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咸阳市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测高一数学试题
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题
1.
为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中随机抽取40名高一学生进行测量，在这个问题中，样本指的是（
）
A.
240名高一学生的身高
B.
抽取的40名高一学生的身高
C.
40名高一学生
D.
每名高一学生的身高
【答案】B
【解析】
【分析】
找出考查的对象是某校高一学生的身高,得到样本是抽取的40名高一学生的身高.
【详解】总体是240名高一学生的身高情况，则个体是每个学生的身高情况，
故样本是40名学生的身高情况.
故选：B.
【点睛】本题考查的抽样相关概念的理解，注意区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念，属于基础题.
2.
已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用弧长公式即可求解.
【详解】扇形的圆心角为，半径为，
所以扇形弧长为.
故选：A
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，注意在运用公式时，圆心角需用弧度制表示，属于基础题.
3.
以下现象是随机现象的是
A.
标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B.
长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
C.
走到十字路口，遇到红灯
D.
三角形内角和为180°
【答案】C
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】A.
标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件；
B.
长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；
C.
走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；
D.
三角形内角和为180°，是必然事件.
故选C
【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4.
函数是（
）
A.
最小正周期为的偶函数
B.
最小正周期为的偶函数
C.
最小正周期为的奇函数
D.
最小正周期为的奇函数
【答案】A
【解析】
【分析】
运用公式，直接求出周期，判断之间的关系，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
【详解】，，所以函数最小正周期为，是偶函数，因此本题选A．
【点睛】本题考查了余弦型函数的最小正周期以及奇偶性，利用函数奇偶性的定义进行判断是解题的关键．
5.
将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用函数的图象平移变换规律，得出结论．
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式是，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的图象平移变换规律，属于基础题．
6.
已知向量，，若，则实数的值为（
）
A.
B.
1
C.
D.
2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量坐标运算法则，求出，再由，能求出实数的值．
【详解】向量，，
，
，
，
解得实数．
故选：．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.
书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（
）
A.
与是互斥事件
B.
与是互斥事件
C.
与是对立事件
D.
，，两两互斥
【答案】B
【解析】
【分析】
根据互斥事件、对立事件的概念，对三个事件进行分析，由此确定正确选项.
【详解】由于事件包含于事件，与是既不是对立也不是互斥事件，与是互斥事件，与是互斥事件.所以A,C,D三个选项错误.
故选：B
【点睛】本小题主要考查对立事件和互斥事件的辨析，属于基础题.
8.
函数的图象（
）
A.
关于原点对称
B.
关于点对称
C.
关于直线对称
D.
关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
令，解得，得到答案.
【详解】函数中，令，解得；
令得，所以的图象关于原点对称，D正确.
代入验证知错误.
故选：D
【点睛】本题考查了正切函数的对称中心，意在考查学生的计算能力.
9.
若在是减函数，则的最大值是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.
详解：因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，选A.
点睛：函数的性质：
(1).
(2)周期
(3)由
求对称轴，
(4)由求增区间；
由求减区间.
10.
若，则（
）
A.
B.
C.
1
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将所求的表达式转化为,代入已知条件可求选项.
【详解】∵,
∴,
故选:C.
【点睛】本题考查正弦的二倍角公式和同角三角函数的平方关系,关键在于运用平方关系中的”1”,将原式化为分式的齐次式,属于基础题.
11.
如图，是民航部门统计的某年春运期间个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（
）
A.
深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.
B.
深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.
C.
平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.
D.
平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．
【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．
故选D．
【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．
12.
已知函数（，）的最小正周期为，且其图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【详解】函数，的最小正周期为，
，．
的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
，可得，故．
令，，求得，
故函数的图象的对称轴为，．
故令，可得函数的图象的一条对称轴为，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
二、填空题
13.
某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________
件.
【答案】18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．
14.
已知两个单位向量，的夹角为，.若，则实数______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据条件可求出向量的数量积，列出方程，然后解出即可．
【详解】两个单位向量，的夹角为，
，
又，，
，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
15.
已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则______.
【答案】0.7
【解析】
【分析】
利用对立事件概率计算公式求出（B）（C），再由互斥事件概率加法公式能求出．
【详解】随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），
（B）（C），
（A）（B）．
故答案为：0.7．
【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.
如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则的值为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】
已知两组数据的中位数相等，可以求出；甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，根据平均数的定义可列式求出.
【详解】由题意易知甲组数据的中位数为65，由于两组数据的中位数相等得；甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，所以可得,
,.
所以本题答案为8.
【点睛】本题考查了根据茎叶图求平均数，根据平均数、中位数求原始数据，考查了计算能力，属基础题.
三、解答题
17.
（Ⅰ）已知，求的值；
（Ⅱ）已知，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用诱导公式和切化弦公式化简求值；
（Ⅱ）观察角度间的联系，用诱导公式化简求值.
【详解】（Ⅰ），
则.
（Ⅱ），
.
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式，诱导公式，特别注意观察角度之间的联系，属于基础题.
18.
某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按30天计算）的数据统计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.
【答案】（Ⅰ）0.02；（Ⅱ）10800元.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积和为1能求出．
（Ⅱ）根据频率分布直方图，日销售量不低于25件的天数为，一个月可获得的奖励为900元，由此可以估计一年内获得的礼金数．
【详解】（Ⅰ）由题意可得．
（Ⅱ）根据频率分布直方图知，日销售量不低于25件的天数为：
（天），
一个月可获得的礼金数为（元），
依此可以估计该微商一年内获得的礼金数为元.
【点睛】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查样本估计总体以及运算求解能力、数形结合思想的应用，是基础题．
19.
已知向量,.
（1）若向量，求实数的值；
（2）若向量满足，求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出向量和向量的坐标，根据向量共线的坐标表示求的值.
（2）由向量相等求出的值，根据求值即可.
【详解】（1）,，
，.
，，
解得或.
（2），
，
即，解得.
.
【点睛】本题考查向量共线定理的坐标表示和向量相等，用到方程的思想，属于基础题.
20.
已知函数，最小正周期为，且点是该函数图象上的一个最高点.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在区间上恰有唯一实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
【解析】
分析】
(1)先根据最高点求,再根据最小正周期求,再代入最高点求即可.
(2)由题意在区间上恰有唯一实根.化简得,再数形结合分析即可.
【详解】(1)因为点是该函数图像上的一个最高点,故.
又最小正周期为故.故.代入最高点可得,故,因为故.
故
(2)由题在区间上恰有唯一实根,
即在区间上恰有唯一实根.
又,且单调递减,在上单调递增,
且.又在区间上恰有唯一实根
故或.即.
【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数解析式的方法,同时也考查了根据三角函数图像求解零点个数的问题,属于中等题型.
21.
某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩（分）
80
85
71
92
87
乙的成绩（分）
90
76
75
92
82
（Ⅰ）已知甲、乙两名学生这5次数学考试成绩的平均分都为83分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（Ⅱ）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）乙参加，理由见解析；（Ⅱ）方案二，理由见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出，甲成绩的方差，乙成绩的方差，从而选派乙参加数学竞赛较合适．
（Ⅱ）5道备选题中学生会的3道分别记为，，，不会的2道分别记为，，列举法求出方案一学生可参加复赛的概率．方案二学生可参加复赛的概率．从而推荐的选手选择方案二答题方案进入复赛的可能性更大．
【详解】（Ⅰ）选派乙参加数学竞赛较合适．
理由如下：
由题知
，
甲成绩的方差，
乙成绩的方差，
由，，可知甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，
故选派乙参加数学竞赛较合适．
（Ⅱ）5道备选题中学生会的3道分别记为，，，不会的2道分别记为，，
方案一：学生从5道备选题中任意抽出1道的结果有：，，，，，共5
种，
抽中会的备选题的结果有，，，共3种，
此方案学生可参加复赛的概率．
方案二：学生从5道备选题中任意抽出3道的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种，
抽中至少2道会的备选题的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7种，
此方案学生可参加复赛的概率．
，推荐的选手选择方案二答题方案进入复赛的可能性更大．
【点睛】本题考查概率求法及应用，考查平均数、方差、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22.
某地级市共有中学生，其中有学生在年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助元、元、元.经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加，一般困难的学生中有会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生有转为一般困难学生，特别困难的学生中有转为很困难学生.现统计了该地级市年到年共年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份取时代表年，取时代表年，……依此类推，且与（单位：万元）近似满足关系式.（年至年该市中学生人数大致保持不变）
（1）估计该市年人均可支配年收入为多少万元？
（2）试问该市年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少万元？
附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】(1)
;(2)1624万元.
【解析】
分析：（1）根据表中数据，求出，代入公式求值，从而得到回归直线方程，代入即可；
（2）通过由题意知年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共人.一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有人、人、人，按照增长比例关系求解2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生，即可得财政预算.
详解：（1）因为，所以.
所以，
，所以.
当时，年人均可支配年收入（万元）.
（2）由题意知年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共人.
一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有人、人、人，年人均可支配收入比年增长.
所以年该市特别困难的中学生有人，
很困难的学生有人，
一般困难的学生有人.
所以年的“专项教育基金”的财政预算大约为（万元）.
点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用.____________________________________________________________________________________________
咸阳市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测高一数学试题
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题
1.
为了了解全校240名高一学生身高情况，从中随机抽取40名高一学生进行测量，在这个问题中，样本指的是（
）
A.
240名高一学生的身高
B.
抽取的40名高一学生的身高
C.
40名高一学生
D.
每名高一学生的身高
2.
已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
以下现象是随机现象的是
A.
标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B.
长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
C.
走到十字路口，遇到红灯
D.
三角形内角和为180°
4.
函数是（
）
A.
最小正周期为的偶函数
B.
最小正周期为的偶函数
C.
最小正周期为的奇函数
D.
最小正周期为的奇函数
5.
将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（
）
A.
B.
C.
D.
6.
已知向量，，若，则实数的值为（
）
A.
B.
1
C.
D.
2
7.
书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（
）
A.
与是互斥事件
B.
与是互斥事件
C.
与是对立事件
D.
，，两两互斥
8.
函数的图象（
）
A.
关于原点对称
B.
关于点对称
C.
关于直线对称
D.
关于点对称
9.
若在是减函数，则的最大值是
A
B.
C.
D.
10.
若，则（
）
A.
B.
C.
1
D.
11.
如图，是民航部门统计的某年春运期间个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（
）
A.
深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.
B.
深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.
C.
平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.
D.
平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.
12.
已知函数（，）的最小正周期为，且其图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（
）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
二、填空题
13.
某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________
件.
14.
已知两个单位向量，的夹角为，.若，则实数______.
15.
已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则______.
16.
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则的值为_______．
三、解答题
17.
（Ⅰ）已知，求的值；
（Ⅱ）已知，求的值.
18.
某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按30天计算）的数据统计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.
19.
已知向量,.
（1）若向量，求实数值；
（2）若向量满足，求的值.
20.
已知函数，最小正周期为，且点是该函数图象上的一个最高点.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在区间上恰有唯一实根，求实数的取值范围.
21.
某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩（分）
80
85
71
92
87
乙成绩（分）
90
76
75
92
82
（Ⅰ）已知甲、乙两名学生这5次数学考试成绩的平均分都为83分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（Ⅱ）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
22.
某地级市共有中学生，其中有学生在年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助元、元、元.经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加，一般困难的学生中有会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生有转为一般困难学生，特别困难的学生中有转为很困难学生.现统计了该地级市年到年共年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份取时代表年，取时代表年，……依此类推，且与（单位：万元）近似满足关系式.（年至年该市中学生人数大致保持不变）
（1）估计该市年人均可支配年收入为多少万元？
（2）试问该市年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少万元？
附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
