b表示log8
98＝ ．
[log8
98＝＝＝．]
3．已知2m＝5n＝10，则＋＝ ．
1 [因为m＝log2
10，n＝log5
10，所以＋＝lg
2＋lg
5＝lg
10＝1．]
4．若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
[解] 原方程可化为：2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0．
设lg
x＝t，即原方程为2t2－4t＋1＝0．
所以t1＋t2＝2，t1·t2＝．
又因为a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，
则lg
a＝t1，lg
b＝t2，即lg
a＋lg
b＝2,
lg
a·lg
b＝．
lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12．
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-
1
-指数与对数
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
指数的运算
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[思路点拨] 按照指数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用．
1．
对数的运算
1．对数的运算应遵循的原则
对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
2．对于底数相同的对数式的化简常用的方法
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
【例2】 计算下列各式：
3．计算下列各式：
(1)lg
25＋lg
2＋lg＋lg(0．01)－1；
(2)2log32－log3＋log38－3log55．
[解] (1)法一：原式＝lg[25eq
\s\up12()×2×10eq
\s\up12()×(10－2)－1]
＝lg(5×2×10eq
\s\up12()×102)＝lg
10eq
\s\up12()＝．
法二：原式＝lg
52＋lg
2＋lg
10－lg
10－2
＝(lg
5＋lg
2)＋－(－2)＝lg
10＋＋2
＝1＋＋2＝．
(2)法一：原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3
＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1．
法二：原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3＝2－3＝－1．
利用对数的运算性质进行求值
对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．
【例3】 若lg
a＋lg
b＝4，lg
a·lg
b＝，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
[解] lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg
a＋lg
b)
＝(lg
a＋lg
b)·＝(lg
a＋lg
b)·＝4×＝248．
4．若logab＋3logba＝，则用a表示b的式子是 ．
b＝或b＝a6 [
原式可化为＋3logba＝，
整理得3(logba)2＋1－logba＝0，即6(logba)2－13logba＋2＝0．
解得logba＝2或logba＝，所以b2＝a或beq
\s\up12()＝a．即b＝或b＝a6．]
5．已知lg
a＋lg
b＝2lg(a－2b)，求log2的值．
[解] 因为lg
a＋lg
b＝2lg(a－2b)，
所以lg
ab＝lg(a－2b)2，
ab＝(a－2b)2，a2－5ab＋4b2＝0，
即(a－b)(a－4b)＝0，
所以a＝b或a＝4b．
又因为a－2b>0，
所以a＝4b，log2＝log24＝2．
解简单的指数和对数方程
解简单的指数和对数方程的三种方法
(1)化同底：将指数方程变形为am＝an?m＝n．
形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的对数方程，等价转化为M＝N，且
求解．
(2)定义法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M＝ab求解．
(3)换元法：设t＝ax(t＝logax)，将方程转化为关于t的一元二次方程求出t，再解出x．
【例4】 根据下列条件，分别求实数x的值：
(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；
(2)32x＋1－6x＝22x＋2．
[解] (1)原方程可化为log2(2－x)＝log2[2(x－1)]，得2－x＝2(x－1)，解得x＝．经检验知，原方程的解为x＝．
(2)原方程可化为3×32x－2x×3x－4×22x＝0，
因式分解得(3×3x－4×2x)(3x＋2x)＝0，
则3×3x－4×2x＝0，即＝，
解得x＝logeq
\s\do12()
．
6．解下列关于x的方程：
(1)lg＝lg(x－1)；
(2)log4(3－x)＋log0．25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0．25(2x＋1)．
[解] (1)原方程等价于
解之得x＝2．
经检验x＝2是原方程的解，所以原方程的解为x＝2．
(2)原方程可化为log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2x＋1)．
即log4＝log4．
整理得＝，解之得x＝7或x＝0．
当x＝7时，3－x＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x＝0满足，
所以原方程的解为x＝0．
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1
-www.
4.2 对数
4.2.1 对数的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解对数的概念．(重点)2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点)3．掌握常用对数与自然对数的定义．
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养．
若某物质最初的质量为1，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，则经过x年，该物质的剩留量y＝0．84x．由此，知道了经过的时间x，就能求出该物质的剩留量y；反过来，知道了该物质的剩留量y，怎样求出所经过的时间x呢？
1．对数
一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log10N简记为lg
N．
3．自然对数
以e为底的对数称为自然对数．其中e＝2．718
28…是一个无理数，正数N的自然对数logeN一般简记为ln
N．
4．几个特殊对数值
(1)loga1＝0，logaa＝1，loga＝－1．(其中a＞0且a≠1)．
(2)对数恒等式：a＝N(a>0，a≠1，N>0)．
(3)零和负数没有对数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4．
( )
(2)对数式log32与log23的意义一样．
( )
(3)对数的运算实质是求幂指数．
( )
(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．
( )
(5)lg
10＝ln
e＝1．
( )
[提示] (1)－2不能作底数；(2)log2
3与log3
2底数和真数均不同，意义不一样；(4)a>0且a≠1．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．计算：log3
9＝ ，2＝ ．
2 3 [log3
9＝2,2＝3．]
3．(1)已知log4x＝－，求x；
(2)已知log2(log3x)＝1，求x；
(3)求log－1(3＋2)．
[解] (1)∵log4x＝－，∴x＝4eq
\s\up12(－)＝2－3＝．
(2)∵log2(log3x)＝1，∴log3x＝21＝2，∴x＝32＝9．
(3)设y＝
(3＋2)，则(－1)y＝3＋2＝(＋1)2＝(－1)－2，则y＝－2，即
(3＋2)＝－2．
对数的概念
【例1】 使对数log2a－2(10－4a)有意义的a的取值范围是 ．
[思路点拨] 根据对数中底数和真数的取值范围求解．
∪ [要使log2a－2(10－4a)有意义，则?1
根据对数的定义，应满足底数大于0且不为1，真数大于0，列不等式组即可.
1．(1)使loga
(3a－2)有意义的a的取值范围是 ．
(2)使
(－3x＋6)有意义的x的取值范围是 ．
(1) (2){x|x<2且x≠0}
[(1)令?a>且a≠1．
(2)令?x<2且x≠0．]
指数式与对数式的互化
【例2】 (1)将下列各指数式改写成对数式：
①24＝16；②3－3＝；③5a＝20；④＝0．45．
(2)将下列各对数式改写成指数式：
①logeq
\s\do12()16＝－4；②log2128＝7；
③lg
0．01＝－2；④ln
10＝2．303．
[思路点拨] 利用ax＝N?x＝loga
N(a>0且a≠1)进行互化．
[解] (1)①24＝16?log216＝4．
②3－3＝?log3＝－3．
③5a＝20?log520＝a．
④＝0．45?logeq
\s\do12()0．45＝b．
(2)①＝16．
②27＝128．
③10－2＝0．01．
④e2．303＝10．
1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0时，才有ax＝N?x＝logaN．
2．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：
2．下列指数式与对数式的互化正确的序号是 ．
①N＝a2与logNa＝2；
＝4与()4＝4；
③＝64与log64＝－；
＝z与xz＝yeq
\s\up12()．
②④ [①N＝a2?loga
N＝2(a>0且a≠1)；
③＝64?logeq
\s\do12()
64＝－3．]
3．设a＝log3
7，b＝log3
28，则32a－b＝ ．
[由题知3a＝7,3b＝28，
∴32a－b＝＝＝＝．]
解指数、对数方程
[探究问题]
1．方程x＝42，x＝33的解是什么？如何解x＝ab型的方程？
[提示] x＝42＝16，x＝33＝27，
解x＝ab时按幂的运算法则计算即可．
2．方程x2＝4(x>0)，x3＝64的解是什么？如何解xk＝b(k∈Z)?
[提示] x2＝4，∴x＝＝2，
x3＝64，∴x＝＝4，
xk＝b，∴x＝
即可通过开方运算求解．
3．方程2x＝8的解是什么？2x＝7呢？如何解ax＝b(a>0，a≠1)?
[提示] ∵23＝8，∴2x＝8的解为x＝3，
2x＝7，∴x＝log2
7，
ax＝b，x＝loga
b，即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．
【例3】 解方程：
(1)9x＝27；(2)ex＝e2；(3)5＝25；
(4)log2(log3(log4x))＝0；(5)logx16＝－4；
(6)x＝－ln
e－3．
[思路点拨] 利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．
[解] (1)9x＝27，∴(32)x＝33，即32x＝33，
∴2x＝3，∴x＝．
(2)∵ex＝e2，∴x＝2．
(3)5＝2x－1＝25，∴x＝13．
(4)∵log2(log3(log4
x))＝0，∴log3(log4
x)＝20＝1，
∴log4
x＝31＝3，∴x＝43＝64．
(5)∵x－4＝16，∴＝16＝24，∴＝±2，∴x＝±．
又x>0，∴x＝．
(6)x＝－ln
e－3，∴－x＝ln
e－3，∴e－x＝e－3，∴－x＝－3，∴x＝3．
解指数、对数方程时的注意点
(1)将对数式转化为指数式，构建方程转化为指数问题．
(2)利用幂的运算性质和指数的性质计算求解．
(3)x的取值范围是否在指数、对数式的互化中发生了改变．
4．求下列各式中的x值．
(1)
)(3x2＋2x－1)＝1；(2)lg
0．001＝x；
(3)logx8＝3；(4)2＝．
[解] (1)由题知2x2－1＝3x2＋2x－1，得x＝0或x＝－2，
当x＝0时，2x2－1＝－1<0，∴x≠0，
当x＝－2时，符合题意，∴x＝－2．
(2)10x＝0．001＝10－3，∴x＝－3．
(3)x3＝8，∴x＝＝2．
(4)2＝x2＝，∴x＝±．
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)a＝N．
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．]
2．在N＝log(10－b)(b－2)中，实数b的取值范围是 ．
(2,9)∪(9,10) [令∴23．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝ ．
12 [∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3．
∴a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12．]
4．求值：
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1
-4.1 指数
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点)3．了解实数指数幂的意义．
通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．
我们已经知道，，，，…是正整数指数幂，它们的值分别为，，，…．那么，eq
\s\up12()，eq
\s\up12()，eq
\s\up12()的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识．
1．平方根与立方根的概念
如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．
2．a的n次方根
(1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N
)，那么称x为a的n次方根，式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．
(2)几个规定：
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝；
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式；
③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．
3．根式的性质
(1)＝0(n∈N
，且n>1)；
(2)()＝a(n为大于1的奇数)；
(3)()＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
(4)()n＝a(n∈N
，且n>1，a使得有意义)．
4．分数指数幂的意义
一般地，我们规定：
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．0的0次幂没有意义．
5．有理数指数幂的运算性质
(1)asat＝as＋t；
(2)(as)t＝ast；
(3)(ab)t＝atbt，
(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)16的四次方根为2．
( )
(2)＝π－4．
( )
(3)＝－2．
( )
[提示] (1)16的四次方根有两个，是±2；(2)＝|π－4|＝4－π；(3)没意义．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为 ．
[1，＋∞) [由题意知x－1≥0，∴x≥1．]
3．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ．(填序号)
(1)＝5eq
\s\up12()；(2)2eq
\s\up12(－)＝eq
\s\up12()；(3)＝(－2)eq
\s\up12()；(4)3eq
\s\up12()＝．
(1)(2) [根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．]
4．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝ ．
8 [52x－y＝＝＝＝8．]
根式的性质
【例1】 求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)－，x∈(－3,3)．
[思路点拨] 利用根式的性质进行求解．
[解] (1)＝－2．
(2)＝＝．
(3)＝|3－π|＝π－3．
(4)＝＝|a3|＝
(5)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1因此，原式＝
1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．注意与()n的区别
()n＝a(当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，a≥0)；
＝
1．(1)化简：()2＋＋＝ ．
(2)若＋＝0，则yx＝ ．
(1)a－1 (2)－3 [(1)易知a－1≥0，原式＝(a－1)＋|a－1|＋1－a＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1．
(2)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|，
∴?
∴yx＝(－3)1＝－3．]
根式与分数指数幂的互化
【例2】 将下列根式化成分数指数幂的形式．
[思路点拨] 利用分数指数幂的意义以及有理数指数幂的运算性质进行转化．
1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用aeq
\s\up12()＝和aeq
\s\up12(－)＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．
2．将下列根式化成分数指数幂的形式．
分数指数幂的运算
【例3】 (1)计算：0．064eq
\s\up12(－)－＋[(－2)3]
eq
\s\up12(－)＋16－0．75＋|－0．01|eq
\s\up12()；
[思路点拨] 将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．
指数幂与根式运算的技巧
?1?有理数指数幂的运算技巧
①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算.
②指数的处理：负指数先化为正指数.?底数互为倒数?
③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示.
?2?根式运算技巧
①各根式?尤其是根指数不同时?要先化成分数指数幂，再运算.
②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.
条件求值问题
[探究问题]
1．xeq
\s\up12()＋xeq
\s\up12(－)与x＋x－1有什么关系？x＋x－1与x2＋x－2有什么关系？
[提示] x＋x－1＝
x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2．
2．立方和(差)公式是什么？
[提示] a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
【例4】 已知aeq
\s\up12()＋aeq
\s\up12(－)＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2．
[思路点拨] 考虑到如何由aeq
\s\up12()＋aeq
\s\up12(－)得到a＋a－1．
[解] (1)将aeq
\s\up12()＋aeq
\s\up12(－)＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3．
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7．
1．(变结论)在本例条件下，a2－a－2＝ ．
±3 [令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3．]
2．(变条件)若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a条件求值问题的常用方法
?1?整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.
?2?求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果.
1．掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N
)；
(2)n为奇数且n∈N
，＝a；
n为偶数且n∈N
，＝|a|＝
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．
1．以下说法正确的是 ．(填序号)
①正数的n次方根是正数；
②负数的n次方根是负数；
③0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N
)；
④a的n次方根是．
③ [由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故①错；由于负数的偶次方根无意义，故②错；③显然正确；当a＜0时，只有n为大于1的奇数时才有意义，故④错．]
2．计算：(1)＝ ．(x<1)
(2)[(－)2]eq
\s\up12(－)的结果是 ．
(1)1－x (2) [(1)原式＝＝|x－1|＝1－x．
(2)[(－)2]eq
\s\up12(－)＝2eq
\s\up12(－)＝．]
3．计算：
(－0．9)0＋·eq
\s\up12()＋．
[解] 由题意，原式＝1＋×＋(－1)＝＋1．
4．若代数式＋有意义，化简：
＋2．
[解] 由＋有意义，
则即≤x≤2．
故＋2
＝＋2
＝|2x－1|＋2|x－2|
＝2x－1＋2(2－x)＝3．
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