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咸阳市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测
高二数学（理科）试题
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名，准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
2.
若，则正整数x的值为（
）
A.
2或8
B.
2或6
C.
6
D.
10
【答案】A
【解析】
【分析】
利用组合数的性质即可求解.
【详解】,
或，
或.
故选：A.
【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题.
3.
变量与回归模型中，它们对应的相关系数的值如下，其中拟合效果最好的模型是（
）
模型
1
2
3
4
0.48
0.15
0.96
0.30
A.
模型1
B.
模型2
C.
模型3
D.
模型4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相关系数的性质，的绝对值最大，则其拟合效果最好，进行判断即可．
【详解】线性回归分析中，相关系数为r，
越接近于1，相关程度越大；
越小，相关程度越小，
∵模型3的相关系数最大，∴模拟效果最好，
故选C．
【点睛】本题主要考查线性回归系数的性质，在线性回归分析中，相关系数为，越接近于1，相关程度越大；越小，相关程度越小．
4.
设是可导函数，且，则（
）
A.
2
B.
-1
C.
1
D.
-2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数的定义求解．
【详解】．
故选：A.
【点睛】本题考查导数的定义，，注意极限中形式的一致性．
5.
已知随机变量服从正态分布，，（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.
【详解】，所以，.
故选：B.
【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.
6.
下列求导运算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数的运算法则求解验证.
【详解】A.
，故错误；
B.
，故正确；
C.
，故错误；
D.
，故错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查导数的运算法则的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7.
的展开式中的系数为（
）
A.
10
B.
C.
5
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二项式定理展开式的通项公式可求的系数.
【详解】的展开式的通项公式为，
令可得，所以的系数为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用二项式定理求解特定项的系数一般是利用通项公式求解，侧重考查数学运算的核心素养.
8.
抛出4粒骰子（每粒骰子的六个面分别有1~6共六个不同的点数），恰有3粒向上的点数不小于5的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出抛掷一粒骰子点数不小于5的概率，再根据二项分布的概率计算公式即可求得.
【详解】抛掷一粒骰子点数不小于5的概率为，
故可得抛掷4粒骰子，恰有3粒点数不小于5的概率为.
故选：C.
【点睛】本题考查二项分布的概率计算，属基础题.
9.
如图是函数的导函数的图像，则下列说法一定正确的是（
）
A.
是函数的极小值点
B.
当或时，函数的值为0
C.
函数的图像关于点对称
D.
函数在上是增函数
【答案】D
【解析】
【分析】
通过导函数的图象，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性以及函数的极值即可得到选项．
【详解】由题意可知，，
所以函数是减函数，
不是函数的极小值点；
当或时，函数的值为0不正确；
当，时，，
所以函数是增函数，故选项C不正确，正确，
故选：．
【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性以及函数的极值的关系，是基本知识的考查．
10.
如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(
)
A.
24
B.
18
C.
12
D.
9
【答案】B
【解析】
【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．
故选B．
【考点】计数原理、组合
【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．
11.
已知在单调递减，则取值范围为（
）
A.
B.
（-33）
C.
D.
(-5,5)
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，由函数在单调递减，则在上恒成立，即可求出的取值范围.
【详解】解：，
，
要使函数在单调递减，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
则：，即：，
解得：
则的取值范围为：.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数范围，通过导数解决函数恒成立问题.
12.
方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（
）
A.
甲
B.
丙
C.
戊
D.
庚
【答案】D
【解析】
【分析】
对乙丙值班的时间分三种情况讨论得解.
【详解】假设乙丙分别在星期三和星期五值班，则星期六甲和庚值班，不符合题意；
假设乙丙分别在星期二和星期六值班，则甲在星期日，庚在星期五值班，戊在星期一值班，丁在星期三值班；
假设乙丙分别在星期一和星期日值班，显然不符合题意.
故选：D
【点睛】本题主要考查分析推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析能力.
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
若复数，则共轭复数的虚部为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】解：，
，
则共轭复数的虚部为．
故答案为：．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．
14.
曲线在点处的切线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出，得到的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程．
详解】，
，
则，
即曲线在点处的切线斜率，
则对应的切线方程为，
即，故答案为.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在
处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
15.
已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共________种．
【答案】20
【解析】
【分析】
分乙使用现金和银联卡两种方法，分类求结账方法的组合数.
【详解】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有种方法，
当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，
综上，共有种方法.
故答案为：20.
【点睛】本题考查分类和分步计数原理，意在考查分析问题和解决问问他的能力，属于基础题型.
16.
已知函数的定义域为R，为的导函数，若对任意，都有成立，且，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性即可求解.
【详解】设，
则，
又，，即
所以，函数在R上单调递减，
又，
不等式，即，
所以，所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】本题考查了构造函数，判断函数的单调性解不等式，属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.
已知复数，i为虚数单位，．
（1）若，求a的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据模的计算公式可得，解方程即可得答案；
（2）根据复数的几何意义可得，解不等式即可得答案；
【详解】（1），解得或．
（2）在复平面内对应的点位于第四象限，
，得．
【点睛】本题考查复数模的计算、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
18.
现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈类节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
（Ⅰ）第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率；
（Ⅱ）在第1次抽到舞蹈类节目的条件下，第2次抽到舞蹈类节目的概率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将第一次抽到舞蹈类节目的概率和第二次抽到舞蹈类节目的概率相乘可得；
（Ⅱ）根据条件概率的性质计算即可.
【详解】（Ⅰ）由于节目总数是6个，其中4个舞蹈类节目，2个语言类节目，
故第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率是；
（Ⅱ）在第1次抽到舞蹈类节目的条件下，第2次抽到舞蹈类节目的概率是．
【点睛】本题考查不放回抽取的概率计算，属于基础题.
19.
已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；
（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.
【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，
，，故函数的最小值为.
【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.
20.
（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：
（1）共有多少种方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
【答案】（1）256（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案；
（2）由题意每个盒子不空，故每个盒子各一个，可得答案；
（3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案.
【详解】解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，
（2）每个盒子不空，共有不同的方法，
（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法．
【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解.
21.
新型冠状病毒属于属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现．基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为1-14天，大多数为3-7天．为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查．某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查，结果统计如下表：
发热且咳嗽
发热不咳嗽
咳嗽不发热
不发热也不咳嗽
确诊患者
200
150
80
30
确诊未患者
150
150
120
120
（Ⅰ）填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，以为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关？
发热
不发热
合计
确诊患者
确诊未患者
合计
（Ⅱ）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳性者）．根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天．已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离11天未有临床症状，若该人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）的分布列以及数学期望．
附：，其中．
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（Ⅰ）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关．（Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）填写列联表，计算值，再与临界值表进行比较，即可得出结论；
（Ⅱ）确定随机变量的所有取值，通过人员居家隔离第天出现临床症状的概率为，，计算概率得到分布列，利用数学期望的计算公式，即可得解.
【详解】（Ⅰ）完成的列联表如下：
发热
不发热
合计
确诊患者
350
110
460
确诊未患者
300
240
540
合计
650
350
1000
，
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，
认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关；
（Ⅱ）由题可知，随机变量的可能取值为12，13，14，
，
，
，
的分布列为：
12
13
14
P
数学期望.
【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，属于中档题.对于求离散型随机变量的分布列问题，首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.
22.
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求证；
（Ⅱ）若有两个不同的零点，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）原不等式可化为，构造函数，利用导数求其最大值即可求证；
（Ⅱ）有两个不同的零点等价于方程有两个实数根，根据导数讨论的取值，结合图象可求解.
【详解】（Ⅰ）当时，，定义域为，
令，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，取得最大值，，
故；
（Ⅱ）有两个不同的零点，即方程有两个实数根，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，取得最大值，，
当时，，当时，，
方程有2个实数根，
，
，，得，
由，可得，
结合的图像可得且，
故a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了利用函数的导数证明不等式，函数的极值，零点问题，分类讨论的思想，属于难题.____________________________________________________________________________________________
咸阳市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测
高二数学（理科）试题
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名，准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.
（
）
A.
B.
C.
D.
2.
若，则正整数x的值为（
）
A.
2或8
B.
2或6
C.
6
D.
10
3.
变量与的回归模型中，它们对应的相关系数的值如下，其中拟合效果最好的模型是（
）
模型
1
2
3
4
0.48
0.15
0.96
0.30
A.
模型1
B.
模型2
C.
模型3
D.
模型4
4.
设是可导函数，且，则（
）
A
2
B.
-1
C.
1
D.
-2
5.
已知随机变量服从正态分布，，（
）
A.
B.
C.
D.
6.
下列求导运算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
7.
展开式中的系数为（
）
A.
10
B.
C.
5
D.
8.
抛出4粒骰子（每粒骰子的六个面分别有1~6共六个不同的点数），恰有3粒向上的点数不小于5的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
9.
如图是函数的导函数的图像，则下列说法一定正确的是（
）
A.
是函数的极小值点
B.
当或时，函数的值为0
C.
函数的图像关于点对称
D.
函数在上是增函数
10.
如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(
)
A.
24
B.
18
C.
12
D.
9
11.
已知在单调递减，则的取值范围为（
）
A.
B.
（-3,3）
C.
D.
(-5,5)
12.
方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（
）
A.
甲
B.
丙
C.
戊
D.
庚
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
若复数，则共轭复数的虚部为________．
14.
曲线在点处切线方程是______．
15.
已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共________种．
16.
已知函数的定义域为R，为的导函数，若对任意，都有成立，且，则不等式的解集为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.
已知复数，i为虚数单位，．
（1）若，求a的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求a的取值范围．
18.
现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈类节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
（Ⅰ）第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率；
（Ⅱ）在第1次抽到舞蹈类节目的条件下，第2次抽到舞蹈类节目的概率．
19.
已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
20.
（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：
（1）共有多少种方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
21.
新型冠状病毒属于属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现．基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为1-14天，大多数为3-7天．为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查．某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查，结果统计如下表：
发热且咳嗽
发热不咳嗽
咳嗽不发热
不发热也不咳嗽
确诊患者
200
150
80
30
确诊未患者
150
150
120
120
（Ⅰ）填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，以为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关？
发热
不发热
合计
确诊患者
确诊未患者
合计
（Ⅱ）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳性者）．根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天．已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离11天未有临床症状，若该人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）的分布列以及数学期望．
附：，其中．
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求证；
（Ⅱ）若有两个不同的零点，求a的取值范围．
