5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)
通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养，提升学生的数学运算核心素养．
(1)国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示：
年度
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
中国创新指数
116.5
125.5
131.8
139.6
148.2
152.6
158.2
171.5
如果用y表示年度值，I表示中国创新指数的取值，则I是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)．
如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
1．函数的概念
函数的定义
一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
从集合A到集合B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A
函数的定义域
在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的x(输入值)组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
函数的值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域
2．两个函数是同一函数
(1)定义域和对应关系都相同的两个函数．
(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定．
(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合．
思考：定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？
[提示] 不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．
( )
(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．
( )
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．(1)函数f(x)＝的定义域为 ．
(2)函数f(x)＝的定义域为 ．
(3)函数f(x)＝(x∈N)的定义域为 ．
(1){x|x≥10} (2){x|x>2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} [(1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．
(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．
(3)?∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．]
3．若f(x)＝x2－3x＋2，则f(1)＝ ．
0 [f(1)＝12－3×1＋2＝0．]
4．若f(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f(x)的值域为 ．
{－3，－2，－1,0} [f(0)＝－3，f(1)＝－2，f(2)＝－1，f(3)＝0．]
函数的概念
【例1】 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；
(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0．
[思路点拨] 求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
[解] (1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|B，故不能构成函数．
(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故不能构成函数．
(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．
(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
1．下列对应关系式中是A到B的函数的有 ．(填序号)
①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；
②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝．
② [对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．]
求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝＋x0＋；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝ln(x＋1)＋；
(6)f(x)＝(x＋1)－＋lg(－x)．
[思路点拨] 根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．
[解] (1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，∴x>，
即f(x)的定义域为．
(2)要使f(x)有意义，则?x≥－1且x≠2，
即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
(3)要使f(x)有意义，则
解得x≥－4且x≠0，x≠－2，
即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．
(4)要使f(x)有意义，则x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，
即f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(5)要使f(x)有意义，则
即
解得x>－1且x≠0且x≠1，
即f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)∪(1，＋∞)．
(6)要使f(x)＝＋lg(－x)有意义，则
解得x<0且x≠－1，
即f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
2．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋ln(x＋1)且
x∈Z．
[解] (1)要使函数有意义，只需所以x＜且x≠0，所以函数的定义域为．
(2)要使函数有意义，只需所以－1≤x≤3．
又x∈Z，所以x＝0,1,2,3．
所以函数的定义域为{0,1,2,3}．
求函数的值域或函数值
【例3】 已知f(x)＝x2－4x＋2．
(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；
(2)求f(x)的值域；
(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．
[思路点拨] (1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3))．
[解] (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，
f(a)＝a2－4a＋2，
f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1．
(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，
∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．
(3)g(3)＝3＋1＝4，
∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2．
在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．
[解] f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，
g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3．
1．函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
抽象函数求定义域
[探究问题]
1．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？
[提示] f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．
2．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？
[提示] y＝f(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．
3．如何将函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)中的自变量联系起来？
[提示] 由于x，x＋1均为f的作用对象，故二者均应在f(x)定义域之中，即y＝f(x)中x的范围与y＝f(x＋1)中x＋1的范围一致．
【例4】 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为 ．
(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，则f(x)的定义域为 ．
(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1,4]，则f(2x)的定义域为 ．
[思路点拨] 找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．
(1)[－1,2] (2)[3,6] (3) [(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，
故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．
(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．
(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈，
即f(2x)的定义域为．]
抽象函数的定义域
?1?已知f?x?的定义域，求f?g?x??的定义域：若f?x?的定义域为[a，b]，则f?g?x??中a≤g?x?≤b，从中解得x的取值范围即为f?g?x??的定义域.
?2?已知f?g?x??的定义域，求f?x?的定义域：若f?g?x??的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g?x?的取值范围，g?x?的取值范围即为f?x?的定义域.
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：
①定义域指自变量的取值范围.?告诉我们已知什么，求什么?
②括号内范围相同.?告诉我们如何将条件与结论联系起来
3．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3,2]，则f(x＋1)的定义域为 ．
[－5,0] [对于y＝f(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4，1]，∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．]
理解函数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的实数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)表示以x为自变量的函数，f是确定函数的对应关系．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数．
1．下列图象表示函数图象的是( )
C [根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案C中图象符合．]
2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝
A [A中定义域，对应关系都相同，是同一函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．]
3．函数y＝＋ln|2－x|的定义域是 ．
{x|x≥－1且x≠2} [要使函数有意义，需满足解不等式得定义域为{x|x≥－1且x≠2}．]
4．求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝．
[解] (1)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
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-第2课时 函数的图象
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1．理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象．(重点)2．能够利用图象解决一些简单的函数问题．(难点)
通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象核心素养．
作出下列两个函数的的图象，并比较定义域和值域．
(1)f(x)＝x2＋1，x∈{－1,0,1}；
(2)f(x)＝x2＋1．
1．函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
思考1：函数的图象是否可以关于x轴对称？
[提示] 不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．
思考2：函数y＝f(x)，x∈A的图象与直线x＝m(垂直于x轴的直线)的交点有几个？
[提示] 0或1个，具体来说，当m∈A，由函数的定义，它们有唯一交点，当mA，它们无交点．
2．作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线x＝a和函数y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点．
( )
(2)设函数y＝f(x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与集合Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f(x)的图象．
( )
[提示] (1)若a∈[m，n]，则x＝a与y＝f(x)有一个交点，若a[m，n]，则x＝a与y＝f(x)无交点，故(1)错误．
(2)Q是一个数集，P是一个点集，显然P≠Q，故(2)错误，但是P的图形表示的是函数y＝f(x)的图象．
[答案] (1)× (2)×
2．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f(x)的图象的有 ．(填序号)
②④ [能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故②④可以，①③不可以．]
3．函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是 ．(填序号)
③ [由题意知，函数的定义域是{－1,0,1}，值域是{0,1,2}，函数的图象是三个点，故③正确．]
作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象，并求函数的值域．
(1)y＝3－x(|x|∈N
且|x|<3)；
(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2)．
[思路点拨] (1)中函数的定义域为{－2，－1,1,2}，图象为直线上的四个孤立点．
(2)中函数图象为抛物线的一部分．
[解] (1)∵|x|∈N
且|x|<3，∴定义域为{－2，－1,1,2}，
∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．
由图象可知，值域为{5,4,2,1}．
(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1,2))，
故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1,2)上的部分，如图，
x＝1时，y＝1，x＝－1时，y＝5，∴函数的值域为[1,5]．
(变条件)将例1(2)中的定义域改为[0,3)，函数的图象与值域变成怎样了？
[解] 图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0,3)上的部分图象，如图．
∵x＝1时，y＝1，x＝3时，y＝5．∴值域变为[1,5)．
1．画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．
2．描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．
3．函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．
1．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
[解] (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②．
① ②
函数图象的应用
【例2】 已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如图所示，据图回答以下问题：
(1)比较f(－2)，f(0)，f(3)的大小；
(2)求f(x)在[－1,2]上的值域；
(3)求f(x)与y＝x的交点个数；
(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．
[思路点拨] 从图象上找到对应问题的切入点进而求解．
[解] (1)由题图可得f(－2)＝－5，f(0)＝3，f(3)＝0，
∴f(－2)
(2)在x∈[－1,2]时，f(－1)＝0，f(1)＝4，f(2)＝3，
∴f(x)∈[0,4]．
(3)在图象上作出直线y＝x的图象，如图所示，观察可得，f(x)与y＝x有两个交点．
(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．
∴0≤k<3或k＝4．
1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．
2．常借助函数图象求解以下几类问题
(1)比较函数值的大小；
(2)求函数的值域；
(3)分析两函数图象交点个数；
(4)求解不等式或参数范围．
2．若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．
[解] 原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，
即(x－2)2＝1－m，
设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，
由图可知：
①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3∴m＝1或－3(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解)
利用图象的平移变换作函数图象
[探究问题]
1．设f(x)＝x2，则f(x＋1)的表达式是什么，在同一坐标系中，作出两者的图象，这两个图象形状一样吗？位置呢？
[提示] f(x＋1)＝(x＋1)2，两者图象的形状相同，f(x＋1)的图象比f(x)的图象向左了一个单位．如图(1)．
图(1)
2．同一坐标系中作出f(x)＝x2，f(x－2)的图象，观察两者的形状和位置有什么异同？
[提示] f(x－2)＝(x－2)2，f(x)与f(x－2)的图象形状相同，f(x－2)的图象比f(x)的图象向右了2个单位．如图(2)．
图(2)
3．若已知y＝f(x)的图象，如何得到y＝f(x＋a)的图象？
[提示] 当a>0时，y＝f(x＋a)可由y＝f(x)向左移动a个单位．当a<0时，y＝f(x＋a)可由y＝f(x)向右移动|a|个单位．
4．若f(x)＝x2，写出y＝f(x)＋1和y＝f(x)－2的表达式，并在同一坐标系中作出三者的图象，观察其形状和位置的异同，由此，结合探究3，若已知f(x)的图象，如何得到y＝f(x)＋b的图象？
[提示] y＝f(x)＋1＝x2＋1，y＝f(x)－2＝x2－2，如图(3)．
图(3)
由y＝f(x)的图象得到y＝f(x)＋b的图象时，
若b>0，把f(x)的图象向上移动b个单位得y＝f(x)＋b的图象．若b<0，把f(x)的图象向下移动|b|个单位得y＝f(x)＋b的图象．
【例3】 用平移图象的方式作出y＝2＋的图象，并说明函数y＝2＋的值域．
[思路点拨] y＝2＋可以看作y＝先向右移动一个单位，又向上移动2个单位得到．
[解]
从图象可以看出y＝2＋的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
函数图象的平移变换
?1?左右平移：a＞0时，y＝f?x?的图象向左平移a个单位得到y＝f?x＋a?的图象；a＞0时，y＝f?x?的图象向右平移a个单位得到y＝f?x－a?的图象.
?2?上下平移：b＞0时，y＝f?x?的图象向上平移b个单位得到y＝f?x?＋b的图象；b＞0时，y＝f?x?的图象向下平移b个单位得到y＝f?x?－b的图象.
3．已知函数y＝，将其图象向左平移a(a>0)个单位，再向下平移b(b>0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为 ．
1 [y＝y＝y＝－b过(0,0)，故－b＝0，
∴1－ab＝0，∴ab＝1．]
1．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
2．在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确．
3．分析所给图象是不是函数图象的方法是：作一系列平行于y轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象是函数的图象，否则就不是函数的图象．
1．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( )
D [A中有一部分x值没有与之对应的y值；B中出现“一对多”的关系，不是函数关系；C中当x＝1时对应两个不同的y值，不构成函数；D中对应关系符合函数定义．]
2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的是( )
B [y＝－|x|，当x＝2时，y＝－2，当x＝－2时，y＝－2．故选B．]
3．函数y＝f(x)的图象如图所示．填空：
(1)f(0)＝ ；
(2)f(－1)＝ ；
(3)f(－3)＝ ；
(4)f(－2)＝ ；
(5)f(2)＝ ；
(6)f(4)＝ ；
(7)若2(1)4 (2)5 (3)0 (4)3 (5)2 (6)6 (7)f(x1)≤f(x2) [由图象知f(0)＝4，f(－1)＝5，f(－3)＝0，f(－2)＝3，f(2)＝2，f(4)＝6，当24．作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)．
[解] (1)用描点法可以作出y＝x2＋x(－1≤x≤1)的图象，如图所示．
易知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为．
(2)用描点法可以作出y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的图象，如图所示．
易知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
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-
1
-5.2 函数的表示方法
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)
通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．
观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？
1．函数的表示方法
2．分段函数
(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．
( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．
( )
(3)有些函数能用三种方法来表示．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．(一题两空)若函数f(x)＝则f(x)的定义域为
，值域为 ．
{x|x≠0} {y|y>－1} [定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}，
当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>－1，∴值域为{y|y>－1}．]
3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f(x)．
[解] 列表法：
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
图象法：
求函数解析式
【例1】 求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝ ．
(2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝ ．
(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝ ．
(4)设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为 ．
(5)若f＝x2＋，则f(x)＝ ．
[思路点拨] (1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x－看作一个整体来求解．
(1)－x＋3 (2)x2－1(x≥1) (3)2x－或－2x＋1 (4)f(x)＝ (5)x2＋4 [(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，
f(2x－1)＝a(2x－1)＋b，
f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，
所以解得
即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3．
(2)令＋1＝t(t≥1)，
则＝t－1，x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，
所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则
解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1．
(4)由题意得解得
故f(x)＝
(5)f＝x2＋＝＋4，
∴f(x)＝x2＋4．]
求函数解析式的常用方法
?1?待定系数法：已知函数f?x?的函数类型，求f?x?的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程?组?，确定其系数即可.
?2?换元法：令t＝g?x?，注明t的范围，再求出f?t?的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f?x?，一定要注意t的范围即为f?x?中x的范围.
?3?配凑法：已知f?g?x??的解析式，要求f?x?时，可从f?g?x??的解析式中拼凑出“g?x?”，即用g?x?来表示，再将解析式两边的g?x?用x代替即可.
?4?代入法：已知y＝f?x?的解析式求y＝f?g?x??的解析式时，可直接用新自变量g?x?替换y＝f?x?中的x.
1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝ ．
(2)若f＝＋，则f(x)＝ ．
(1)x＋ (2)x2－x＋1(x≠1)
[(1)设f(x)＝k1x＋，则?∴f(x)＝x＋．
(2)令t＝(t≠1)，则x＝，∴f(t)＝eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1))))＋(t－1)＝t2－t＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．]
分段函数
【例2】 已知函数f(x)＝
试求f(－5)，f(－)，f的值．
[思路点拨] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．
[解] 由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2．
因为f＝－＋1＝－，
－2<－<2，
所以f＝f
＝＋2×
＝－3＝－．
1．(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
[解] ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2即a2＋2a－3＝0．
所以(a－1)(a＋3)＝0，所以a＝1或a＝－3．
因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)，
所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2．
2．(变结论)本例条件不变，若f(m)>m(m≤－2或m≥2)，求实数m的取值范围．
[解] 若f(m)>m，
即或
即m≤－2或
所以m≤－2或m≥2．
所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．
求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．
方程组法求解析式
[探究问题]
1．解二元一次方程组的主导思想是什么？
[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．
2．解方程组：
[提示] 法一(代入消元法)：由②得A＝B＋6，代入①得B＋6＋B＝4，∴B＝－1，代入A＝B＋6，得A＝5，∴A＝5，B＝－1．
法二(加减消元法)：①＋②得2A＝10，∴A＝5，
①－②得2B＝－2，∴B＝－1．
3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如能求A，B吗？
[提示] 能求A，B．仍可以采用上述两种方法．
两式相加得2A＝x2＋4x，∴A＝，
两式相减得2B＝x2－4x，∴B＝．
【例3】 求解析式．
(1)已知f(x)＋2f(－x)＝，求f(x)；
(2)已知2f(x)＋f＝3x，求f(x)．
[思路点拨] 将f(x)与f(－x)，f(x)与f分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f(x)．
[解] (1)∵f(x)＋2f(－x)＝，
①
用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－，
②
②×2－①得3f(x)＝－－＝－，∴f(x)＝－．
(2)∵2f(x)＋f＝3x，
用替换x得2f＋f(x)＝，
消去f得3f(x)＝6x－，∴f(x)＝2x－．
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可．
2．已知f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为 ．
f(x)＝－－ [因为f(x)＝2f＋x，用替换x得f＝2f(x)＋，
代入上式得f(x)＝2＋x，
解得f(x)＝－－．]
1．函数三种表示法的优缺点
2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．
3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
C [先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．
距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]
2．已知函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，则f(10)＝ ．
20 [令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]
3．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝ ．
3x－2 [设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴∴
∴f(x)＝3x－2．]
4．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
[解] (1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4．
(2)当0≤x0≤2时，由x－4＝8，得x0＝±2(舍去)；
当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4．∴x0＝4．
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-5.3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
学
习
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标
核
心
素
养
1．理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)3．会求函数的单调区间．(重点、难点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象和逻辑推理素养．
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
1．单调增(减)函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2．当x1(1)f(x1)①称y＝f(x)在区间I上是增函数．
②I称为y＝f(x)的增区间．
(2)f(x1)>f(x2)
①称y＝f(x)在区间I上为减函数．
②I称为y＝f(x)的减区间．
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间．
思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？
[提示] 不能．如图所示，虽是f(－1)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性．
( )
(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．
( )
(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．
( )
[提示] (1)比如二次函数y＝x2在R上不具有单调性．
(2)必须对所有的都成立才能说明单调．
(3)减函数中自变量越小函数值越大．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．函数f(x)的图象如图所示，则函数的单调递增区间是 ．
[－1,2] [在区间[－1,2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，f(x)随着x的增大而增大，∴在[－1,2]上，f(x)为增函数．]
3．若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)＞f(b)，则a与b的大小关系是
．
a＜b [由减函数的定义知a＜b．]
利用函数图象求单调区间
【例1】 作出下列函数的图象，并写出单调区间．
(1)y＝x2－4；(2)y＝－；(3)f(x)＝
[思路点拨] 在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．
[解] 三个函数图象如图(1)(2)(3)．
(1) (2) (3)
(1)y＝x2－4的单调递减区间为(－∞，0]，递增区间为[0，＋∞)．
(2)y＝－的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．
(3)f(x)的单调增区间为(－∞，0]，[2，＋∞)，递减区间为[0,2]．
1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．
2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．
1．函数f(x)＝－x2＋|x|(x∈R)的单调递增区间为 ．
， [f(x)＝－x2＋|x|＝
图象如图所示：
∴f(x)的单调增区间为，．]
函数单调性的判断与证明
【例2】 用定义证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数．
[思路点拨] 解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．
[证明] 设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝．
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
∴＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
用定义证明(判断)函数单调性的步骤
2．证明函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增．
[证明] 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)．
∵x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0．
又x1∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
单调性的应用
[探究问题]
1．如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？
[提示] 先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，当x12．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？
[提示] 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．
【例3】 已知函数f(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且f(x－2)[思路点拨] 根据单调性可以去掉f，还应考虑定义域．
[∵f(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且f(x－2)∴x－2<1－x，∴x<．
又f(x)的定义域为[－2,2]，
∴
∴∴0≤x≤3，综上，0≤x<．]
1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当x1x2时，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)f(x2)时，x1>x2．当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．
2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．
3．已知f(x)在R上为减函数且f(2m)≥f(9－m)，则m的取值范围是 ．
m≤3 [由题意可得2m≤9－m，∴m≤3．]
1．对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)．
(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性．
2．单调性的判断方法
(1)定义法：利用定义严格判断．
(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．
(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”．
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．f(x)＝－
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝3－x
D．f(x)＝－|x|
A [函数f(x)＝－的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增；函数f(x)＝3－x在(0，＋∞)上是减函数；函数f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是减函数，故B、C、D错误．]
2．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调减区间为 ．
[由题图知，f(x)在上图象呈下降趋势，∴单调减区间为．]
3．若函数f(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为 ．
(－∞，2) [∵f(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，
∴k－2＜0，∴k＜2．]
4．已知函数f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
(1)判断函数f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性；
(2)解不等式：f＜f(x＋1
010)．
[解] (1)设1≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·．
由1≤x1＜x2得x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
(2)∵f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
∴f＜f(x＋1
010)?
解得≤x＜，故原不等式的解集为．
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7
-第2课时 函数的最大值、最小值
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点)2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)
通过学习本节内容，培养学生的直观想象和逻辑推理素养．
在下图中，我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0～24时之间，气温于14时达到最大值；从图象上看出，图象在这一点的位置最高．
从图中可以看出：对于任意的x∈[0,24]，都有f(x)与f(14)具有怎样的关系？
1．函数的最大值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．
2．函数的最小值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．
思考：函数的最值与值域是一回事吗？
[提示] 不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为1．
( )
(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M．
( )
(3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞．
( )
[提示]
(1)因为在定义域内找不到x使得x2＝－1成立．
(2)因为“无数”并非“所有”，故不正确．
(3)“＋∞”不是一个具体数．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是
．
[答案] －1
3．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值是 ．
3 [根据函数图象(图略)可知，f(x)的最大值为3．]
4．函数y＝2x2＋2，x∈N
的最小值是
．
[答案] 4
5．函数y＝在[2,6]上的最大值与最小值之和等于
．
[函数y＝在区间[2,6]上是减函数，当x＝2时取得最大值，当x＝6时取得最小值，＋＝．]
利用图象求函数的最值
【例1】 求函数y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值．
[思路点拨] 先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．
[解] 原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝的图象如图．
故函数的最小值为3，最大值为7．
用图象法求最值的一般步骤
1．函数f(x)＝的最大值是 ．
3 [作出f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3．
]
2．已知函数f(x)＝
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解] (1)图象如图所示：
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．
利用单调性求函数的最值
【例2】 已知函数f(x)＝．
(1)用函数单调性定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上是单调减函数；
(2)求函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值与最小值．
[思路点拨] (1)利用单调性的定义证明．
(2)利用(1)的结论求最值．
[解] (1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为1所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
故函数f(x)＝在(1，＋∞)上为单调递减函数．
(2)由上述(1)可知，函数f(x)＝在[3,4]上为单调递减函数，
所以在x＝3时，函数f(x)＝取得最大值；
在x＝4时，函数f(x)＝取得最小值．
(变条件)求函数f(x)＝在[－4，－3]上的最值．
[解] 任取x1，x2∈[－4，－3]且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝．
∵x1，x2∈[－4，－3]，∴x1－1<0，x2－1<0．
又x10，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[－4，－3]上单调递减，
∴f(x)max＝f(－4)＝，
f(x)min＝f(－3)＝，
∴f(x)在[－4，－3]上最大值为，最小值为．
1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．
2．函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；
(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．
3．已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))，
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，
且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)．
∵x1又∵x1≥2，x2≥2，∴x1x2>4,1－>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝．
(2)∵f(x)的最小值为f(2)＝，
∴f(x)>a恒成立，只须f(x)min>a，即a<．
二次函数求值域
[探究问题]
1．如图是函数f(x)＝(x－1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，和[0,3]时，f(x)的单调性．
[提示] f(x)在[－1,0]上单调递减；
在上单调递增；
在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．
2．结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f(x)的最值．
[提示] 结合图象的单调性，可得
x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(0)＝0．
x∈时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f＝－．
x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f(1)＝－1．
3．通过探究2，分析函数f(x)取最值时的x与对称轴的距离有什么关系？
[提示] 通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．
【例3】 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
[思路点拨] f(x)的对称轴是x＝a，a是运动变化的，故求最值时，应该讨论a与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．
[解] ∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a．
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a．
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2．
∴f(x)min＝
1．(变设问)在本例条件下，求f(x)的最大值．
[解] ∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a，
当a>3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a．
∴f(x)max＝
2．(变设问)在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a
的值．
[解] 由本例解析知f(x)min＝
当a<2时，6－4a＝2，a＝1；
当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；
当a>4时，若18－8a＝2，a＝2(舍去)．
∴a的值为1．
3．(变条件，变设问)本例条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，
即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，
即a≥f(x)max，x∈[2,4]．
又f(x)max＝
(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3．
(2)当a>3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a>3．
综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．
求二次函数的最大?小?值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大?小?值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大?小?值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置?在区间内，在区间左侧，在区间右侧?来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝．如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单调，则y＝f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．对二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[p，q]上的最值问题可作如下讨论：
(1)对称轴x＝h在区间[p，q]的左侧，
即当h(2)对称轴x＝h在区间[p，q]之间，
即当p≤h≤q时，f(x)min＝f(h)＝k；
当p≤h<时，f(x)max＝f(q)，当h＝时，f(x)max＝f(p)＝f(q)，当(3)对称轴x＝h在区间[p，q]的右侧，
即当h>q时，f(x)max＝f(p)，f(x)min＝f(q)．
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是( )
A．0
B．－
C．
D．－1
C [∵函数y＝－x＋1在区间上是减函数，
∴f(x)max＝f＝－＋1＝．]
2．已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
B [由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x<0时，f(x)＝x2＋a>
a，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4,
即实数a的最小值为4．]
3．函数y＝x2－2x－1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是 ．
0 [∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
∴函数的对称轴为x＝1，∴函数在区间[0,1]上为减函数，在区间[1,3]上为增函数．
∴当x＝1时，函数取最小值－2，当x＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0．]
4．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f(x)在[1,2]上的值域．
[解] ∵f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝＝－2，即m＝－16．
又[1,2]?[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上递增．
∴f(x)在[1,2]上递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；
当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49．
∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．
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1
-5.4 函数的奇偶性
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．2．会判断函数的奇偶性．(重点)3．掌握函数奇偶性的运用．(难点)
通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养．
日常生活中常见的对称现象，如美丽的蝴蝶、建筑……并让学生自己列举生活中对称的实例，你能发现生活中类似的数学对称美吗？
1．偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
2．奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
3．奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．
4．奇、偶函数的图象性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称．
( )
(2)偶函数的图象一定与y轴相交．
( )
(3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数．
( )
(4)奇函数的图象一定过(0,0)．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．若f(x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝ ．
－3 [易知a－2＋5＝0，∴a＝－3．]
3．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于 ．
－10 [f(－2)＝2，∴－8a－2b－4＝2，∴8a＋2b＝－6，∴f(2)＝8a＋2b－4＝－10．]
函数奇偶性的判断
【例1】 (1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)为 函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)
(2)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝；
②f(x)＝＋ln(1－x)；
③f(x)＝＋；
④f(x)＝．
[思路点拨] (1)观察图象的对称性．
(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(－x)的关系．
(1)偶 [因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．]
(2)[解] ①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
②定义域要求
所以－1≤x＜1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)是非奇非偶函数．
③由
得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f(±2)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
④由
得
所以函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]．
此时f(x)＝＝，x∈[－1,0)∪(0,1]，所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．
1．判断下列各函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x－2)；
(2)f(x)＝
[解] (1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)当x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，
∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
当x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，
f(－x)＝－x＋2＝f(x)；
当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．
∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，因此f(x)是偶函数．
已知函数奇偶性求解析式
【例2】 (1)已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x(1＋x)，求f(x)；
(2)若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值．
[思路点拨] (1)已知x<0时的解析式，用奇偶性求x>0的解析式，应通过(－x)进行过渡，但别忽视x＝0的情况；(2)应用偶函数满足f(－x)＝f(x)．
[解] (1)∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，
∴f(0)＝0．
当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
∴f(－x)＝x(1－x)．
∵f(x)为R上的奇函数，
∴－f(x)＝x(1－x)，
∴f(x)＝－x(1－x)．
综上可知，f(x)＝
(2)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，
∴2(m－1)x＝0．
∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1．
1．本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0．
2．利用奇偶性求解析式的思路
(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；
(2)利用已知区间的解析式进行代入；
(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．
2．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
[解] 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1．
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1．
因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0．
综上可得f(x)的解析式为
f(x)＝
奇偶函数的单调性
[探究问题]
1．观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？
[提示] 两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．
2．能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f(x)在[a，b](a>0)上递增”为例)．
[提示] 已知f(x)是奇函数，在区间[a，b](a>0)上是单调递增的．证明f(x)在区间[－b，－a]上也单调递增．
证明：任取x1，x2∈[－b，－a]且x1则f(x1)－f(x2)＝－f(－x1)－[－f(－x2)]＝f(－x2)－f(－x1)，
∵－b≤x1由f(x)在[a，b]上单调递增，∴f(－x2)∴f(－x2)－f(－x1)<0，即f(x1)∴f(x)在区间[－b，－a]上单调递增．
3．如图两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？
[提示] 偶函数的图象在对称区间上单调性相反．
【例3】 已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围．
[思路点拨] 可将f(a－2)＋f(3－2a)<0移项得f(a－2)<－f(3－2a)，根据奇偶性和单调性转化为研究a－2与2a－3的大小关系，注意定义域．
[解] ∵f(a－2)＋f(3－2a)<0，
∴f(a－2)<－f(3－2a)．
∵f(x)为奇函数，∴－f(3－2a)＝f(2a－3)，
∴f(a－2)∵f(x)在[0,1)上为增函数，
∴f(x)在(－1,1)上单调递增，
∴解得11．函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
3．已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在[0,2]上单调递增，f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[解] ∵f(x)是奇函数，在[0,2]上单调递增，
∴f(x)在[－2,2]上都递增．
由f(m)＋f(m－1)>0，
∴f(m)>－f(m－1)＝f(1－m)，
由f(x)的单调性知1－m∴?∴m的取值范围为．
1．定义域在数轴上关于原点对称是函数y＝f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)．
3．(1)若f(x)＝0且y＝f(x)的定义域关于原点对称，则y＝f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)有时判定函数的奇偶性需要在定义域内先化简解析式再判定奇偶性．
(4)偶函数有一个特殊性质：f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
4．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
D．y＝x3，x∈[0,1]
A [A中函数是奇函数；B中函数是偶函数；C、D中函数是非奇非偶函数．]
2．已知函数f(x)＝＋3，则f(x)的奇偶性为 ．
既是奇函数又是偶函数 [要使函数有意义，需满足x2－2≥0,2－x2≥0，
∴x＝±，此时y＝0，因此函数图象为点，既关于原点对称又关于y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数．]
3．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋1，则当x<0时，f(x)＝ ．
－x3＋1 [当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，
∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x3＋1．]
4．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] (1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2．
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
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8
-函数概念与性质
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
函数值域的求法
函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，一旦函数的定义域和对应关系确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．
【例1】 求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)f(x)＝x＋；
(4)y＝．
[思路点拨] (1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解；(4)可以转化为关于x的一元二次方程，利用判别式法求出值域，也可以创造条件利用基本不等式求出最值，得到值域．
[解] (1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0．所以函数y＝的定义域为[0，＋∞)，因此≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．
(2)法一(分离系数法)：y＝＝＝2＋．而≠0，所以2＋≠2，因此函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝，得x＝．而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2．所以函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)令＝t，则t≥0，x＝＝t2＋，
∴y＝t2＋＋t＝－．
∵t≥0，∴y≥，
∴函数f(x)＝x＋的值域为．
(4)法一(判别式法)：由y＝得x2－yx＋1＝0，因为关于x的方程有实数根，所以Δ＝y2－4≥0，解得y≥2或y≤－2，所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
法二(基本不等式法)：函数y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，
当x>0时，y＝x＋≥2当且仅当x＝1时取等号．
当x<0时，y＝x＋＝－≤－2当且仅当x＝－1时取等号．
所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
常见的求值域的方法
?1?直接法?观察法?：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数f?x?＝5x＋1?x∈{1，2，3，4}?的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f?x?的值域为{6，11，16，21}.
?2?分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.
?4?图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.
?5?换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.
?6?判别式法：对于形如：的函数，?f?x?、g?x?是一次函数或二次函数，且至少一个二次函数?可以将方程转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程有实数根，利用根的判别式不小于零，得到关于y的不等式，解出其解集，就是函数的值域.
?7?基本不等式法：创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值，再进一步求解.
1．(1)(一题两空)函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为 、 ．
(2)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为 ．
(1)10 6 (2)1 [(1)f(x)在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f(x)min＝f(1)＝8．
在[－1,1]上，f(x)(2)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，对称轴为x＝2，
∴在[0,1]上，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4＋a＝4－3＝1．]
函数性质的应用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有涉及，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
【例2】 函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝．
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0．
[思路点拨] (1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉f，转化为t的不等式求解．
[解] (1)由题意，得即?
∴f(x)＝，经检验，符合题意．
(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)且x1f(x2)－f(x1)＝－＝．
∵－10,1＋x>0,1＋x>0．
又∵－10，
∴f(x2)－f(x1)>0，故f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)原不等式可化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1解得0故原不等式的解集为．
函数单调性与奇偶性应用常见题型
?1?用定义判断或证明单调性和奇偶性.
?2?利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
?3?利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.
?4?利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
2．设函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)在区间[－3,3]上，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．
[解] (1)令x＝y＝0，则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
即f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0．
令y＝－x，则有0＝f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)为奇函数．
(2)任取－3≤x10．
由题意，得f(x2－x1)<0，
且f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]
＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]
＝－f(x2－x1)>0，
即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[－3,3]上为减函数．
所以函数f(x)在[－3,3]上有最值，最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝3f(1)＝－6．
函数的图象与数形结合思想
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．
【例3】 (1)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)·g(x)的图象可能是 ．(填序号)
(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
[思路点拨] (1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可．
(1)③ (2)10，g(x)>0，所以f(x)·g(x)>0，只有③符合．
(2)令f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
作出f(x)的图象，如图所示．
由图象可知，当1作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线.
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图.
方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.
3．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是 ．
2 [首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是对同一个x值而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数f(x)的表达式：
f(x)＝
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2．]
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