8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．(重点)2．会求函数的零点．(重点、难点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理的数学核心素养．
解方程的历史
方程解法时间图·东方
方程解法时间图·西方
1．函数的零点的定义
一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．
(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．
3．零点存在性定理
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有零点．
( )
(2)任意两个零点之间函数值保持同号．
( )
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0．
( )
[提示] (1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．
(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．
(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．(一题两空)函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．
－1，－2 (－1,0)，(－2,0) [令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2．]
3．若函数f(x)在区间[2,5]上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．
1 [由f(x)在区间[2,5]上是减函数，可得f(x)至多有一个零点．又因为f(x)是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，所以f(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f(x)恰有一个零点．]
求函数的零点
【例1】 求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4
x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．
[思路点拨] 根据函数的零点和方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．
[解] (1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1，0,1．
(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，
故f(x)的零点为x＝3．
(3)令f(x)＝1－log4
x＝0，∴log4
x＝1，∴x＝4．
故f(x)的零点为x＝4．
(4)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，
令f(x)＝0，得x＝2．
∴f(x)的零点为2．
当a＝时，f(x)＝(x－2)＝(x－2)2，
令f(x)＝0，得x1＝x2＝2．
∴f(x)有零点2．
当a≠0且a≠时，令f(x)＝0，得x1＝，x2＝2．
∴f(x)的零点为，2．
综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝时，函数有零点2；当a≠0且a≠时，f(x)的零点为，2．
函数的零点的求法
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
1．求下列函数的零点．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(2x－3)ln(x－2)；
(3)f(x)＝sin，x∈[0，π]．
[解] (1)当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1．所以函数的零点是1和2．
(2)因为函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以2x>4，
由(2x－3)ln(x－2)＝0，得x－2＝1，所以x＝3，
即函数f(x)＝(2x－3)ln(x－2)的零点是3．
(3)因为x∈[0，π]，所以∈，
由sin＝0，得2x－＝0或2x－＝π，解得x＝或x＝，
所以函数f(x)＝sin，x∈[0，π]的零点是和．
零点存在性定理及其应用
【例2】 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．(填序号)
①；②；③；④．
[思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f(a)f(b)<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点．
③ [∵f＝－2<0，f＝－1>0，
∴f·f<0，
∴零点在上．]
1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象．
2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．
2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2．72)的一个根所在的区间是________．(填序号)
x
－1
0
1
2
3
ex
0．37
1
2．72
7．40
20．12
x＋3
2
3
4
5
6
①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．
③ [设f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0．37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2．72－4<0，f(2)＝7．40－5>0，f(3)＝20．12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，
因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．]
函数零点(方程不等实根)个数的判断
[探究问题]
1．如何去求一个方程的零点？
[提示] (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理．
2．求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？
[提示] 解方程法．优点：解的准确，不需估算．
缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f(x)＝2x－3x．
图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．
【例3】 (1)函数f(x)＝ex－3的零点个数为________．
(2)函数f(x)＝ln
x－的零点个数是________．
(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．
[思路点拨] (1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直线y＝a与抛物线y＝(x－1)(3－x)＋x的位置关系讨论，也可以利用判别式．
(1)1 (2)2 [(1)令f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln
3，故f(x)只有1个零点．
(2)在同一坐标系中画出y＝ln
x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln
x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln
x－的零点个数为2．]
(3)[解] 法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a．
令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a．
作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为＝，画出如图所示的简图：
由图象可以看出：
①当a＞时，方程没有实数根；
②当a＝时，方程有两个相等的实数根；
③当a＜时，方程有两个不相等的实数根．
法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0．
Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13．
①当Δ＜0，即a＞时，方程没有实数根；
②当Δ＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＞0，即a＜时，方程有两个不相等的实数根．
(变条件)若把本例(3)中x加以限制(1＜x＜3)，求解相应问题．
[解] 原方程可化为－x2＋5x－3＝a(1＜x＜3)，
作函数f(x)＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象，注意f(x)＝－x2＋5x－3的对称轴为x＝，
f＝－＋－3＝＝，
f(1)＝－1＋5－3＝1，f(3)＝－9＋15－3＝3．
故f(x)在1＜x＜3上的草图如图所示：
由图可知，
①当a＝或1＜a≤3时，方程有一个实数根；
②当3＜a＜时，方程有两实数根；
③当a≤1或a＞时，方程无实数根．
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
3．函数f(x)＝lg
x－sin
x的零点有i(i∈N
)个，记为xi，xi∈(，)，k∈N
，则k构成的集合为______________．
{1,4,5} [由f(x)＝lg
x－sin
x得lg
x＝sin
x，在同一坐标系中作出y＝lg
x和y＝sin
x的图象，如下图，
由图象知，函数f(x)＝lg
x－sin
x有三个零点x1∈，x2∈，x3∈，
因为xi∈(，)，k∈N
，所以k＝1,4,5，所以k构成的集合为{1,4,5}．]
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
A [B、C、D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．]
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3．
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象(图略)，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．
又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3．应选C．]
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有________个．
4 [∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4个区间．]
4．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，求实数a的取值范围．
[解] 由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，
即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，
则t的取值范围是．
所以实数a的取值范围是．
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1
-8.1.2 用二分法求方程的近似解
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习
目
标
核
心
素
养
1．通过实例理解二分法的概念．(难点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理的数学核心素养．
通过上一节的学习，利用函数的零点存在性定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f(x)＝ln
x＋2x－6零点的近似值(精确到0．1)．
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫做二分法．
2．用二分法求一元方程f(x)＝0近似解的步骤
(1)确定区间：一元方程f(x)＝0的根所在的区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0．
(2)求区间(a，b)的中点：x1＝．
(3)计算f(x1)．
①若f(x1)＝0，x1就是一元方程f(x)＝0的近似解；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．
(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到一元方程f(x)＝0近似解，否则重复步骤(2)～(4)．
3．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．
( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．
( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．
( )
(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到．
( )
[提示] 四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0．(2)中，
f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,4)
D．(4，＋∞)
C [由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．]
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)＜0，取区间[2,3]的中点x1＝＝2．5，计算得f(2．5)·f(3)＞0，此时零点x0所在的区间是________．
(2,2．5) [由于
所以f(2)·f(2．5)＜0，所以
x0∈(2,2．5)．]
“二分法”求方程的近似解
【例1】 证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0．1)
[思路点拨] →
→
→
[解] 分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：
在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．
由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，
方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，
并且这个解在区间(1,2)上．
设f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：
f(1)<0，f(2)>0?x1∈(1,2)，
f(1)<0，f(1．5)>0?x1∈(1,1.5)，
f(1)<0，f(1.25)>0?x1∈(1,1.25)，
f(1.125)<0，f(1．25)>0?x1∈(1.125,1.25)，
f(1.187
5)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.187
5,1.25)，
f(1.218
75)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.218
75，1.25)，
f(1．218
75)<0，f(1.234
375)>0?x1∈(1．218
75，1.234
375)．
因为1.218
75与1.234
375精确到0．1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为1.2．
1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．
2．求方程f(x)＝g(x)的近似值注意的问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；也可以利用函数的零点存在性定理判定；②运用二分法时，需构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)＝0的近似解．
1．求的近似值．(精确到0.1)
[解] 是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．
用二分法求其零点．
由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0．故可取区间[1,2]为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，如下：
f(1)<0，f(1.5)>0?x1∈(1,1.5)，
f(1.25)<0，f(1.5)>0?x1∈(1.25,1.5)，
f(1.25)<0，f(1.375)>0?x1∈(1.25,1.375)，
f(1.25)<0，f(1.312
5)>0?x1∈(1.25,1.312
5)，
至此可见，区间[1.25,1.312
5]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是精确到0.1的近似值．
二分法求方程近似解的条件
[探究问题]
1．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？
[提示] 理论依据是零点存在性定理．
2．能用二分法求方程近似解的条件是什么？
[提示] 条件共三点：
(1)f(x)图象连续不断；(2)起始的两个端点处的函数值异号；(3)每次区间等分后，必须有端点函数值异号．
【例2】 (1)下列函数没有零点的是________，在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是________，一定不能用二分法求零点的是________．(填序号)
①y＝x－7；②y＝－2；③y＝log4
x＋3；④y＝2x＋x；⑤y＝x2；⑥y＝－2x2；⑦y＝－2x－1．
(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是________，能用二分法求零点的是________．(填序号)
[思路点拨] 根据二分法的概念进行判断．
(1)⑦ ④ ⑤⑥ (2)①⑤ ②③④ [(1)⑦中y<0，故没有零点，①②③可通过解方程求零点，④必须用二分法，⑤⑥虽有零点，但零点左右两侧没有变号，故不能用二分法．
(2)①⑤图中，与x轴交点两侧符号一致，不能用二分法，②③④均可用二分法，但④应该注意区间的选择．]
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．(1)下面关于二分法的叙述，正确的是______．(填序号)
①用二分法可求所有函数零点的近似值；
②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；
③二分法无规律可循；
④只有在求函数零点时才用二分法．
(2)观察下列函数的图象，能用二分法求其零点的是________．(填序号)
(1)② (2)① [(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错；求方程的近似解也可以用二分法，故④错．
(2)由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．]
1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)>0时，在[a，b]上也可能存在零点．
2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点
(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．
(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值xi时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止．
1．用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到ε的说法正确的是( )
A．ε越大，近似解的精确度越高
B．ε越大，近似解的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，近似解的精确度越低．]
2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4]
B．[－2,1]
C．[－2,2．5]
D．[－0．5,1]
D [因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0．5]，[－0．5,1]，[1,2．5]，[2．5,4]，只有D在其中，故答案为D．]
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，精确到0．1，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________．(填区间)
(2,3) [由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]
4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600
00)＝0.200
f(1.587
5)＝0.133
f(1.575
0)＝0.067
f(1.562
5)＝0.003
f(1.556
2)＝－0.029
f(1.550
0)＝－0.060
据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0．01)．
[解] 由表中f(1．562
5)＝0．003，
f(1．556
2)＝－0．029，
得f(1．562
5)·f(1．556
2)<0．
又因为1．562
5和1．556
2精确到0．01的近似值都为1．56，
故f(x)＝3x－x－4的一个零点近似值为1．56．
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-
1
-8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)
借助三个函数模型的增长特征，培养学生数学运算、数学建模的核心素养．
我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．尝试完成下表．
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx＋b(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
图象的变化趋势
增长速度
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式②当x足够大时，总有ax>kx>logax
1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( )
A．y减少1个单位
B．y增加1个单位
C．y减少2个单位
D．y增加2个单位
C [结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]
2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex
B．y＝ln
x
C．y＝2x
D．y＝e－x
A [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
②③ [结合图象可知②③正确，故填②③．]
几类函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2
019x
B．y＝2019
C．y＝log2
019x
D．y＝2
019x
(2)下面对函数f(x)＝logeq
\s\do12()x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A．
(2)观察函数f(x)＝logeq
\s\do12()x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]
常见的函数模型及增长特点
?1?线性函数模型,一次函数模型y＝kx＋b?k>0?的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
?2?指数函数模型,指数函数模型y＝ax?a>1?的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
?3?对数函数模型,对数函数模型y＝logax?a>1?的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
37
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.332
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2．]
指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f与g，f(2
020)与g(2
020)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x．
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
∴f＜g；
当x＞2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2
020)＞g(2
020)．
由图象判断指数函数、一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.
2．函数f(x)＝lg
x，g(x)＝0．3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0．3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg
x．
(2)当x
f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．
( )
(2)当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax( )
(3)函数y＝logeq
\s\do12()x衰减的速度越来越慢．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝3x
D．y＝log3x
C [结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x．]
3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0．2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1．005x，则投资500元，1
000元，1
500元时，应分别选择________方案．
乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]
4．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
[解] 函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)PAGE
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1
-8.2.2 函数的实际应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点)2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用(重点)．
通过学习本节内容，提升学生的数学建模和数学运算的核心素养．
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题．
某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地1
0000
m2，该中心每块球场的建设面积为1
000
m2，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关．当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用函数f(x)＝400来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题，如何处理这些问题呢？
1．常见的函数模型
(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)；
(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
(7)分段函数模型；
(8)对勾函数模型：f(x)＝x＋
(a为正常数)．
“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
①该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，
]上单调递减．
②当x>0时，x＝时取最小值2；当x<0时，x＝－时取最大值－2．
2．解决实际问题的一般流程
―→―→―→
其中建立函数模型是关键．
3．用函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
1．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________．
1.0211 [设1月份利润为x，则12月份的利润y＝x(1＋2%)11＝kx，
∴k＝1.0211．]
2．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1
000吨，每吨为800元；购买2
000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．
860 [依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
由x＝800，y＝1
000及x＝700，y＝2
000，
可得k＝－10，b＝9
000，
即y＝－10x＋9
000，
将y＝400代入得x＝860(元)．]
利用已知函数模型解实际问题
【例1】 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，有以下公式：
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5
min与开讲后20
min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13
min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
[思路点拨] 精读题目，理解题意及分段函数的意义进行求解．
[解] (1)当0f(x)＝－0．1x2＋2．6x＋43
＝－0．1(x－13)2＋59．9．
故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0．1×(－3)2＋59．9＝59；
当16f(x)<－3×16＋107＝59．
因此，开讲后10
min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6
min．
(2)f(5)＝－0．1×(5－13)2＋59．9＝53．5，
f(20)＝－3×20＋107＝47<53．5＝f(5)．
因此，开讲后5
min学生的接受能力比开讲后20
min强一些．
(3)当0则－0．1×(x－13)2＝－4．9，(x－13)2＝49．
所以x＝20或x＝6，但0故x＝6．
当16则－3x＋107＝55．
所以x＝17．
因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17－6＝11≤13(min)，
所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．
1．(一题两空)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N
)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
y＝
(x∈N
) 16
[当0故y＝
(x∈N
)．
当0利用三种函数模型解决实际问题
【例2】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[思路点拨] 第(1)问知v求Q，直接求得；第(2)问知Q求v，也是直接代入．
[解] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中给出的公式可得：0＝5log2，解得Q＝10．
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的公式得：
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15
m/s．
2．某学校为了预防某种流感，对教室采用药熏消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝
(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
(2) [药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k≠0)，将点代入可得k＝10，则y＝10t；
将点代入y＝，得a＝．
则所求关系式为y＝
(2)令eq
\s\up12(－)＝0.25＝eq
\s\up12()，解得t＝＝．
即从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．]
1．应用已知函数模型解题，有两种题型：
(1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题；
(2)若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法．
2．信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．
3．有些实际问题，可能需要多个函数模型，这时应注意分段函数模型的使用，在写分段函数时必须注意区间端点值不能重复，也不能遗漏．
利用数据拟合建立函数模型解实际应用题
[探究问题]
1．什么是数据拟合？
[提示] 数据拟合是研究变量之间的关系，并给出近似数学表达式的一种方法．
2．用数据拟合法如何建立函数模型？
[提示] 一般是先作出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合．
【例3】 某人对西红柿市场做了一次调查，通过调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102
kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logb
t．
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[思路点拨] 根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据的函数模型，然后再用该模型解决问题．
[解] (1)作出散点图，如图，根据散点图，应选取二次函数y＝at2＋bt＋c进行描述．
由题意知
解得a＝，b＝－，c＝．∴Q＝t2－t＋．
(2)由(1)知，Q＝(t－150)2＋100．
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，是100元/102
kg．
根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示：
3．有一组实验数据如下表所示：
t
1
2
3
4
5
y
1．5
5．9
13．4
24．1
37
下列所给函数模型较适合的是________．(填序号)
①y＝logax(a＞1)；②y＝ax＋b(a＞1)；③y＝ax2＋b(a＞0)；④y＝logax＋b(a＞1)．
③ [通过所给数据结合散点图可知y随x增大，其增长速度越来越快，而①④中的函数增长速度越来越慢，而②中的函数增长速度保持不变．故选③]
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化．
4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题．
1．已知：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋
B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logb
x
D．y＝a·bx．
D [由表知x可以取“0”，排除A，C．
对于B：当x＝0时，y＝a＝1，∴a＝1，
当x＝1时，y＝a＋b＝2．02，b可以取1，
当x＝2时，y＝1＋2＝3；
当x＝3时，y＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有D正确．]
2．用长度为20的铁丝围成一个长方形场地，使其一边靠墙，若靠墙的一边长设为x，则长方形的面积为________．
y＝x(0则另一边长为＝10－，
则长方形的面积为y＝x(03．一个容器装有细沙a
cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t
min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8
min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
16 [当t＝0时，y＝a；
当t＝8时，y＝ae－8b＝a，故e－8b＝．
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16
min容器中的沙子只有开始时的八分之一．]
4．某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0．5万元，每生产100台，需要增加成本(即另增加投入)0．25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R(x)＝5x－0．5x2(0≤x≤5，单位：万元)，其中x是产品出售的数量(单位：百台)．求年产量是多少时，工厂所得利润最大？
[解] ∵市场对此产品的年需求量为5百台，
∴当x≤5时，产品能售出x台，x＞5时只能售出5百台，故利润函数为：
L(x)＝R(x)－C(x)＝
＝
当0≤x≤5时，L(x)＝4．75x－0．5x2－0．5，
当x＝4．75时，得L(x)max＝L
(4．75)≈10．78万元；
当x＞5时，L(x)＝12－0．25x，利润在12－0．25×5＝10．75万元以下，
故生产475台时利润最大．
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1
-第8章
函数应用
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．
从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．
【例1】 (1)函数f(x)＝log3
[log2(4－2x)]的零点为________．
(2)函数g(x)＝lg
x与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为_____，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N
，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________．
[思路点拨] (1)可通过解方程来求零点．
(2)通过图象和零点存在性定理来解．
(1)1 (2)2 3 [(1)f(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1．
(2)在同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg
2－1<0，h(3)＝lg
3>0，h(4)＝lg
4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3．]
判断函数的零点个数的三种方法
?1?方程法：令f?x?＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.
?2?定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f?a?·f?b?<0，还必须结合函数的图象与性质?如单调性、奇偶性、周期性、对称性?才能确定函数有多少个零点.
?3?图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
1．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
[解] (1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点．
当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－．
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上所述，m≤－．
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝．
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3．
且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，
∴m的值为－3．
函数的零点的应用
求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数．
【例2】 若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．
[思路点拨]
由函数在指定区间有零点，转化为相应方程有实数根，分离参数转化为求值域问题．
[因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，
所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝－，
因为x∈[－1,1]，所以2x∈，所以－∈．
所以实数a的取值范围是．]
1．函数在指定区间上有零点通常转化为相应方程有解问题，能分参就优先分离参数，转化为求值域问题．
2．涉及已知函数零点的个数求参数的取值范围问题，经常转化为相关的函数图象的交点的个数问题，通过数与形的结合，求出参数的取值范围．
2．已知函数f(x)＝－x2－2x,
g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
[解] (1)g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2．
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是．
构建函数模型解决实际问题
【例3】 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解] (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－．
所以L(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元．
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2
＝35－20＝15，当且仅当x＝时等号成立，
即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
建模解决实际问题的三个步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
即：
提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
3．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；
②年销售额x(单位：万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取奖金y∈[4,10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？
[解] (1)依题意，y＝logax在x∈[8,64]上为增函数，所以
解得a＝2，所以y＝
(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1
024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4,10]，则40≤x≤100，所以64综上所述，当年销售额x∈[16,100]时，奖金y∈[4,10]．
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