江苏省南京市玄武高级中学2021届高三上学期第一次学情检测数学试题 Word版含答案

玄武高级中学11849100120777002020-2021学年度第一学期高三学情检测试卷
数 学
一、选择题
1.设集合，，则(　　)
A. B. C. D.
2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ）
A.false B.false C.false D.false
3.函数false的定义域为（ ）
A.（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
4．已知三棱锥false四个顶点均在半径为false的球面上，且false，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）
A. false B. false C. false D.false
5．已知false是函数false的导函数，且对任意的实数false都有false，false，则不等式false的解集为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6函数的图象大致为（　　）
x
y
-1
0
1
A
x
y
-1
0
1
A
x
y
1
0
2
-2
-1
B
x
y
1
0
2
-2
-1
B
x
y
1
2
-2
-1
0
C
x
y
1
2
-2
-1
0
C
x
y
1
-2
-1
0
2
D
x
y
1
-2
-1
0
2
D
7．已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．已知false， 则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D． c＜a＜b
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若0＜a＜1，b＞c＞1，则(　　)
A.＞1 B.＞ C.ca－1＜ba－1 D.logca＜logba
10. 关于函数false有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）
A.false是偶函数 B. false在区间false单调递增
C. false在false有四个零点 D. false的最大值为2
11.已知函数f(x)= + (n为正整数)，则下列判断正确的是 ( )
A.函数f(x)始终为奇函数
B.当n为偶数时，函数f(x)的最小值为4
C.当n为奇数时，函数f(x)的极小值为4
D.当n=1时，函数y= f(x)的图象关于直线y=2x对称
12.已知m∈N*,若对任意的x∈[1, 2], x+≤4恒成立,则实数m的值可以为 (　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填写在题中的横线上。
13．函数的单调递增区间是____________________
14．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x-1）f（x2-1）＜f（x+1）的解集为_________
15．已知平面向量false＝(1,2)，false＝(4,2)，false＝false＋mfalse(m∈R)，且false与false的夹角等于false与false的夹角，则m＝________.
16．已知false分别为false三个内角false的对边，a=1，且false则false面积的最大值为____________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)
17．设函数，其中．
（1）当m=0时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．
18. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知b＋c＝2acosB．
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
right019.如图，在四棱锥中，PAfalse底面ABCD，ADfalseAB，ABfalseCD,AD=DC=AP=2,AB=1.点为棱的中点。
（1）证明：PDfalse面ABE；
（2）若为棱上一点，满足BFfalseAC，求二面角的余弦值。
20.2020年9月3日，工业和信息化部消费品工业司发布2020年1－7月全国家用电冰箱产量4691.3万台，同比下降2.0%；房间空气调节器产量12353.0万台，同比下降14.0%；家用洗衣机产量3984.9万台，同比下降2.6%。为此，一公司拟定在2020年双11淘宝购物节期间举行房间空气调节器的促销活动，经测算该产品的年销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足(其中,a为正常数).已知2020年生产该产品还需投入成本100+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.
（Ⅰ）试将2020年该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）问：2020年该公司促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
21. 已知椭圆：过点，右焦点是抛物线的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知动直线l过右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由．
22.已知函数，函数的图象在处的切线与直线平行.
（1）求实数false的值；
若函数false存在单调递减区间，求实数false的取值范围；
（3）设false是函数false的两个极值点，且false，试求false的最小值.
2020-2021学年度第一学期高三学情检测试卷
数学参考答案
1-5 DBBDA 6-8 DC 9.AD 10.BCD 11. BC 12. ABC
13. （2,5） 14. 15.m= 16．
17．解：（Ⅰ）当m=0时，f(x)= -x2+3.
此时，则.
由，解得.
由; ;
∴在，上单调递减，在上单调递增.
所以有极小值，有极大值.
（Ⅱ）由，得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.
对函数求导，得.
由，解得，.
由; 由.
∴在，上单调递减，在上单调递增.
又因为，，，，
所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.
∴当或时，函数在区间上有两个零点.
18.
（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B=A-B，
∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，
∴bcsinA=，
∴2bcsinA=a2，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B，
∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°，
∴A=90°或A=45°．

19．(1)证明见解析.(2) .
详解：依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，
可得
由为棱的中点，得
（1）向量
故,又ABfalse面PAD.所以ABfalse面PD。故PDfalse面ABE
（2）
由点在棱上，设
故
由，得
因此，
即
设为平面的法向量，则，即
38709600不妨令，可得为平面的一个法向量
取平面的法向量，则
所以二面角的余弦值为
20.
（Ⅰ）由题意，得y=(4+.
∵,将其代入上式并化简，得（）.
此即为所求产品的利润y关于促销费用x的函数关系式.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当且仅当，即x=10时，上式取等号.
当a时, 促销费用需投入10万元，厂家的利润最大；
当0 ∴函数在上单调递增，
∴当时,函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大.
综上,当a时, 促销费用投入10万元，厂家的利润最大；
当a<10时, 促销费用投入a万元，厂家的利润最大.
21.
【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）因为椭圆过点，所以．
又抛物线的焦点为，所以，所以，
解得（舍去）或．
所以椭圆的方程为．
（2）假设在轴上存在定点，使得，
①当直线l的斜率不存在时，则，，，，由，解得或；
②当直线l的斜率为时，则，，，，由，解得或．
由①②可得，即点的坐标为．
下面证明当时，恒成立，当直线l的斜率不存在或斜率为时，由①②知结论成立．
当直线斜率存在或且不为时，设其方程为，，，
由，得，
直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，
且，．
，
所以
．
综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立．
22.
解：（Ⅰ）∵，∴.
∵切线与直线平行，
∴，∴.
（Ⅱ）易得()，
∴ ().
由题意，知函数存在单调递减区间,等价于在上有解，
∵，则故可设.
而，所以，要使在上有解，
则只须， 即，
故所求实数b的取值范围是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
令，得.
∵()是函数的两个极值点，
∴()是方程的两个根，
∴，.
∴



令，∵，∴，
且.
∵，∴，
∴

化简整理，得,解得或.
而，∴.
又，∴函数在单调递减，
∴.
故的最小值为.