7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解任意角的概念，了解两角的和、互为相反角和两角的差的概念．2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点)3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．
初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°～360°范围内的角．但是现实生活中随处可见超出0°～360°范围的角．例如体操中有“前空翻转体540°”，主动轮和被动轮的旋转方向不一致，如何定义角才能解决这些问题呢？
1．任意角的概念
(1)角的概念：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转所形成的角
负角
按顺时针方向旋转所形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
思考1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
[提示] 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
(3)两角的和、互为相反角、两角的差：
对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β．射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角．角α的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β)．
2．象限角与轴线角
(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
(2)轴线角：终边在坐标轴上的角．
3．终边相同的角
与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？
[提示] 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)180°是第二象限角．
( )
(2)－30°是第四象限角．
( )
(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．
( )
[提示] (1)180°是轴线角．
(3)如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．如图，角α＝ ，β＝ ．
240° －120° [α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°．]
3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为 ．
{β|β＝k·360°－215°，k∈Z} [由终边相同的角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]
4．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是 ．
－3×360°＋195° [设－885°＝k·360°＋α，k∈Z，易得－885°＝－3×360°＋195°．]
角的概念辨析
【例1】 (1)下列结论：
①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．
其中正确的结论是 ．(填序号)
(2)(一题两空)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为 ，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为 ．
[思路点拨] (1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．
(2)由正、负角的概念可得角的大小．
(1)②④ (2)－25° 395° [(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③不正确，因为360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．
(2)由角的定义可知，将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°．]
1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．
2．任意角的概念的理解
三个要素：顶点、始边、终边．
(1)用旋转的观点来定义角，可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．
(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．
3．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．
1．(一题两空)时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ．
－100° －1
200° [时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于小时，故时针转过的角度为－×30°＝－100°；分针转过的角度为－×360°＝－1
200°．]
终边相同的角与象限角
【例2】 已知α＝－1
910°．
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°；
(3)若与α终边相同的最大负角、最小正角分别为θ1，θ2，求θ1＋θ2．
[思路点拨] (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．
(2)将θ写成θ＝β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k的不同取值即可．
[解] (1)法一：∵－1
910°＝－6×360°＋250°，
∴－1
910°角与250°角终边相同，
∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．
法二：设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1
910°－k·360°(k∈Z)．
令－1
910°－k·360°≥0，解得k≤－＝－5．
k的最大整数解为k＝－6，相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)由(1)知令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°．故θ＝－110°或－470°．
(3)因为与α终边相同的角为β＝k·360°＋250°
(k∈Z)．
所以取k＝－1,0得与α终边相同的最大负角为θ1＝－110°，最小正角为θ2＝250°，所以θ1＋θ2＝140°．
1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
3．终边相同的角常用的三个结论：
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．
2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′．
[解] (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
3．已知α与330°角的终边相同，判断是第几象限角．
[解] 由α＝k·360°＋330°(k∈Z)，可得＝k·120°＋110°
(k∈Z)．
若k
＝3n(n∈Z)，则＝n·360°＋110°(n∈Z)，与110°角的终边相同，是第二象限角；
若k＝3n＋1(n∈Z)，则＝n·360°＋230°(n∈Z)，与230°角的终边相同，是第三象限角．
若k＝3n＋2(n∈Z)，则＝n·360°＋350°(n∈Z)，与350°角的终边相同，是第四象限角．
所以是第二或第三或第四象限角．
区域角的表示
[探究问题]
1．第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？
[提示] 不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，也可能是负角，也可能是大于360°的角，
其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．
2．终边落在x轴上的角如何表示？
[提示] {α|α＝k·180°，k∈Z}．
3．若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？
[提示] 角α，β的终边落在同一条直线上．
【例3】 写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．
[思路点拨] 法一：先写出与30°及105°终边相同的角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．
法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．
[解] 法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：
①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．
②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．
法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．
与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，
结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．
1．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β2．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么与阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
表示区间角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.
4．
如图所示，阴影部分内的角的集合S＝ ．
{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z} [因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z．所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．]
1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及所在象限的判定．
2．本节课要重点掌握以下规律方法
(1)求终边相同的角及区域角的表示．
(2)象限角及nα、所在象限的判断．
3．本节课的易错点有以下几点
(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．
(2)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．
(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求．
1．(多选题)以下说法，其中正确的有( )
A．－75°是第四象限角
B．265°是第三象限角
C．475°是第二象限角
D．－315°是第一象限角
ABCD [由终边相同角的概念知：A、B、C、D都正确．]
2．已知－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，则α＝ ．
－960° [∵角α与120°角的终边相同，
∴α＝k·360°＋120°，k∈Z．
又∵－990°<α<－630°，∴－990°110°3．如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ ．
－40° [∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°．]
4．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．
[解] (1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}，S2＝{β|β＝k·360°＋240°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°＋60°，n∈Z}．
(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n·180°＜720°，n∈Z，解得－≤n＜，n∈Z，
所以n＝－2，－1,0,1,2,3．
所以S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：
－2×180°＋60°＝－300°；
－1×180°＋60°＝－120°；
0×180°＋60°＝60°；
1×180°＋60°＝240°；
2×180°＋60°＝420°；
3×180°＋60°＝600°．
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-7.1.2 弧度制
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1．了解弧度制的含义和引入弧度制的意义．2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象的核心素养．
在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角α是如何度量的？度量的单位是什么？它的1个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫做什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？
1．弧度制的概念
(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制．
(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1
rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
[提示] “1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
2．角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π
rad
2π
rad＝360°
180°＝π
rad
π
rad＝180°
1°＝rad≈0．017
45
rad
1
rad＝度≈57．30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
弧度
0
角度
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
π
2π
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．
思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？
[提示] 利用1°＝rad≈0．017
45
rad和1
rad＝°≈57．30°进行弧度与角度的换算．
3．扇形的弧长公式及面积公式
(1)弧度制下的弧长公式：
如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r．特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|．
(2)扇形面积公式：
在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝lr．
4．引入弧度制的意义
角的概念的推广后，角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系；每一个角都对应唯一的一个实数，反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角，为以后三角函数的建立奠定了基础．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．
( )
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．
( )
(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．将下列弧度与角度互化．
(1)－＝ ；
(2)2
rad≈ ；
(3)72°＝ ；
(4)－300°＝ ．
(1)－40° (2)114．6° (3)
rad (4)－
rad
[(1)－
rad＝－×180°＝－40°．
(2)2
rad＝2×≈114．6°．
(3)72°＝72×
rad＝
rad．
(4)－300°＝－300×
rad＝－
rad．]
3．(一题两空)半径为1，圆心角为的扇形的弧长为
，面积为 ．
[∵α＝，r＝1，∴弧长l＝α·r＝，
面积＝lr＝××1＝．]
角度制与弧度制的互化
【例1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′．
[思路点拨] 利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．
[解] (1)－450°＝－450×
rad＝－
rad．
(2)
rad＝×＝18°．
(3)－
rad＝－×＝－240°．
(4)112°30′＝112．5°＝112．5×
rad＝
rad．
角度制与弧度制换算的要点
提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度．
1．将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－．
[解] (1)20°＝
rad＝
rad．
(2)－15°＝－
rad＝－
rad．
(3)
rad＝×＝105°．
(4)－
rad＝－×＝－396°．
用弧度制表示角的集合
【例2】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
[思路点拨] 先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．
[解] 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)．
(2)．
(3)．
表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ?k∈Z?”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°?k∈Z?”中，α必须是用角度制表示的角.
提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.
2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
(1) (2)
[解] (1)由题图(1)，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
．
(2)由题图(2)，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1＝，M2＝．
所以阴影部分内的角的集合为
M1∪M2＝．
扇形的弧长及面积问题
[探究问题]
1．公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？
[提示] 公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角．
2．在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．
[提示] 已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝lr；又如已知S，α，可利用S＝|α|r2，求r，进而求l＝|α|r．
【例3】 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
[思路点拨]
[解] 设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，
依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝．
由l＝20－2r>0及r>0得0∴S扇形＝αr2＝··r2＝(10－r)r
＝－(r－5)2＋25(0∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25．
此时l＝10，α＝2，
故当扇形半径r＝5，圆心角为2
rad时，扇形面积最大．
1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72°，半径等于20
cm”，求扇形的面积．
[解] 设扇形弧长为l，因为72°＝72×
rad＝(rad)，
所以l＝αr＝×20＝8π(cm)，
所以S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2)．
2．(变结论)本例变为“扇形周长为10
cm，面积为4
cm2，求扇形圆心角的弧度数．”
[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4．
当r＝1时，l＝8(cm)，
此时，θ＝8
rad>2π
rad(舍去)．
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝
rad．
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
提醒：?1?在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.
?2?看清角的度量制，选用相应的公式.
?3?扇形的周长等于弧长加两个半径长.
3．地球赤道的半径约是6
370
km，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是 km(精确到0．01
km)．
1.85 [因为1′＝＝×，所以l＝α·R＝××6
370≈1.85(km)．]
1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．
2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式
(1)π＝180°；(2)1°＝
rad (3)1
rad＝．
3．本节课要重点掌握以下规律方法
(1)弧度制的概念辨析；
(2)角度与弧度的换算；
(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用．
4．本节课的易错点
表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．
1．(多选题)下列转化结果正确的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D．化成度是15°
ABD [对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°．故ABD正确．]
2．若扇形的周长为4
cm，面积为1
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 ．
2 [设扇形所在圆的半径为r
cm，扇形弧长为l
cm．
由题意得解得
所以α＝＝2．
因此扇形的圆心角的弧度数是2．]
3．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为
．
[若角α的终边落在x轴的上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z．]
4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－．
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．
[解] (1)∵180°＝π
rad，
∴α1＝－570°＝－570×＝－
＝－2×2π＋，
α2＝750°＝750×＝＝2×2π＋．
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．
(2)β1＝＝×＝108°，
设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，
则由－720°≤θ＜0°，
即－720°≤108°＋k·360°＜0°，
得k＝－2，或k＝－1．
故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°．
β2＝－＝－60°，
设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，
则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得k＝－1，或k＝0．
故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°和－60°．
PAGE
-
1
-7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学抽象核心素养．
在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？
1．任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么
名称
定义
定义域
正弦
sin
α＝
R
余弦
cos
α＝
R
正切
tan
α＝
sin
α，cos
α，tan
α分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
思考1：对于确定的角α，sin
α，cos
α，tan
α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
[提示] 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
思考2：若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin
α，cos
α，tan
α的值怎样表示？
[提示] sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝．
2．三角函数在各象限的符号
3．三角函数线
(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；
有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB．
(2)三角函数线
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．
( )
(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．
( )
(3)α与α＋π有相同的正切线．
( )
[提示] 结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．若角α的终边经过点P，则sin
α＝ ；cos
α＝ ；tan
α＝ ．
－ －1 [由题意可知
|OP|＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－0))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－0)))＝1，
∴sin
α＝＝－；cos
α＝＝；
tan
α＝＝－1．]
3．(1)若α在第三象限，则sin
αcos
α 0；(填“＞”或“＜”)
(2)cos
3tan
4 0．(填“>”或“<”)
(1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限，
∴sin
α＜0，cos
α＜0，∴sin
αcos
α＞0．
(2)∵<3<π，π<4<，
∴3是第二象限角，4是第三象限角．
∴cos
3<0，tan
4>0．∴cos
3tan
4<0．]
三角函数的定义及应用
【例1】 (1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
(2)当α＝－时，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
[思路点拨] (1)以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin
α，cos
α，tan
α的值．
(2)先求出角α的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求出sin
α，cos
α，tan
α的值．
[解] (1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝＝，
所以sin
α＝＝，cos
α＝＝－，tan
α＝＝－2．
当α的终边在第四象限时，
在α终边上取一点P′(1，－2)，
则r＝＝，
所以sin
α＝＝－，cos
α＝＝，tan
α＝＝－2．
(2)
当α＝－时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，(x>0，y<0)
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x＝，由勾股定理得＋y2＝1，y<0，解得y＝－，
所以P．因此sin
α＝＝－，cos
α＝＝，tan
α＝＝－．
1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin
α＝，cos
α＝．当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
2．已知特殊角α，求三角函数值的方法
(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．
(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P到原点的距离r＝1)
3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos
θ＝x，求sin
θ，tan
θ．
[解] 由题意知r＝，由三角函数定义得cos
θ＝＝．
又∵cos
θ＝x，∴＝x．
∵x≠0，∴x＝±1．
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin
θ＝＝，
tan
θ＝＝3．
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin
θ＝＝，tan
θ＝＝－3．
2．
当α＝时，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
[解] 当α＝时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，(x<0，y<0)
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x＝－，由勾股定理得＋y2＝1，y<0，
解得y＝－，
所以P．因此sin
α＝＝－，cos
α＝＝－，tan
α＝＝．
三角函数值的符号
【例2】 (1)若α是第四象限角，则点P(cos
α，tan
α)在第 象限．
(2)判断下列各式的符号：
①sin
183°；②tan
；③cos
5．
[思路点拨] 先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．
(1)四 [∵α是第四象限角，
∴cos
α>0，tan
α<0，
∴点P(cos
α，tan
α)在第四象限．]
(2)[解] ①∵180°<183°<270°，
∴sin
183°<0；
②∵<<2π，
∴tan
<0；
③∵<5<2π，
∴cos
5>0．
对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.
3．判断下列式子的符号：
(1)tan
108°·cos
305°；(2)；
(3)tan
120°·sin
269°．
[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan
108°＜0．
∵305°是第四象限角，∴cos
305°＞0．
从而tan
108°·cos
305°＜0．
(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
∴cos
＜0，tan＜0，sin
＞0．
从而＞0．
(3)∵120°是第二象限角，∴tan
120°＜0，
∵269°是第三象限角，∴sin
269°＜0．
从而tan
120°·sin
269°＞0．
应用三角函数线解三角不等式
[探究问题]
1．在单位圆中，满足sin
α＝的正弦线有几条？试在图中明确．
[提示] 两条，如图所示，MP1与NP2都等于．
2．满足sin
α≥的角的范围是多少？试在单位圆中给予明确．
[提示] 如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为．
【例3】 求函数f(x)＝＋ln的定义域．
[思路点拨] 借助单位圆解不等式组便可．
[解] 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴．
1．利用三角函数线解三角不等式的方法
(1)正弦、余弦型不等式的解法
对于sin
x≥b，cos
x≥a(sin
x≤b，cos
x≤a)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．
(2)正切型不等式的解法
对于tan
x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．
2．利用三角函数线求函数的定义域
解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin
α≥；(2)cos
α≤－．
[解] (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
．
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
．
1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)三角函数的定义及应用；
(2)三角函数值符号的判断；
(3)三角函数线的画法及应用．
3．本节课的易错点
(1)已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．
(2)画三角函数线的位置以及表示方法．
1．若sin
α＜0，tan
α＞0，则α终边所在象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C [由sin
α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上．
由tan
α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．
故同时满足sin
α＜0，tan
α＞0的角α为第三象限角．]
2．(多选题)下列判断正确的是( )
A．当－<α<－时，sin
ααα
B．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin
α·tan
α等于－
C．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为．
D．sin
2·cos
3·tan
4>0
ABC [对于A：如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，
观察可知sin
ααα．所以A正确．
对于B：由OP2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±．当y＝时，sin
α＝，tan
α＝－，此时，sin
α·tan
α＝－．
当y＝－时，sin
α＝－，tan
α＝，此时，sin
α·tan
α＝－．所以sin
α·tan
α＝－．所以B正确．
对于C：因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan
θ＝＝－，又θ∈，
所以θ＝．所以C正确．对于D：因为sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0，所以sin
2·cos
3·tan
4<0，所以D错误．故选ABC．]
3．角α的终边经过点P(－b,4)且cos
α＝－，则b的值为 ．
3 [由三角函数的定义可知＝－，
∴解得b＝3．]
4．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
[解] ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝＝＝5|t|，
当t＞0时，r＝5t，sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝，tan
α＝＝＝－．
当t＜0时，r＝－5t，sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，tan
α＝＝＝－．
综上可知，sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－；
或sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－．
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1
-7.2.2 同角三角函数关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan
α＝．(重点)2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．
结合如图所示的单位圆，设点P(x，y)为单位圆与角α的终边的交点，则x，y满足什么关系？设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标是什么？那么sin
α与cos
α满足什么关系？tan
α与sin
α，cos
α之间满足什么关系？
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2
α＝1．
(2)商数关系：tan
α＝．
思考：sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？
[提示] 不一定．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．
( )
(2)对任意角α，＝tan
都成立．
( )
(3)sin
α＝是cos
α＝的充分条件．
( )
[提示] (1)符合同角三角函数的关系．
(2)等式＝tan
的条件是
即α≠π＋2kπ，k∈Z．
(3)因为α的范围不明确，故cos
α＝±＝±，由sin
α＝不能推出cos
α＝．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知α是第二象限角，且cos
α＝－，则tan
α＝ ．
－2 [∵α是第二象限角，∴sin
α＞0．
又sin2α＋cos2α＝1，∴sin
α＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝，
∴tan
α＝＝－2．]
3．已知tan
α＝2，则＝ ．
－ [由tan
α＝2知cos
α≠0，
所以＝＝－．]
利用同角三角函数基本关系式求值
【例1】 (1)已知sin
α＝－，求cos
α，tan
α的值；
(2)已知sin
α＋2cos
α＝0，求2sin
αcos
α－cos2α的值．
[思路点拨]
(2)先由已知条件求出tan
α，再将式子化成关于tan
α的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简．
[解] (1)因为sin
α＜0，sin
α≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－＝．
如果α是第三象限角，那么cos
α＜0．
于是cos
α＝－＝－，
从而tan
α＝＝×＝．
如果α是第四象限角，那么cos
α＝，tan
α＝－．
(2)法一：由sin
α＋2cos
α＝0，得tan
α＝－2．
所以2sin
αcos
α－cos2α＝＝＝＝－1．
法二：由sin
α＋2cos
α＝0得2cos
α＝－sin
α，
所以2sin
αcos
α－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1．
1．求三角函数值的方法
(1)已知sin
θ(或cos
θ)求tan
θ常用以下方式求解
(2)已知tan
θ求sin
θ(或cos
θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sin
α，cos
α的齐次式的方法
(1)关于sin
α，cos
α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin
α，cos
α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos
α的n次幂，其式子可化为关于tan
α的式子，再代入求值．
(2)若关于sin
α，cos
α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan
α的式子，再代入求值．
1．已知tan
α＝－2，求sin
α，cos
α的值．
[解] 法一：∵tan
α＝－2<0，
∴α为第二或第四象限角，且sin
α＝－2cos
α，
①
又sin2α＋cos2α＝1，
②
由①②消去sin
α，得(－2cos
α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝．
当α为第二象限角时，cos
α＝－，代入①得sin
α＝；
当α为第四象限角时，cos
α＝，代入①得sin
α＝－．
法二：∵tan
α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角．
由tan
α＝，
两边分别平方，得tan2α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴tan2α＋1＝＋1＝＝，
即cos2α＝．
当α为第二象限角时，cos
α<0，
∴cos
α＝－＝－＝－，
∴sin
α＝tan
α·cos
α＝(－2)×＝．
当α为第四象限角时，cos
α>0，
∴cos
α＝＝＝，
∴sin
α＝tan
α·cos
α＝(－2)×＝－．
三角函数式的化简、求值
【例2】 (1)化简：；
(2)若角α是第二象限角，化简：tan
α．
[思路点拨]
(2)―→
[解] (1)原式＝
＝＝＝1．
(2)原式＝tan
α＝tan
α＝×，因为α是第二象限角，所以sin
α>0，cos
α<0，所以原式＝×＝×＝－1．
化简三角函数式的常用方法
?1?切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.
?2?对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
?3?对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.
提醒：在应用平方关系式求sin
α或cos
α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
2．化简：(1)；
(2)．
[解] (1)原式＝＝＝
＝＝1．
(2)原式＝＝＝cos
θ．
三角函数式的证明
【例3】 求证：＝．
[思路点拨] 从左边利用“1＝sin2x＋cos2x”及平方差公式推右边便可．
[解] ∵(sin
x＋cos
x)2＝1＋2sin
xcos
x，
∴左边＝
＝
＝＝右边．
1．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan
α，求关于sin
α，cos
α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用．
2．利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
3．证明下列三角恒等式：
(1)＝；
(2)＝．
[证明] (1)左边＝＝＝＝．
右边＝＋＝＋＝．
∴左边＝右边，等式恒成立．
(2)左边＝
＝＝
＝＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
“sin
α±cos
α”同“sin
αcos
α”间的关系
[探究问题]
1．已知sin
α±cos
α的值，能求sin
αcos
α的值吗？反之呢？
[提示] 设sin
α±cos
α＝m，则(sin
α±cos
α)2＝m2，
即1±2sin
αcos
α＝m2，所以sin
αcos
α＝±．
反之也可以，利用(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，开方便可．
2．已知sin
α＋cos
α的值，如何求sin
α－cos
α或cos
α－sin
α的值？
[提示] 设sin
α＋cos
α＝t，则1＋2sin
αcos
α＝t2，
从而2sin
αcos
α＝t2－1，
∴1－2sin
αcos
α＝2－t2，
从而(sin
α－cos
α)2＝2－t2，
对上式开方便可得出“sin
α－cos
α”或“cos
α－sin
α”的值．
【例4】 已知sin
α＋cos
α＝，且0＜α＜π．
求：(1)sin
αcos
α的值；
(2)求sin
α－cos
α的值．
[思路点拨]
0＜α＜π,
[解] (1)∵sin
α＋cos
α＝，
∴(sin
α＋cos
α)2＝，
∴1＋2sin
αcos
α＝，
即sin
αcos
α＝－．
(2)∵(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α
＝1＋＝．
又∵0＜α＜π，且sin
αcos
α＜0，
∴sin
α＞0，cos
α＜0，∴sin
α－cos
α＞0，
∴sin
α－cos
α＝．
1．已知sin
θ±cos
θ求sin
θcos
θ，只需平方便可．
2．已知sin
θcos
θ求sin
θ±cos
θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin
θ±cos
θ的正负．
4．已知△ABC中，sin
A＋cos
A＝，则A的值为 ．
[∵A∈(0，π)，sin
Acos
A＝＝－<0，∴A∈，由sin
A＋cos
A＝>0，
则sin
A－cos
A>0，(sin
A－cos
A)2＝1－2
sin
Acos
A＝＝，
所以sin
A－cos
A＝，解得sin
A＝，cos
A＝－，又A∈，所以A＝．]
1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin
θ±cos
θ与sin
θcos
θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．
2．掌握sin
θ±cos
θ与sin
θcos
θ之间的转换
(1)(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ；
(2)(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ；
(3)(sin
θ＋cos
θ)2＋(sin
θ－cos
θ)2＝2；
(4)(sin
θ－cos
θ)2＝(sin
θ＋cos
θ)2－4sin
θcos
θ．
3．掌握同角三角函数基本关系式的三个应用
(1)利用同角三角函数的基本关系求值；
(2)sin
θ±cos
θ与sin
θcos
θ关系的应用；
(3)三角函数式的化简与证明的方法．
4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin
α，cos
α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin
α，cos
α漏解或多解的错误．
1．若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α的值等于( )
A．
B．－
C．
D．－
B [∵sin
α＝－，且α为第四象限角，
故cos
α＝，
∴tan
α＝－．]
2．已知tan
α＝，则cos
α－sin
α等于 ．
[由tan
α＝，
得解得
∴cos
α－sin
α＝．]
3．若＝2，则tan
α＝ ．
1 [∵＝2，
∴＝2，
∴tan
α＋1＝4tan
α－2，
即3tan
α＝3，∴tan
α＝1．]
4．求证：＝．
[证明] ∵右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边，
∴原等式成立．
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-
1
-7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)
学
习
目
标
核
心
素
养
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．
结合单位圆，思考：与角α终边相同的角的表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？与角α的终边关于x轴对称的角表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？
1．诱导公式(一)
终边相同的角的诱导公式(公式一)：
sin(α＋2kπ)＝sin
α(k∈Z)；
cos(α＋2kπ)＝cos
α(k∈Z)；
tan(α＋2kπ)＝tan
α(k∈Z)．
思考1：终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？
[提示] 相等．
2．诱导公式(二)
终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝－sin
α；
cos(－α)＝cos
α；
tan(－α)＝－tan
α．
思考2：角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？
[提示] 关于x轴对称．
3．诱导公式(三)
终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：
sin(π－α)＝sin
α；
cos(π－α)＝－cos
α；
tan(π－α)＝－tan
α．
4．诱导公式(四)
终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：
sin(π＋α)＝－sin
α；
cos(π＋α)＝－cos
α；
tan(π＋α)＝tan
α．
1．(1)sin
＝ ；(2)cos＝ ；
(3)tan＝ ．
(1) (2) (3)1 [(1)sin＝sin
＝sin＝．
(2)cos＝cos＝cos＝．
(3)tan＝tan＝tan＝1．]
2．(1)sin＝ ；(2)cos
330°＝ ；
(3)tan
690°＝ ．
(1)－ (2) (3)－ [(1)sin＝－sin＝－．
(2)cos
330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos
30°＝．
(3)tan
690°＝tan[2×360°＋(－30°)]
＝tan(－30°)
＝－tan
30°
＝－．]
3．(1)sin＝ ；(2)cosπ＝ ；
(3)tan
1
560°＝ ．
(1) (2)－ (3)－ [(1)sin＝sin＝sin＝．
(2)cos＝cos＝－cos＝－．
(3)tan
1
560°＝tan(4×360°＋120°)＝tan
120°＝tan(180°－60°)＝－tan
60°＝－．]
4．(1)sin
225°＝ ；(2)cos＝ ；
(3)tan
＝ ．
(1)－ (2)－ (3) [(1)sin
225°＝sin(180°＋45°)＝－sin
45°＝－．
(2)cos＝cos＝－cos＝－．
(3)tan＝tan
＝tan＝tan＝．]
给角求值
【例1】 求下列各三角函数式的值：
(1)sin(－660°)；(2)cos
；(3)2cos
660°＋sin
630°；
(4)tan
·sin．
[思路点拨] 利用诱导公式先把任意角的三角函数化为三角函数，再求值．
[解] (1)因为－660°＝－2×360°＋60°，
所以sin(－660°)＝sin
60°＝．
(2)因为＝6π＋，所以cos
＝cos
＝－．
(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)
＝2cos
60°－sin
90°＝2×－1＝0．
(4)tan
·sin
＝tan·sin
＝tan
·sin
＝×＝．
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
1．求下列各三角函数式的值：
(1)sin
1
320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
[解] (1)sin
1
320°＝sin(4×360°－120°)
＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)
＝－sin
60°＝－．
(2)cos＝cos＝cos
＝－cos＝－．
(3)tan(－945°)＝－tan
945°
＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan
225°
＝－tan(180°＋45°)＝－tan
45°＝－1．
化简求值
【例2】 化简：(1)；
(2)．
[思路点拨] 利用诱导公式一，二，三，四将函数值化为角α的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．
[解] (1)＝＝＝＝1．
(2)原式＝
＝＝＝－1．
三角函数式的化简方法
?1?利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
?2?常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
?3?注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan
.
2．(k∈Z)．
[解] 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝
＝－1．
综上，原式＝－1．
给值求值问题
[探究问题]
1．“α－15°”与“165°＋α”间存在怎样的关系？你能用“α－15°”表示“165°＋α”吗？
[提示] 由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)．
2．若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？
[提示] 由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15°)＝－1．
【例3】 求值．
(1)已知sin＝－，求sin的值；
(2)已知cos＝，求cos的值．
[思路点拨] (1)－＝2π；
(2)－＝π．
[解] (1)∵－＝2π，
∴sin＝sin
＝sin＝－．
(2)∵－＝π，
∴cos＝cos
＝－cos＝－．
1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sin＝”，求sin的值．
[解] ∵－＝6π，
∴sin＝sin
＝sin＝．
2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cos的值．
[解] ∵－＝－π，
∴cos＝cos
＝cos
＝－cos＝－．
对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
3．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )
A．
B．
C．
D．－
A [∵sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin
α＋cos
α＝m，
∴sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin
αcos
α＝＝．故选A．]
4．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
[解] ∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将负角转化为正角求值
公式三
将角转化为0～之间的角求值
公式四
将角转化为0～之间的角求值
2．诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则角θ的终边落在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三角限
D．第四象限
B [由sin(θ＋π)＝－sin
θ<0?sin
θ>0，cos(θ－π)＝－cos
θ>0?cos
θ<0，由可知θ是第二象限角．]
2．tan
255°＝( )
A．－2－
B．－2＋
C．2－
D．2＋
[答案] D
3．代数式sin
120°cos
210°的值为 ．
－ [由诱导公式可得，sin
120°cos
210°＝sin
60°×(－cos
30°)＝×＝－．]
4．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，求cos(α－2π)的值．
[解] ∵sin(π＋α)＝，∴sin
α＝－，
又α是第四象限角，
∴cos
α＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))))＝，
∴cos(α－2π)＝cos
α＝．
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1
-第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学
习
目
标
核
心
素
养
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点)2．掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．
利用诱导公式一～四，将任意范围内的角的三角函数值转化到[0,2π)后，又如何将角间的角转化到呢？
1．诱导公式五
终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：
sin＝cos
α；
cos＝sin
α．
思考1：角与角的三角函数值有什么关系？
[提示] sin
＝cos
＝，cos
＝sin
＝．
思考2：角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？
[提示] 关于直线y＝x对称．
2．诱导公式六
＋α型诱导公式(公式六)：
sin＝cos
α；
cos＝－sin
α．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角．
( )
(2)sin(90°＋α)＝－cos
α．
( )
(3)cos＝－sin
α．
( )
[提示] (1)如tan(π＋α)＝tan
α中，α＝不成立．
(2)sin(90°＋α)＝cos
α．
(3)cos＝cos＝cos＝－sin
α．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．(1)若sin
α＝，则cos＝ ；
(2)若cos
α＝，则sin＝ ．
(1) (2) [(1)cos＝sin
α＝．
(2)sin＝cos
α＝．]
给值求值
【例1】 (1)已知sin＝，则cos的值是 ．
(2)已知sin＝，则cos的值是 ．
(3)已知sin(π＋A)＝－，则cos的值是 ．
[思路点拨] 从已知角和待求角间的关系入手，活用诱导公式求值．
(1) (2)－ (3)－ [(1)∵＋＝，
∴＋α＝－，
∴cos＝cos
＝sin＝．
(2)∵sin＝，∴sin＝－．
又∵＋＝，
∴cos＝cos＝sin＝－．
(3)sin(π＋A)＝－sin
A＝－，
cos＝cos
＝－cos＝－sin
A＝－．]
1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．
2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．
1．已知cos＝，求sin的值．
[解] ∵α＋＝＋，
∴sin＝sin
＝cos
＝．
利用诱导公式化简求值
【例2】 已知f(α)＝．
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[思路点拨] 利用诱导公式直接化简得(1)，(3)；结合同角三角函数关系求(2)．
[解] (1)f(α)＝＝－cos
α．
(2)∵cos＝－sin
α，∴sin
α＝－，
又α是第三象限的角，
∴cos
α＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))))＝－，
∴f(α)＝．
(3)f＝－cos
＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－．
用诱导公式化简求值的方法
?1?对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.
?2?对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.
2．已知cos＝，求＋的值．
[解] 原式＝＋＝－sin
α－sin
α
＝－2sin
α．
又cos＝，所以－sin
α＝．
所以原式＝－2sin
α＝．
诱导公式在三角形中的应用
【例3】 在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．
[思路点拨]
[解] ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．
又∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴cos
C＝cos
B．
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．
2．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C；cos(A＋B)＝－cos
C；tan(A＋B)＝－tan
C；sin
＝cos；cos＝sin．
3．已知f(α)＝．
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan
A－sin
A的值．
[解] (1)f(α)＝＝cos
α．
(2)因为f(A)＝cos
A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin
A＝＝，
所以tan
A＝＝，
所以tan
A－sin
A＝－＝．
1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．
2．要掌握诱导公式的三个应用
(1)利用诱导公式解决化简求值问题．
(2)利用诱导公式解决条件求值问题．
(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧
＋α＝－?＋＝；＋α＝－?＋＝；－＝等．
1．若cos
40°＝a，则sin
50°＝( )
A．－a B．a C． D．－
B [∵sin
50°＝cos
40°，∴sin
50°＝a．]
2．若cos(π＋α)＝，则sin＝________．
－ [∵cos(π＋α)＝－cos
α＝，
∴cos
α＝－，
∴sin＝cos
α＝－．]
3．已知sin
α＝，则cos＝________．
[cos＝sin
α＝．]
4．若sin
α＝，求＋的值．
[解] ＋
＝＋
＝＋
＝＋＝．
∵sin
α＝，
∴＝10．
即原式＝10．
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1
-7.3.1 三角函数的周期性
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解周期函数的定义．(难点)2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点)3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)以及y＝Atan(ωx＋φ)的周期．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．
观察下列图象，
这些图象具有怎样的共同规律？
1．周期函数的定义
(1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)
(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π．
思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
[提示] 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin
x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．
思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？
[提示] 并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝．函数y＝Atan(ωx＋φ)
(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为．
思考3：6π是函数y＝sin
x(x∈R)的一个周期吗？
[提示] 是．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)周期函数都一定有最小正周期．
( )
(2)周期函数的周期只有唯一一个．
( )
(3)周期函数的周期可以有无数多个．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．函数y＝sin的周期是________．
2 [T＝＝2．]
3．函数f(x)＝－2cos的周期是________．
[T＝＝．]
求三角函数的周期
【例1】 求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝2sin；
(2)f(x)＝2tan；
(3)y＝|sin
x|；
(4)f(x)＝－2cos(a≠0)．
[思路点拨] 利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解．
[解] (1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π．
(2)T＝＝，∴最小正周期为．
(3)由y＝sin
x的周期为2π，可猜想y＝|sin
x|的周期应为π．
验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin
x|＝|sin
x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin
x|的最小正周期是π．
(4)T＝＝，∴最小正周期为．
利用公式求y＝Asin?ωx＋φ?或y＝Acos?ωx＋φ?的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝.
1．已知f(x)＝cos的最小正周期为，则ω＝______．
±10 [由题意可知＝，所以ω＝±10．]
周期性的应用
[探究问题]
1．若函数f(x)满足f(x＋a)＝(f(x)≠0，a＞0)，则f(x)是否是周期函数？若是，求其最小正周期．
[提示] ∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝f(x)，
∴T＝2a，即f(x)是周期函数，且最小正周期为2a．
2．若f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
[提示] ∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)
＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且最小正周期为2a．
【例2】 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，求f的值．
[思路点拨]
[解] ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f．
又∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin＝，
∴f＝．
1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值．
[解] ∵f(x)的最小正周期为π，
∴f＝f＝f，
∵f(x)是R上的奇函数，∴f＝－f＝－sin
＝－，∴f＝－．
2．(变结论)本例条件不变，求f的值．
[解] ∵f(x)的最小正周期为π，
∴f＝f＝f，
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin
＝．
∴f＝．
函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.
2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________．
－6 [因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝f(－1)＝－
f(1)＝6，则f(1)＝－
6．
因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝f(－2)＝0，
所以f(6)＝
f(2)＝0，即f(1)＋f(6)＝－6．]
1．本节课重点是理解三角函数的周期性，难点是求正弦函数、余弦函数的周期．
2．本节课重点掌握求三角函数周期的方法
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．
1．函数y＝3sin的最小正周期为( )
A．
B．
C．π
D．2π
C [T＝＝π．]
2．若函数y＝cos(ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________．
2 [T＝＝π，ω＝±2．∵ω＞0，∴ω＝2．]
3．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________．
2 [f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2．]
4．若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值．
[解] ∵f(x)是以为周期的奇函数，
∴f＝－f
＝－f＝－f
＝f＝f＝－f，
又∵f＝1，
∴f＝－f＝－1．
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-
6
-7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)
通过学习本节内容，培养学生的直观想象的核心素养．
网上百度一下一个物理实验：“沙摆实验”视频，就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上，我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么？
1．正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y＝sin
x(x∈R)和余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图象分别叫作正弦曲线和余弦曲线(如图)．
2．“五点法”画图
画正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
画余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
3．正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos
x＝sin，要得到y＝cos
x的图象，只需把y＝sin
x的图象向左平移个单位长度即可．
思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？
[提示] 作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．
( )
(2)y＝sin
x与y＝cos
x的图象形状相同，只是位置不同．
( )
(3)函数y＝cos
x的图象与y轴只有一个交点．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．用“五点法”作y＝2sin
2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．
[答案] 0，，，，π
3．不等式cos
x＜0，x∈[0,2π]的解集为________．
[答案]
利用“五点法”作简图
【例1】 用“五点法”作出下列函数的图象．
(1)y＝sin
x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cos
x，x∈[0,2π]；
(3)y＝－1－cos
x，x∈[0,2π]．
[思路点拨] 先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．
[解] (1)列表如下：
x
0
π
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
sin
x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线，如图①所示：
①
(2)列表如下：
x
0
π
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
2＋cos
x
3
2
1
2
3
描点连线，如图②所示：
②
(3)列表如下：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
－1－cos
x
－2
－1
0
－1
－2
描点连线，如图③所示：
③
用五点法画函数y＝Asin
x＋b(A≠0)或y＝Acos
x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下
(1)列表：
x
0
π
2π
sin
x(或cos
x)
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos
x在一个周期内的图象．
[解] 按五个关键点列表、描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
3＋2cos
x
5
3
1
3
5
利用正、余弦曲线解三角不等式
【例2】 利用正弦曲线，求满足＜sin
x≤的x的集合．
[思路点拨] 作出正弦函数y＝sin
x在一个周期内的图象，然后借助图象求解．
[解] 首先作出y＝sin
x在[0,2π]上的图象，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin
x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sin
x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和．观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤，或≤x＜时，不等式＜sin
x≤成立，
所以＜sin
x≤的解集为．
利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤
?1?画出正弦函数y＝sin
x或余弦函数y＝cos
x在[0，2π]上的图象；
?2?写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
?3?把此解集推广到整个定义域上去.
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝．
[解] (1)要使y＝有意义，则必须满足2sin
x＋1≥0，即sin
x≥－．
结合正弦曲线或三角函数线，
如图所示，知函数y＝的定义域为
．
(2)要使函数有意义，必须满足sin
x－cos
x≥0．
在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin
x和y＝cos
x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin
x＝cos
x的x为，，再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为．
正、余弦函数图象的应用
[探究问题]
1．你能借助图象的变换作出y＝|sin
x|的图象吗？试画出其图象．
[提示] 先画出y＝sin
x的图象，然后将其x轴下方的部分对称到x轴的上方(x轴上方的保持不变)即可得到y＝|sin
x|的图象，如图．
2．方程|sin
x|＝a，a∈R在[0,2π]上有几解？
[提示] 当a＜0时，方程|sin
x|＝a无解；
当a＝0时，方程|sin
x|＝a有三解；
当0＜a＜1时，方程|sin
x|＝a有四解；
当a＝1时，方程|sin
x|＝a有两解；
当a＞1时，方程|sin
x|＝a无解．
【例3】 在同一坐标系中，作函数y＝sin
x和y＝lg
x的图象，根据图象判断出方程sin
x＝lg
x的解的个数．
[思路点拨] ―→―→
―→
[解] 建立直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sin
x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg
x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin
x＝lg
x的解有3个．
1．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题．
2．常见的函数图象变换
(1)y＝f(x)
的图象向左(右)平移a个单位，得到函数y＝f(x＋a)[y＝f(x－a)]的图象；
(2)y＝f(x)的图象向上(下)平移b个单位，得到函数y＝f(x)＋b[y＝f(x)－b]的图象；
(3)y＝f(x)的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝－f(x)的图象；
(4)y＝f(x)的图象作关于y轴对称的图象，得到函数y＝f(－x)的图象；
(5)y＝f(x)的图象作关于原点对称的图象，得到函数y＝－f(－x)的图象；
(6)y＝f(x)的图象保留x轴及其上方的图象，同时x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝|f(x)|的图象；
(7)y＝f(x)的图象保留y轴及其右侧的图象，再去掉y轴左侧的图象，最后y轴右侧的图象作关于y轴对称的图象，得函数y＝f(|x|)的图象．
3．函数f(x)＝sin
x＋2|sin
x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[解] f(x)＝的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3．
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．
2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题
(1)正、余弦函数图象的画法．
(2)利用正、余弦函数的图象解不等式．
(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题．
3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin
x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos
x，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：，，图象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
1．用“五点法”作出函数y＝3－cos
x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________．(填序号)
①(π，－1)；②(0,2)；③；④(π，4)；⑤．
①⑤ [由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，，(π，4)，，(2π，2)，故①⑤不是关键点．]
2．函数y＝sin
x与函数y＝－sin
x的图象关于________对称．
x轴 [在同一坐标系中画出函数y＝sin
x与函数y＝－sin
x的图象(图略)，可知它们关于x轴对称．]
3．sin
x＞0，x∈[0,2π]的解集是________．
(0，π) [如图所示是y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，
由图可知满足sin
x＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．]
4．用“五点法”作出y＝(0≤x≤2π)的简图．
[解] y＝＝|cos
x|(x∈[0,2π])．
列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
|cos
x|
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
描点作图，如图．
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1
-第2课时 正弦、余弦函数的图象与性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象、数学运算核心素养．
回顾正、余弦函数的图象，尝试探究函数y＝sin的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心．
正弦函数、余弦函数的图象与性质
函数
正弦函数y＝sin
x，x∈R
余弦函数y＝cos
x，x∈R
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
最值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，取得最大值1；当x＝2kπ－(k∈Z)时，取得最小值－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，取得最小值－1
周期性
周期函数，T＝2π
周期函数，T＝2π
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于y轴对称
单调性
在(k∈Z)上是增函数；在(k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是减函数
对称性
关于x＝kπ＋(k∈Z)成轴对称，关于(kπ，0)(k∈Z)成中心对称
关于x＝kπ(k∈Z)成轴对称，关于(k∈Z)成中心对称
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin是奇函数．
( )
(2)函数y＝3sin
2x是周期为π的奇函数．
( )
(3)y＝sin
x在上单调递减．
( )
(4)y＝cos
x的值域为(－1,1)．
( )
[提示] (1)∵y＝sin＝cos
x，∴是偶函数．
(2)T＝＝π．f(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin
2x，故为奇函数．
(3)y＝sin
x在上单调递增．
(4)×．y＝cos
x的值域为[－1,1]．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．函数y＝sin
x＋1的值域是________．
[由sin
x∈[－1,1]，得sin
x∈，
所以sin
x＋1∈．]
3．函数y＝sin(2x＋π)的对称中心是________．
，k∈Z [y＝sin(2x＋π)＝－sin
2x，
由2x＝kπ得x＝(k∈Z)，
∴y＝sin(2x＋π)的对称中心为，k∈Z．]
求三角函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调递增区间．
(1)y＝2cos；
(2)y＝logeq
\s\do7()sin．
[思路点拨] (1)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解．
(2)先由sin>0，得到相应x的取值范围，然后借助于复合函数的单调性分析．
[解] (1)因为y＝2cos＝2cos，
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以y＝2cos的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由sin>0得2kπ即＋2kπ①
要求原函数的单调递增区间，只需求函数y＝sin的单调递减区间，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
②
由①②可知＋2kπ≤x<π＋2kπ(k∈Z)，
所以原函数的单调递增区间为(k∈Z)．
求函数y＝Asin?ωx＋φ??A>0，ω≠0?的单调区间的一般步骤
?1?当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋?k∈Z?解出x的范围，即为函数递增区间；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋?k∈Z?解出x的范围，即为函数递减区间.
?2?当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－sin?－ωx－φ?，则y＝sin?－ωx－φ?的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.,余弦函数y＝Acos?ωx＋φ??A>0，ω≠0?的单调性讨论同上.
提醒：要注意k∈Z这一条件不能省略.
1．求函数y＝2sin，x∈[－π，0]的单调减区间．
[解] 当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋时，函数单调递减，
解得：kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∵x∈[－π，0]，
∴取k＝－1，此时－π＋≤x≤－π＋，
即－≤x≤－．
故函数y＝2sin，x∈[－π，0]的单调减区间为．
比较三角函数值的大小
【例2】 用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin
194°与cos
160°；
(2)cos
，sin
，－cos
；
(3)sin与sin．
[思路点拨] 先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．
[解] (1)sin
194°＝sin(180°＋14°)＝－sin
14°，
cos
160°＝cos(90°＋70°)＝－sin
70°．
∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin
x在区间(0°，90°)内是增函数，
∴sin
14°70°，∴－sin
14°>－sin
70°，
∴sin
194°>cos
160°．
(2)sin
＝cos，－cos
＝cos，
∵0<π－<－<<π，
函数y＝cos
x在(0，π)上是减函数，
∴cos>cos>cos
，
即－cos
>sin
>cos
．
(3)cos
＝cos＝sin
．
∵0<<<，函数y＝sin
x在内是增函数，
∴sin
，
∴cos
．
而0<1，
函数y＝sin
x在(0,1)内是增函数，
∴sin比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.
2．比较下列各组数值的大小：
(1)sin
2与cos
1；(2)sin与sin．
[解] (1)因为cos
1＝sin，
sin
2＝sin(π－2)，
又0<－1<π－2<且y＝sin
x在上是递增的，
从而sin即cos
12．
(2)∵sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin
，
∵y＝sin
x在上是增函数，
∴sin，即sin．
与三角函数有关的值域问题
[探究问题]
1．如何求函数y＝sin
x，x∈上的值域？
[提示] 借助函数y＝sin
x在上的单调性求解．
因为x∈时，y＝sin
x是单调递增函数，
所以sin≤sin
x≤sin，即－≤sin
x≤，
∴其值域为．
2．如何求形如y＝asin
x＋b(a，b≠0)的值域？
[提示] 令t＝sin
x，则t∈[－1,1]，从而转化为y＝at＋b，t∈[－1,1]型的值域问题．
3．如何求形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的值域？
[提示] 令sin
x＝t，t∈[－1,1]，从而y＝at2＋bt＋c，t∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．
【例3】 (1)求函数y＝2sin的最大值和最小值；
(2)求函数y＝－2cos2x＋2sin
x＋3，x∈的值域．
[思路点拨] (1)由x的范围?2x＋的范围?借助单调性求y＝2sin的最值；
(2)由x的范围?sin
x的范围?函数的值域．
[解] (1)∵－≤x≤，
∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1，
∴当sin＝1时，取得最大值2；
当sin＝0时，取得最小值0．
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin
x＋3
＝2sin2x＋2sin
x＋1
＝2＋．
∵x∈，∴≤sin
x≤1．
当sin
x＝1时，取得最大值5；
当sin
x＝时，取得最小值．
∴函数y＝－2cos2x＋2sin
x＋3的值域为．
1．(变条件)将本例(1)中“－≤x≤”改为“－≤x≤”，求y＝2sin的最值．
[解] ∵－≤x≤，
∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴当sin＝1时，取得最大值2，
当sin＝－时，取得最小值－．
2．(变条件)本例(2)中“y＝－2cos2x＋2sin
x＋3改为y＝－2cos2x＋2cos
x＋3”，其它条件不变，求值域．
[解] y＝－2＋，
∵x∈，
∴－≤cos
x≤．
当cos
x＝时，取得最大值．
当cos
x＝－时，取得最小值－．
1．求形如y＝Asin
x＋B或y＝Acos
x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．
2．求解形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(或y＝acos2x＋bcos
x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin
x(或cos
x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin
x(或cos
x)的有界性．
3．(1)已知函数f(x)＝2sinx，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )
A．
B．
C．π
D．2π
(2)函数y＝sin
x的值域为________．
(1)C (2) [(1)不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin
x的半个周期．因为f(x)＝2sin
x的周期为2π，所以|x1－x2|的最小值为π，
故选C．
(2)函数y＝sin
x的图象，如图．由图象可知，当x＝时，ymax＝1，当x＝时，ymin＝－，所以函数y＝sin
x的值域为．]
1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．
2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点
(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0．
3．要重点掌握函数性质的应用
(1)求正、余弦函数的周期．
(2)判断正、余弦函数的奇偶性．
(3)求正、余弦函数的单调区间．
(4)求正、余弦函数的值域．
4．本节课的易错点有以下两处
(1)求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值．
(2)求形如函数y＝Asin2x＋Bsin
x＋C的值域时，易忽视正弦函数y＝sin
x的有界性．
1．函数y＝sin
2x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶
D．既奇又偶
A [∵sin(－2x)＝－sin
2x，
∴函数y＝sin
2x为奇函数．]
2．函数y＝sin的单调递增区间是________．
(k∈Z) [令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得kπ－≤x≤＋kπ(k∈Z)．]
3．将cos
150°，sin
470°，cos
760°按从小到大排列为______．
cos
150°＜cos
760°＜sin
470° [cos
150°＜0，sin
470°＝sin
110°＝cos
20°＞0，
cos
760°＝cos
40°＞0且cos
20°＞cos
40°，所以cos
150°＜cos
760°＜sin
470°．]
4．求函数y＝sin的单调区间．
[解] y＝sin＝－sin．
因为2x－是关于x的增函数，所以只需要考虑y＝－sin关于2x－的单调性即可．
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)时，y＝sin为增函数，y＝sin为减函数，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函数y＝sin的单调减区间为
(k∈Z)；
同理，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
求得函数y＝sin的单调增区间为
(k∈Z)．
PAGE
-
10
-第3课时 正切函数的图象与性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的性质．(重点)2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象核心素养．
正切函数是以π为周期的函数，因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象，那么选择怎样的一个周期合适呢？仿照由正弦线画正弦函数图象的方法，自己尝试用该方法作出y＝tan
x，x∈的图象．
正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性
无对称轴，对称中心为(k∈Z)
思考：正切函数在定义域内是单调函数吗？
[提示] 不是．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在定义域上是单调递增函数．
( )
(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z．
( )
(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．
( )
[提示] (1)正切函数在，k∈Z上是单调递增函数．
(2)正切函数不是轴对称图形．
(3)正切函数的对称中心为，k∈Z．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．(一题两空)函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________．
[由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)．故定义域为，
且f＝tan＝．]
3．函数y＝－tan
x的单调递减区间是________．
(k∈Z) [因为y＝tan
x与y＝－tan
x的单调性相反，所以y＝－tan
x的单调递减区间为(k∈Z)．]
正切函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝．
[思路点拨] (1)分母不为0，且tan有意义；
(2)被开方数非负，且tan
x有意义．
[解] (1)要使y＝有意义，
则
∴
∴函数y＝的定义域为
．
(2)由题意得tan
x－3≥0，
∴tan
x≥，
∴kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)，
∴y＝的定义域为
．
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠kπ＋?k∈Z?，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解.
1．求函数y＝的定义域．
[解] 要使函数y＝有意义，
则有
∴
∴
∴函数y＝的定义域为
．
正切函数的单调性及应用
【例2】 (1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)．
①tan
________tan
；
②tan
________tan．
(2)求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．
[思路点拨] (1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行比较．
(2)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再把x－看作一个整体，利用y＝tan
x的单调区间求解．利用T＝求周期．
(1)①＜ ②＜ [①tan
＝tan＝tan
，
∵0＜<＜，且y＝tan
x在上是增函数，
∴tan
．
②tan
＝tan＝tan
，tan＝tan
，
∵0＜<＜，且y＝tan
x在上是增函数，
∴tan
(2)[解] y＝tan
＝－tan，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan的单调减区间是，k∈Z，无增区间．
最小正周期T＝＝2π．
1．求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．
2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．
2．(1)求函数y＝3tan的单调区间；
(2)比较tan
与tan的大小．
[解] (1)y＝3tan＝－3tan，令－＋kπ<2x－<＋kπ，则－＋(2)因为tan
＝－tan，
tan＝－tan，
又0＜＜＜，
y＝tan
x在内单调递增，
所以tan＞tan，
所以－tan＜－tan，
即tan
＜tan．
正切函数的图象及应用
[探究问题]
1．如何由y＝tan
x的图象画出y＝|tan
x|的图象．
[提示] 只需保持y＝tan
x的图象在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y＝|tan
x|的图象．
2．如何由y＝tan
x的图象画出y＝tan|x|的图象．
[提示] 把y＝tan
x(x≥0)的图象关于y轴对称便可得出y＝tan|x|的图象．
【例3】 根据函数y＝|tan
x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．
[思路点拨] →→
[解] 由y＝|tan
x|得，
y＝
其图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan
x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π．
将本例中的函数y＝|tan
x|改为y＝tan
|x|，解答同样的问题．
[解] 由y＝tan
|x|得
y＝
根据y＝tan
x的图象，作出y＝tan
|x|的图象如图：
由图象可知，函数y＝tan
|x|是偶函数，单调增区间为，(k＝0,1,2，…)；
单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．
作由正切函数复合而成的简单函数图象的两种方法
?1?直接描点法，要注意定义域；
?2?图象变换法，即以y＝tan
x的图象为基础，采用反转、对称、平移等变换，作出函数的图象.
3．函数f(x)＝tan
x＋|tan
x|的周期是________．
π [作出f(x)＝tan
x＋|tan
x|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tan
x＋|tan
x|的最小正周期T＝π．]
1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．
2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象
类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z．两线为直线x＝kπ＋(k∈Z)，直线x＝kπ－(k∈Z)．
3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题
(1)与正切函数有关的定义域、值域问题．
(2)正切函数的单调性及应用．
(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题．
4．本节课的易错点有两处
(1)易忽视正切函数y＝tan
x的定义域为
．
(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴．
1．函数y＝4tan的最小正周期为( )
A． B．π C． D．2π
D [T＝＝2π．]
2．
(多选题)下列函数中，周期为π，且在上为增函数的是( )
A．
y＝tan
B．y＝tan
C．y＝cos
D．y＝sin
AC
[对于A选项，函数y＝tan的周期为π，且在上为增函数，符合题意，故A选项正确．
对于B选项，函数y＝tan的周期为，不合题意，故B选项错误．
对于C选项，函数y＝cos＝sin
2x的周期为π，且在上为增函数，符合题意，故C选项正确．
对于D选项，函数y＝sin＝cos
2x在上为减函数，不符合题意，故D选项错误．故选AC．]
3．函数y＝tan
x在上的值域为________．
[－1，] [∵－≤x≤，∴－1≤tan
x≤．]
4．求函数y＝tan
2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
[解] 定义域为；
值域为(－∞，＋∞)；最小正周期为；
对应图象如图所示：
PAGE
-
1
-7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，φ对图象的影响．(重点)2．掌握y＝sin
x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)
通过本节内容的学习，提升学生的直观想象和数学运算核心素养．
在物理和工程技术中经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,
ω>0)的函数，怎样画出它的函数图象从而来研究此类函数的性质呢？请百度一下物理中的“漏沙摆”实验．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．
2．图象变换
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响(相位变换)：
y＝sin
x图象y＝sin(x＋φ)图象．
(2)A对函数y＝Asin
x图象的影响(振幅变换)：
y＝sin
x图象各点纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)得到y＝Asin
x图象．
(3)ω对函数y＝sin
ωx的图象的影响(周期变换)：
y＝sin
x图象各点横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin
ωx图象．
思考：先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗？
[提示] 不相同．平移的单位长度不同．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将y＝sin
x的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象．
( )
(2)将y＝sin
x图象上所有点的横坐标变为原来的，得到y＝sin
x的图象．
( )
(3)将y＝sin
x图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin
x的图象．
( )
[提示] (1)y＝sin
xy＝sin．
(2)y＝sin
xy＝sin
2x．
(3)y＝sin
xy＝2sin
x．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．简谐运动y＝sin的振幅为________，周期为________，频率为________，初相为________．
6 － [由简谐运动的相关概念可知，
A＝，T＝＝6，f＝＝，初相φ＝－．]
作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】 作出函数y＝2sin＋3的图象并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．
[思路点拨] ―→
―→
[解] (1)列表如下：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
(2)描点．
(3)作图，如图所示：
周期为T＝2π，频率为f＝＝，相位为x－，初相为－，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为，k∈Z，增区间为，k∈Z．
1．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．
2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．
1．已知函数y＝2sin，用“五点法”画出其简图．
[解] 列表：
x
2x－
0
π
2π
y＝2sin
0
2
0
－2
0
描点，连线得函数y＝2sin在一个周期内的图象．
再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度，就可得函数y＝2sin(x∈R)的图象．
三角函数的图象变换
[探究问题]
1．将函数y＝sin
x的图象经过怎样变换，可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象？
[提示] 法一：先相位变换后周期变换．
y＝sin
x的图象y＝sin(x＋φ)的图象
y＝sin(ωx＋φ)的图象
y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
法二：先周期变换后相位变换．
y＝sin
x的图象
y＝sin
ωx的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象
y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
2．将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，可以得到哪个函数的图象？
[提示] y＝sin
2xy＝sin
2＝sin(2x＋π)＝－sin
2x．
【例2】 如何由函数y＝sin
x的图象得到函数y＝3sin(x∈R)的图象．
[思路点拨] 可由y＝sin
x的图象先进行平移变换，再进行伸缩变换得到y＝3sin的图象，也可以先进行伸缩变换，再进行平移变换．
1．(变条件)如何由y＝sin
x的图象得到函数y＝3sin的图象？
[解] 先把y＝sin
x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．
2．(变结论)如何由y＝3sin的图象得到y＝sin
x的图象？
已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤
?1?将两个函数解析式化简成y＝Asin
ωx与y＝Asin?ωx＋φ?，即A，ω及名称相同的结构.
?2?找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为.
?3?明确平移的方向.
提醒：三角函数图象的两种伸缩变换的实质是对函数图象的各点的横坐标的伸缩和纵坐标的伸缩变化.
2．设ω＞0，若函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．
[解] 将y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin＋2＝sin＋2．
因为平移后的图象与原图象重合，所以有＝2kπ(k∈Z)，即ω＝(k∈Z)，又因为ω＞0，所以k≥1，故ω＝≥．所以ω的最小值为．
1．本节课的重点是五点法作图、图象变换，难点是图象变换．
2．要掌握与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有关的两个问题
(1)用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
(2)三角函数的图象变换．
3．本节课的易错点是由y＝sin
ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移的单位为而不是|φ|．
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．3，
B．3，
C．6，
D．6，
C [由题意可知f(0)＝2sin
φ＝1，∴sin
φ＝，
又|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
∴T＝＝6，φ＝．]
2．把函数y＝sin
x的图象向左平移个单位得到一个函数图象，则该函数的解析式是________．
y＝cos
x [y＝sin
xy＝sin＝cos
x．]
3．将y＝sin
x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝________．
sin
x [将函数y＝sin
x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)＝2×sin
x＝sin
x的图象．]
4．已知函数y＝3sin．
(1)用“五点法”画函数在一个周期内的图象；
(2)说出此图象是由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到的？
(3)求此函数的周期、振幅、初相；
(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间．
[解] (1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示．
(2)法一：①把y＝sin
x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象；
②把y＝sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；
③将y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．
法二：①把y＝sin
x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图象；
②把y＝sinx图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；
③将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．
(3)周期T＝＝＝4π，振幅A＝3，初相是－．
(4)令x－＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋2kπ，k∈Z，
即函数的对称轴是直线x＝＋2kπ，k∈Z．
令x－＝kπ，k∈Z，
解得x＝2kπ＋，k∈Z，
即函数的对称中心为，k∈Z．
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
即函数的单调递增区间为(k∈Z)．
PAGE
-
1
-第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．能由三角函数的图象求出解析式．(重点、易错点)2．掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象和数学运算的核心素养．
用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的简图如何取点？函数y＝sin
x与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y＝sin
x与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？φ，ω，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象又有什么影响？
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝＋kπ，k∈Z时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调性
单调增区间可由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到，单调减区间可由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到
1．最大值为，周期为，初相为的函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)解析式可以为________．
y＝sin [由题意可知A＝，＝，∴ω＝6，又φ＝，故其解析式可以为y＝sin．]
2．已知f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2；当x＝时，取得最小值－2，则f(x)＝________．
2sin [由题意可知，A＝2，又＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝＝2，
∴f(x)＝2sin．]
由图象求三角函数的解析式
【例1】 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
[思路点拨] 观察图象可知A＝3，对于ω，φ可由一个周期内的图象确定．
[解] 法一：(逐一定参法)
由图象知振幅A＝3，又T＝－＝π，
∴ω＝＝2．
由点，得－×2＋φ＝kπ，
得φ＝kπ＋，
又∵|φ|<，∴φ＝．
∴y＝3sin．
法二：(待定系数法)
由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得
∴y＝3sin．
若设所求解析式为y＝Asin?ωx＋φ?，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
?1?由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
?2?由函数图象与x轴的交点与其对称轴确定T，由T＝，确定ω.
?3?确定函数y＝Asin?ωx＋φ?的初相φ的值的三种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入?此时A，ω已知?或代入图象与x轴的交点求解?此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上?.
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”?即图象上升时与x轴的交点?为ωx＋φ＝0；
“第二点”?即图象的“峰点”?为ωx＋φ＝；,
“第三点”?即图象下降时与x轴的交点?为ωx＋φ＝π；
“第四点”?即图象的“谷点”?为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
③图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin
ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数.
1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图象，如图所示，求该函数的一个解析式．
[解] 法一：(最值点法)由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝．
由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2．
又＝，∴图象上的最高点为，
∴＝sin，即sin＝1，则＋φ＝＋2kπ，φ＝－＋2kπ，可取φ＝－，
∴函数的一个解析式为y＝sin．
法二：(五点对接法)由图象知A＝，又图象过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得解得∴函数的一个解析式为y＝sin．
法三：(图象变换法)由图可知A＝，＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2．
∴该函数的图象可由y＝sin
2x的图象向右平移个单位长度得到，
∴所求函数的一个解析式为y＝sin
2，
即y＝sin．
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
[探究问题]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时为偶函数？当其取何值时为奇函数？
[提示] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝＋kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴方程如何表示，对称中心呢？
[提示] 由ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z，求对称轴方程；由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求对称中心．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻根之间呢？
[提示] 均相差半个周期．
【例2】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为，求函数的解析式．
[思路点拨] 由图象过P和离P最近的最高点可求A，ω，由是最高点及|φ|<可求得φ的值．
[解] ∵图象最高点的坐标为，
∴A＝5．
∵＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．
代入点，得sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z．
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z．
又∵|φ|<，∴k＝0，则φ＝－，
∴y＝5sin．
1．(变结论)本例条件不变，指出函数的单调增区间．
[解] ∵函数的单调增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调增区间为(k∈Z)．
2．(变结论)本例条件不变，求使y≤0的x的取值范围．
[解] ∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求x的取值范围是(k∈Z)．
有关函数y＝Asin?ωx＋φ?的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.
提醒：熟知y＝Asin?ωx＋φ?的图象和性质是解决y＝Asin?ωx＋φ?类综合题的关键.
2．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
A [由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin，
则该函数图象关于点对称．]
3．(多选题)函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是( )
A．图象C关于直线x＝对称
B．图象C关于点对称
C．函数f(x)在区间内是增函数
D．由y＝3sin
2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
BC [f＝3sin＝3sin＝－，f＝3sin＝0，故A错，B正确；令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故C正确；函数y＝3sin
2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝3sin
2＝3sin的图象，故D错．故选BC．]
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|．
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T．
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
1．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的以下说法，正确的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
BC [当φ＝0时，f(x)＝sin
x，是奇函数；当φ＝时，f(x)＝cos
x，是偶函数．故选BC．]
2．(一题两空)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的一部分，那么ω＝________，φ＝________．
[∵点在函数图象上，∴sin
φ＝．
又∵|φ|<，∴φ＝，∴y＝sin．
又∵点(π，0)在y＝sin上，且该点是“五点”中的第五个点，
∴sin＝0，∴πω＋＝2π，∴ω＝．]
3．函数y＝sin的图象的一条对称轴方程是________．
x＝(答案不唯一) [由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，得x＝．]
4．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈．
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
[解] (1)由题意知A＝
，
T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，
∴φ＝，
∴y＝sin．
(2)列出x，y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点、连线，如图所示：
PAGE
-
3
-7.4 三角函数应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1．会用三角函数解决一些简单的实际问题．(重点)2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象和数学建模核心素养．
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替、四季轮回、潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！我们需要学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象．
1．三角函数模型的应用
(1)根据实际问题的图象求出函数解析式．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
2．解答三角函数应用题的一般步骤
思考：在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？
[提示] A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
(2)A＝，b＝．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin
x在内是增函数．
( )
(2)函数y＝3sin
x－1的最大值为3．
( )
(3)直线x＝π是函数y＝sin
x的一条对称轴．
( )
(4)函数y＝sin
[π(x－1)]的周期为2．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的周期是T＝________；
(2)y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期是T＝________；
(3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期是T＝________．
[答案] (1) (2) (3)
3．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin
160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
80 [∵T＝＝，∴f＝＝80．]
三角函数在物理学中的应用
【例1】 已知电流I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
[思路点拨] 可先由图象确定电流I的解析式，再由函数的性质确定ω的值．
[解] (1)由图知，A＝300．
＝－＝，
∴T＝，∴ω＝＝150π．
I＝300sin(150πt＋φ)．
由为第一个关键点，
∴150π·＋φ＝0，∴φ＝，
∴所求解析式为I＝300sin，t∈[0，＋∞)．
(2)由题意T≤，即≤，
∴ω≥300π≈942．4，
∴所求ω的最小正整数值是943．
1．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．
2．将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y＝Asin(ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．
1．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从开始到第一次回到平衡位置所需要的时间为( )
A．
s
B．
s
C．
s
D．1
s
C [由题意得，s＝0,
即6sin＝0(t>0)，所以2πt＋＝kπ(k∈N
)，t＝－(k∈N
)，所以t的最小正值为
s
，故选C．]
三角函数在实际生活中的应用
【例2】 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40．5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60．5米时，用了多长时间？
[思路点拨] →→→
[解] (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y＝40．5－40cos
ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝．所以y＝40．5－40cost(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60．5米，由60．5＝40．5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或8．所以t＝8分钟时，第2次距地面60．5米，故第4次距离地面60．5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
三角函数在实际生活中的应用问题的两种类型
?1?已知函数模型，利用题目中提供的数据和有关性质解决问题，其关键是求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决.
?2?把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
2．已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50
m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t
min后，点P的高度h＝40·sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70
m以上的时间将持续________分钟．
4 [依题意，即40sin＋50≥70，
即cost≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．]
三角函数的数据拟合问题
[探究问题]
1．在利用已收集到的数据解决实际问题时，我们首先要对数据如何处理？
[提示] 先画样本数据散点图，通过分析其变化趋势确定合适的函数模型．
2．当散点图具有什么特征时，可以用正(余)弦函数模型来解决实际问题？
[提示] 当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正(余)弦函数模型来解决实际问题．
【例3】 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1．0
1．4
1．0
0．6
1．0
1．4
0．9
0．5
1．0
(1)试在图中描出所给点；
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[思路点拨] ―→―→
[解] (1)描出所给点如图所示：
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
令A＞0，ω＞0，|φ|＜π．
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
所以ω＝＝．
把t＝0，y＝1代入y＝0．4sin＋1，得φ＝0．
故所求拟合模型的解析式为
y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，则sint≥－，
则－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24．
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用.解决这类题目的步骤如下：
?1?搜集实际问题的数据，作出“散点图”；
?2?观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型；
?3?通过图象或解析式研究函数的性质；
?4?用得到的性质解决提出的实际问题.
3．某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10．0
13．0
9．9
7．0
10．0
13．0
10．1
7．0
10．0
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asin
ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出y＝Asin
ωt＋b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5
m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7
m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略进出港所用的时间)
[解] (1)由拟合曲线可知，函数y＝Asin
ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，
∴函数的最小正周期为12
h，因此，＝12，ω＝．
又∵当t＝0时，y＝10；
当t＝3时，取最大值13．
∴b＝10，A＝13－10＝3．
∴所求函数表达式为y＝3sin
t＋10(0≤t≤24)．
(2)由于船的吃水深度为7
m，船底与海底的距离不少于4.5
m，故船舶在航行时水深y应大于等于7＋4.5＝11．5(m)．
由拟合曲线可知，一天24
h，水深y变化两个周期．
令y＝3sin
t＋10≥11.5,
可得sin
t≥．
∴2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．
取k＝0，则1≤t≤5；
取k＝1，则13≤t≤17；
取k＝2时，则25≤t≤29(不合题意)．
从而可知，该船在1点到5点或者13点到17点两个时间段可安全进港；船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长为16小时．
1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．
2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤
(1)审清题意
读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．
(2)建立函数模型
整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．
(3)解答函数模型
利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果．
(4)得出结论
将所得结果翻译成实际问题的答案．
3．本节课要重点掌握三角函数模型的三类简单应用
(1)三角函数在物理中的应用．
(2)三角函数在实际问题中的应用．
(3)建立三角函数模型解决实际问题．
1．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动往返一次需要的时间是( )
A．0.2
s B．0.4
s C．0.8
s D．1.2
s
C [由图象知周期T＝0．8－0＝0．8，则这个简谐运动需要0．8
s往返一次．]
2．某地一天内的温度变化曲线满足y＝3sin(0．2x＋25)＋15，则在一天内，该地的最大温差是________．
6 [因为函数y＝3sin(0．2x＋25)＋15的振幅为A＝3，可以判断该地的最大温差是2A＝6．]
3．(一题两空)电流I随时间t变化的关系式是I＝Asin
ωt，t∈[0，＋∞)，若ω＝10π
rad/s，A＝5，则电流I变化的周期是________，当t＝
s时，电流I＝________．
[由已知得I＝5sin
10πt，∴T＝＝．
当t＝
s时，I＝5sin＝5sin
＝．]
4．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝6sin．
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多长时间？
[解] (1)周期T＝＝1(s)．
列表：
t
0
1
2πt＋
π
2π
6sin
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3
cm．
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6
cm．
③小球来回摆动一次需要1
s(即周期)．
PAGE
-
3
-三角函数
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
任意角的三角函数概念
【例1】 (1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin
α＋cos
α的值是________．
(2)函数y＝＋的定义域是________．
[思路点拨] (1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．
(2)利用三角函数线求解．
(1)或－ (2)
[(1)r＝|OP|＝＝5|m|．
当m>0时，sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，∴2sin
α＋cos
α＝．
当m<0时，sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝，∴2sin
α＋cos
α＝－．
故2sin
α＋cos
α的值是或－．
(2)由得
如图，结合三角函数线知：
解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为
．]
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：
?1?任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.
?2?任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.
1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－，y)，且sin
α＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cos
α和tan
α的值；
(2)若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin
α＋的值．
[解] (1)依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝，∴sin
α＝＝＝y．
∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝，
∴y＝±．
∴点P在第二或第三象限．
当点P在第二象限时，y＝，cos
α＝＝－，tan
α＝－．
当点P在第三象限时，y＝－，cos
α＝＝－，
tan
α＝．
(2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则r＝＝＝|k|．
当k>0时，r＝k．
∴sin
α＝＝－，＝＝．
∴10sin
α＋＝－3＋3＝0．
当k<0时，r＝－k．
∴sin
α＝＝，＝＝－．
∴10sin
α＋＝3－3＝0．
综上，10sin
α＋＝0．
同角三角函数的基本关系与诱导公式
【例2】 已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin
θ，cos
θ，θ∈(0,2π)．求：
(1)＋；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[思路点拨] 先利用根与系数的关系得到sin
θ＋cos
θ与sin
θcos
θ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．
[解] 由根与系数的关系，得
sin
θ＋cos
θ＝，sin
θcos
θ＝．
(1)原式＝＋＝＋＝－＝sin
θ＋cos
θ＝．
(2)由sin
θ＋cos
θ＝，两边平方可得1＋2sin
θcos
θ＝，把sin
θcos
θ＝代入得1＋2×＝1＋，∴m＝．
(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，
得两根为和．∴或
∵θ∈(0,2π)，
∴θ＝或．
同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：?1?化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.?2?化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.?3?“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.
2．已知f(α)＝．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos
α－sin
α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝＝sin
α·cos
α．
(2)由f(α)＝sin
α·cos
α＝可知，(cos
α－sin
α)2＝cos2α－2sin
α·cos
α＋sin2α
＝1－2sin
α·cos
α＝1－2×＝．
又∵<α<，∴cos
αα，
即cos
α－sin
α<0，∴cos
α－sin
α＝－．
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos
·sin
＝×＝．
三角函数的图象与性质
【例3】 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1的周期为π，f＝＋1，且f(x)的最大值为3．
(1)写出f(x)的表达式；
(2)写出函数f(x)的对称中心、对称轴方程及单调区间；
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[思路点拨] (1)由T＝求ω，由f(x)的最大值为3求A，由f＝＋1，求φ．
(2)把ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin
x的单调区间与对称性求解．
(3)由x∈求出ωx＋φ的范围，利用单调性求最值．
[解] (1)∵T＝π，∴ω＝＝2．
∵f(x)的最大值为3，∴A＝2．
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1．
∵f＝＋1，
∴2sin＋1＝＋1，
∴cos
φ＝．
∵0<φ<，
∴φ＝．
∴f(x)＝2sin＋1．
(2)由f(x)＝2sin＋1，
令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴对称中心为(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)，
∴对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(3)当0≤x≤时，≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)在上的最大值为3，最小值为0．
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求：
?1?用“五点法”作y＝Asin?ωx＋φ?的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π.
?2?对于y＝Asin?ωx＋φ?的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.
?3?已知函数图象求函数y＝Asin?ωx＋φ??A＞0，ω＞0?的解析式时，常用的解题方法是待定系数法.
3．已知函数f(x)＝sin
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．
[解] (1)f(x)＝sin．令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z．
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得g1(x)＝sin＝sin＝cos
2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cos
x的图象．作函数g(x)＝cos
x在区间上的图象，作直线y＝a．根据图象知，实数a的取值范围是．
数形结合思想
【例4】 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f(x)－lg
x根的个数．
[思路点拨] →→
→
[解] 显然A＝2．
由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sin
φ＝，
又|φ|＜，则φ＝．
又是图象上的点，则f＝0，
即sin＝0，由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．
∴ω＋＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin．
在同一坐标系中作函数y＝2sin和函数y＝lg
x的示意图如图所示：
∵f(x)的最大值为2，令lg
x＝2，得x＝100，令π＋kπ＜100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lg
x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在上有2×31＝62个交点，另外在上还有1个交点，
∴方程f(x)－lg
x＝0共有实根63个，
∴函数g(x)＝f(x)－lg
x共有63个实根．
数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中.
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法.
4．在(0,2π)内使sin
x>|cos
x|成立的x的取值范围是( )
A．
B．∪
C．
D．
A [sin
x>|cos
x|，∴sin
x>0，∴x∈(0，π)．在同一坐标系中画出y＝sin
x，x∈(0，π)与y＝|cos
x|，x∈(0，π)的图象，如图．
观察图象易得使sin
x>|cos
x|成立的x∈，故选A．]
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