人教A版 必修1 3.2 函数的基本性质 同步练习卷 （Word版含解析版）

3.2 函数的基本性质 同步练习卷
一、选择题
1．下列命题中真命题的个数为（　　）
①定义在（a，b）上的函数f（x），如果?x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上单调递增；
②如果函数f（x）在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f（x）在区间I1和I2上就一定是减函数；
③?x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当＜0时，f（x）在（a，b）上单调递减；
④?x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当（x1﹣x2）?[f（x1）﹣f（x2）]＞0时，f（x）在（a，b）上单调递增；
⑤?x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，f（x1）≥f（x2）成立，则函数f（x）在（a，b）上不是单调递增的．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．记函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M、m，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．函数f（x）＝的图象关于（　　）
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
4．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　）
A．y＝x+f（x） B．y＝xf（x） C．y＝x2+f（x） D．y＝x2f（x）
6．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（　　）
A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5
7．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，?x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（　　）
A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2） B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
8．已知函数y＝f（x）在R上是减函数，则y＝f（|x﹣3|）的单调减区间是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．[3，+∞） C．[﹣3，+∞） D．（﹣∞，3]
9．若函数y＝f（x）的值域是，则函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
10．函数f（x）＝ax+（2﹣x），其中a＞0，记f（x）在区间[0，2]上的最小值为g（a），则函数g（a）的最大值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
二、填空题
11．定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，且f（﹣3）＝﹣1，f（1）＝2，则f（x）在[﹣3，1]上的最大值是　 　．
12．函数f（x）＝（a＞b＞0）的单调递减区间为　 　．
13．已知函数f（x）在定义域[0，+∞）上单调递减，则f（）的递减区间为　 　．
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值．设f（x）＝min{x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为　 　．
三、解答题
15．画出反比例函数y＝的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
16．如图 （1）（2）分别为函数y1＝f（x）和y2＝g（x）的图象，试分别写出函数y1＝f（x）和y2＝g（x）的单调增区间．
17．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数f（x）＝，问函数f（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：令u＝3+2x﹣x2，则u＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值，所以当x＝1时f（x）有最小值，没有最大值．
（1）你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．
（2）试研究函数y＝的最值情况．
18．已知函数，证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．
19．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝（x+1）
（2）f（x）＝
（3）f（x）＝．
20．作出函数f（x）＝的图象，并指出函数的单调区间．
参考答案
一、选择题
1．下列命题中真命题的个数为（　　）
①定义在（a，b）上的函数f（x），如果?x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上单调递增；
②如果函数f（x）在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f（x）在区间I1和I2上就一定是减函数；
③?x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当＜0时，f（x）在（a，b）上单调递减；
④?x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当（x1﹣x2）?[f（x1）﹣f（x2）]＞0时，f（x）在（a，b）上单调递增；
⑤?x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，f（x1）≥f（x2）成立，则函数f（x）在（a，b）上不是单调递增的．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】举例y＝sinx，0＜x＜π，若＜，则sin＜sin，可判断①；由增函数、减函数的定义，可判断②③④；若函数f（x）在（a，b）上是单调递增，结合增函数的定义，可判断⑤．
解：对于①，比如y＝sinx，0＜x＜π，若＜，则sin＜sin，但y＝sinx在（4，π）内不单调，故①错误；
对于②，由单调递减和减函数的定义，可得f（x）在区间I1和I2上就一定是减函数，故②正确；
对于④，可得?x1，x2∈（a，b），当x6＜x2，都有f（x1）＜f（x2）时，f（x）在（a，b）上单调递增，故④正确；
这与?x1，x2∈（a，b），且x1＜x8，f（x1）≥f（x2）矛盾，故⑤正确．
故选：D．
2．记函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M、m，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用f（x）在[3，4]上为减函数，即可得出结论．
解：f（x）＝＝2（1+）＝2+，
∴f（x）在[3，4]上为减函数，
m＝f（8）＝2+＝4，
故选：D．
3．函数f（x）＝的图象关于（　　）
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．
解：因为，
所以3﹣x7≥0，且 x≠0，
故函数f（x）＝的定义域为，
又，
故选：B．
4．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）＝f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1＝﹣2a．
解：依题意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0，又 a﹣1＝﹣2a，∴a＝，
∴a+b＝．
故选：B．
5．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　）
A．y＝x+f（x） B．y＝xf（x） C．y＝x2+f（x） D．y＝x2f（x）
【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），进而依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
对于A，y＝x+f（x），设g（x）＝x+f（x），有g（﹣x）＝（﹣x）+f（﹣x）＝﹣[x+f（x）]＝﹣g（x），函数y＝x+f（x）为奇函数，
对于C，y＝x2﹣f（x），设g（x）＝x2﹣f（x），有g（﹣x）＝（﹣x）2﹣f（﹣x）＝x2+f（x），函数y＝x8﹣f（x）既不是奇函数也不是偶函数，
故选：AD．
6．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（　　）
A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5
【分析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果．
解：奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，
则若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，
故选：B．
7．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，?x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（　　）
A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2） B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
【分析】根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可．
解：∵?x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，
∴当x≥4时函数f（x）为减函数，
∴f（3）＜f（2）＜f（1），
故选：D．
8．已知函数y＝f（x）在R上是减函数，则y＝f（|x﹣3|）的单调减区间是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．[3，+∞） C．[﹣3，+∞） D．（﹣∞，3]
【分析】设t＝|x﹣3|，根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．
解：设t＝|x﹣3|，则当x≥3时，函数t＝|x﹣3|单调递增，
当x≤3时，函数t＝|x﹣3|单调递减，
∴根据复合函数单调性之间的关系可知，y＝f（|x﹣8|）的单调减区间[3，+∞），
故选：B．
9．若函数y＝f（x）的值域是，则函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先换元，转化成积定和的值域，利用基本不等式．
解：令t＝f（x），则，
则y＝t+≥＝3
所以y的最小值为2
故选：B．
10．函数f（x）＝ax+（2﹣x），其中a＞0，记f（x）在区间[0，2]上的最小值为g（a），则函数g（a）的最大值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【分析】分三种情况：a＞1；a＝1；0＜a＜1进行讨论，由一次函数单调性即可求得g（a），据g（a）特征可求其最大值．
解：f（x）＝ax+（2﹣x）＝（a﹣）x+，
（5）当a＞1时，a＞，f（x）是增函数，
（2）当a＝1时，f（x）＝7，∴g（a）＝2；
f（x）在[0，2]上的最小值为f（2）＝2a，∴g（a）＝2a，
因此g（a）最大值为2
故选：D．
二、填空题
11．定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，且f（﹣3）＝﹣1，f（1）＝2，则f（x）在[﹣3，1]上的最大值是　2　．
【分析】在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，函数f（x）在R上单调递增，即可得出．
解：∵在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，
∴函数f（x）在R上单调递增，
则f（x）在[﹣3，1]上的最大值是2．
故答案为：7．
12．函数f（x）＝（a＞b＞0）的单调递减区间为　（﹣∞，﹣b），（﹣b，+∞）　．
【分析】将f（x）分离常数，求出a﹣b＞0，判定函数的单调区间即可．
解：f（x）＝＝＝1+（a＞b＞0），
∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，
故答案为：（﹣∞，﹣b），（﹣b，+∞）．
13．已知函数f（x）在定义域[0，+∞）上单调递减，则f（）的递减区间为　[﹣1，0）　．
【分析】根据复合函数的单调性求出函数的递减区间即可．
解：由1﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤1，
设g（x）＝1﹣x2，g′（x）＝﹣2x，
即y＝递减，
∴则f（）在（0，1]递增，
即y＝递增，
∴则f（）在[﹣1，0）递减，
故答案为：[﹣1，0）．
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值．设f（x）＝min{x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为　6　．
【分析】先根据题目中的新定义把f（x）的解析式写出来，再作出函数图象数形结合即可得到两图象的交点的纵坐标即为 f（x） 的最大值．
解：根据min{a，b} 可得到 f（x） 为分段函数，画出图象易求最大值．
在同一平面直角坐标系内画出函数 y＝x+2 和 y＝10﹣x 的图象
根据min{x+2，10﹣x}（x?0）的含义可知
所以函数 f（x） 的图象为图中的实线部分，
此时 y＝6，故两图象的交点为 （4，4），
即 f（x） 的最大值为6．
故答案为：6．
三、解答题
15．画出反比例函数y＝的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
【分析】（1）容易得出函数的定义域I＝{x|x≠0}；
（2）讨论k，即可得出该函数的单调性，并根据单调性的定义进行证明即可．
解：k＞0时，的图象如下所示：
（2）k＞0时，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减；k＜0时，在（﹣∞，2）和（0，+∞）上单调递增，证明如下：
∵x1＜x2，
x1，x2∈（﹣∞，4），或x1，x2∈（0，+∞）时，x1x2＞2，
∴k＞0时，y1＞y2，在（﹣∞，0）和（8，+∞）上单调递减；k＜0时，y1＜y2，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增．
16．如图 （1）（2）分别为函数y1＝f（x）和y2＝g（x）的图象，试分别写出函数y1＝f（x）和y2＝g（x）的单调增区间．
【分析】直接由函数的图象写出两函数的单调增区间．
解：（1）函数y1＝f（x）的单调增区间为[1，4]，（4，6]；
（3）函数y2＝g（x）的单调增区间为[﹣1，0]，[5，2]．
17．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数f（x）＝，问函数f（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：令u＝3+2x﹣x2，则u＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值，所以当x＝1时f（x）有最小值，没有最大值．
（1）你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．
（2）试研究函数y＝的最值情况．
【分析】（1）上述解答不正确，函数f（x）既没有最小值，也没有最大值．
令u＝3+2x﹣x2，利用配方法求得u的范围，再由u＝3+2x﹣x2在函数f（x）的分母上，可得u≠0，求出的范围得答案；
（2）令t＝x2+x+2，利用配方法求得t的范围，取倒数得答案．
解：（1）上述解答不正确，函数f（x）既没有最小值，也没有最大值．
理由及正确解答如下：
又u＝3+2x﹣x2在函数f（x）的分母上，∴u≠0，
当u∈（﹣∞，0）时，g（u）∈（﹣∞，0），即f（x）∈（﹣∞，0）；
综上所述，f（x）∈（﹣∞，0）∪[，+∞）．
（2）令t＝，
∵t，∴g（t）＝∈（0，]，即f（x）∈（4，]，
∴函数y＝没有最小值，有最大值为．
18．已知函数，证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．
【分析】证法一：令0≤x1＜x2≤2，作差比较f（x1）与f（x2）的大小，进而根据函数单调性的定义可得：函数为增函数；
证法一：求导，根据当x∈[0，2]时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数为增函数；
进而可得函数的最值．
【解答】证法一：令0≤x1＜x2≤2，
则x1+1＞8，x2+1＞0，x1﹣x2＜0
∴f（x1）＜f（x2），
证法二：∵，
当x∈[0，2]时，f′（x）＞0恒成立，
故当x＝2时，函数取最大值﹣；
当x＝0时，函数取最小值﹣2；
19．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝（x+1）
（2）f（x）＝
（3）f（x）＝．
【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域为（﹣1，1]，不关于原点对称，由奇偶性的定义可得结论，
（2）根据题意，结合函数的解析式，分x＜0、x＞0和x＝0三种情况讨论f（x）与f（﹣x）的关系，可得结论，
（3）根据题意，先分析函数的定义域，进而可得f（﹣x）＝f（x），即可得函数为偶函数．
解：（1）对于f（x）＝（x+1），有≥0，解可得﹣1＜x≤1，
即函数的定义域为（﹣1，1]，不关于原点对称，则f（x）是非奇非偶函数，
x＜8时，﹣x＞0，有f（x）＝x2+2x﹣1，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）+1＝﹣x2﹣2x+1，有f（﹣x）＝﹣f（x），
但x＝0时，f（0）＝﹣8≠0，不满足f（﹣x）＝﹣f（x），
（3）f（x）＝，有＞0，解可得﹣2≤x≤2且x≠0，其定义域为[﹣3，0）∪（0，2]，
有f（﹣x）＝＝f（x），故f（x）为偶函数．
20．作出函数f（x）＝的图象，并指出函数的单调区间．
【分析】根据分段函数画出图象即可，并由图象得到函数的单调区间．
解：函数的图象如图所示：
由图象可知，函数f（x）在（﹣∞，1]和（1，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．