北师大版数学八年级上册4.2 一次函数与正比例函数知识精讲与课后练习（Word版 含解析）

4.2一次函数与正比例函数
讲解与例题
一、知识精加工
1．一次函数的定义
若两个变量x，y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量)．
谈重点
一次函数的条件
函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x，y的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式．
【例1】
下列函数中，是一次函数的是(　　)．
A．y＝7x2
B．y＝x－9
C．y＝
D．y＝
解析：
A
×
x的次数是2，不是1，所以它不是一次函数．
B
√
符合一次函数的一般形式．
C
×
含有自变量x的代数式不是整式，所以不是一次函数．
D
×
答案：B
2．正比例函数的定义
对于一次函数y＝kx＋b，当b＝0，即y＝kx(k为常数，且k≠0)时，我们称y是x的正比例函数．
辨误区
一次函数与正比例函数的关系
需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b＝0，且k≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．
【例2】
下列函数中，是正比例函数的是(　　)．
A．y＝－2x
B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x2
D．y＝－
解析：
A
√
符合正比例函数的一般形式．
B
×
b＝1≠0，所以它不是正比例函数．
C
×
x的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数.
D
×
含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.
答案：A
辨误区
正比例函数的判断
要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b(k≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx(k≠0)的形式．
3．根据条件列一次函数关系式
列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．
点技巧
如何列函数关系式
列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．
【例3】
甲、乙两地相距30
km，某人从甲地以每小时4
km的速度走了t
h到达丙地，并继续向乙地走．
(1)试分别确定甲、丙两地距离s1(km)及丙、乙两地距离s2(km)与时间t(h)之间的函数关系式．
(2)它们是什么函数．
分析：路程＝速度×时间，s2＝30－s1.
解：(1)s1＝4t，s2＝30－4t.
(2)两个函数都是一次函数，而s1＝4t还是正比例函数．
点评：此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题．
4．一次函数与正比例函数的联系与区别
若两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．
区别：
①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．
联系：
①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．
【例4－1】
在下列函数中，x是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1)y＝3x；(2)y＝；(3)y＝－3x＋1；(4)y＝x2.
分析：这类判断题，应严格按照有关函数的定义，看函数是不是可以表示为规定的形式．
解：一次函数是(1)y＝3x和(3)y＝－3x＋1.其中(1)y＝3x还是正比例函数，(2)、(4)既不是一次函数，也不是正比例函数．
【例4－2】
已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式．
分析：设正比例函数解析式为y＝kx(k≠0)，要求出待定系数k，必须有x与y的一组对应值，所以关键是要将已知条件转化为具体的数值．因为当x＝0时，y＝0，所以我们可以根据题意，给出一对特殊值：当x＝1时，y＝－2.这就是我们需要的等量关系．
解：设正比例函数解析式为y＝kx(k≠0)，
根据题意，当x＝1时，y＝－2.
代入函数解析式，得－2＝k.
故所求函数解析式为y＝－2x.
5．用一次函数解决实际问题
函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．
辨误区
写解析式，定自变量的范围
通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．
【例5】
一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9
L，行驶了1
h后发现已耗油1.5
L.
(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；
(2)如果摩托车以60
km/h的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3
L时，老王行驶了多少千米？
分析：根据油箱中原有油9
L,1
h耗油1.5
L，则t
h耗油1.5t
L，得到行驶t
h后油箱中剩余油量为(9－1.5t)L，由此可得出函数关系式．
解：(1)Q＝9－1.5t，
由9－1.5t＝0，得到t＝6，
故t的取值范围为0≤t≤6.
(2)由3＝9－1.5t，得t＝4.
于是s＝vt＝60×4＝240(km)．
故老王行驶了240
km.
课后再巩固
1.已知函数y=（k-1）为正比例函数，则（
）
A.k≠±1
B.k=±1
C.k=-1
D.k=1
2.若y=x+2-b是正比例函数，则b的值是（）
A.0
B.-2
C.2
D.-0.5
3.
P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=-x图像上的两点，下列判断中，正确的是（）
A.y1＞y2
B.y1＜y2
C.当x1＜x2时，y1＜y2
D.当x1＜x2时，y1＞y2
4.已知在正比例函数y=（a-1）x的图像中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是（）
A.a＜1
B.a＞1
C.a≥1
D.a≤1
5.若正比例函数的图象经过点（-1，2），则这个图象必经过点（）
A.（1，2）
B.（-1，-2）
C.（-2，-1）
D.（1，-2）
6.若点A（-2，m）在正比例函数y=-
x的图象上，则m的值是（）
A.
B.
C.1
D.-1
7.对于函数y=-k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是（）
A.是一条直线
B.过点（）
C.经过一、三象限或二、四象限
D.y随着x增大而减小
二、填空题
1.直线y=
x经过第________象限，经过点（1，________），y随x增大而________；直线y=-（a2+1）x经过第________象限，y随x增大而________.
三、解答题
1.已知正比例函数y=(2m+4)x，求：
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上？
2.已知4y+3m与2x-5n成正比例，证明：y是x的一次函数.
3.已知点（，1）在函数y=（3m-1）x的图象上.
（1）求m的值；
（2）求这个函数的解析式.
4.已知y-3与2x-1成正比例，且当x=1时，y=6.
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）如果y的取值范围为0≤y≤5，求x的取值范围；
（3）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数的图象上，且y1＞y2，试判断x1，x2的大小关系.
5.（一题多法）已知点（2，-4）在正比例函数y=kx的图象上。
（1）求k的值；
（2）若点（-1，m）在函数y=kx的图象上，试求出m的值；
（3）若A（，y1），B（-2，y2），C（1，y3）都在此函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小。
参考答案
1.
C
解析
有正比例函数定义，得k2=1且k-1≠0，所以k=-1.
2.
C
解析
正比例函数的定义，得2-b=0，解得b=2.
3.
D
解析
解答此题的方法有两种，一是根据正比例函数的性质，因为在y=-x中，k=-<0，所以y随x的增大而减小，x越小y越大，所以选D；二是利用数形结合思想，根据函数解析式画出草图，观察图象解答.
4.
A
解析
在正比例函数y=kx（k≠0）中，当k<0时，y随x的增大而减小，所以a-1<0，所以a<1，故选A.
5.
D
解析
本题运用验证法解答，先用待定系数法求出正比例函数的解析式，然后把A、B、C、D选项代入验证.
6.
C
解析
因为点A（-2，m）在正比例函数y=-x的图象上，所以m=-×（-2）=1，故选C.
7.
C
解析
∵k≠0，∴k2>0，∴-k2<0，
∴函数y=-k2x（k是常数，k≠0）符合正比例函数的形式.
∴此函数图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，
∴C错误，故选C.
二、填空题
1.一、三
增大
二、四
减小
解析
因为y=x中k=，大于0，所以图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当x=1时，y=×1=；y=-（a2+1）x，不论a取何值，a2+1>0，-（a2+1）<0，所以图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.
三、解答题
1.解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，
∴2m+4>0，∴m>-2．
(2)∵y随x的增大而减小，
∴2m+4<0，∴m<-2．
(3)依题意得(2m+4)×1=3，解得．
12.证明：由题意，设4y+3m=k(2x-5n)(k≠0)，
∴．
∵k是不为0的常数．∴，为常数，且，
∴y是x的一次函数.
3.解：（1）∵点（，1）在函数y=（3m-1）x的图象上，
∴（3m-1）×=1，∴m=1.
（2）∵m=1，∴y=（3×1-1）x=2x.
即函数解析式为y=2x.
4.
解：（1）由题意可设y-3=k（2x-1），因为当x=1时，y=6，所以6-3=k（2-1）.解得k=3，所以y-3=3（2x-1），即y=6x.
（2）当y=0时，0=6x，解得x=0；当y=5时，5=6x，解得x=.所以x的取值范围为0≤x≤.
（3）由（1）知该函数关系式为y=6x，因为k=6>0，所以y随x的增大而增大.又因为y1>y2，所以x1>x2.
5.
思路建立
（1）代入点（2，-4）的坐标可以求出k的值；（2）把点（-1，m）代入（1）中求出的解析式，就能求出m的值；（3）将A，B，C三点坐标分别代入解析式求出y1，y2，y3的值，然后比较大小，或利用函数的性质比较大小.
解：（1）把点（2，-4）的坐标代入正比例函数y=kx得-4=2k，解得k=-2.
（2）把点（-1，m）的坐标代入y=-2x得m=2.
（3）方法1：因为函数y=-2x中，y随x的增大而减小，-2<<1，所以y3方法2：y1=（-2）×=-1，y2=（-2）×（-2）=4，y3=（-2）×1=-2，所以y31