(共15张PPT)
实际问题与一元一次方程
—球赛积分表问题
你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？
新知引入
某次篮球联赛积分榜如下：
新知讲解
球赛积分表问题
二
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
问题1
你能从表格中了解到哪些信息？
每队胜场总积分＋负场总积分＝这个队的总积分
每队的胜场数＋负场数＝这个队比赛场次
每队胜场总积分＝胜1场得分×胜场数
……
新知讲解
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
由钢铁队得分可知负一场积1分．
新知讲解
问题2
你能从表格中看出负一场积多少分吗？
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
解：设胜一场积
x
分，
依题意，得
10x＋1×4＝24.
解得
x＝2.
经检验，x＝2符合题意.
所以胜一场积2分.
分析：设胜一场积
x
分，根据表中其他任何一行可以列方程求解，这里以第一行为例.
新知讲解
问题3
你能进一步算出胜一场积多少分吗？
解：若一个队胜
m场，则负
(14－m)
场，
胜场积分为
2m，负场积分为14－m，总积分为：
2m
+
(14－m)
＝
m
+14.
所以胜
m场的总积分为
(m
+14)
分.
新知讲解
问题4
怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系？
解：设一个队胜
x
场，则负(14－x)场，
依题意得
2x＝14－x.
解得
x＝．
解决实际问题时，要检验方程的解是否符合实际意义.
x
表示什么量？它可以是分数吗？
x
表示所胜的场数，必须是整数，所以x＝不符合实际.
由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.
新知讲解
问题5
某队胜场总积分能等于它负场总积分吗？
例1
某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各积多少分吗?
分析：关键信息是由C队的积分得出等量关系：
胜一场积分+负一场积分＝3．
新知应用
解：由C队的得分可知，胜一场积分+负一场积分＝27÷9＝3.
设胜一场积x分，则负一场积(3－x)分.
根据A队得分，可列方程为
14x+4(3－x)＝32.
解得x＝2，则3－x＝1.
答：胜一场积2分，则负一场积1分.
想一想：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
能.
胜6场、负12场时，胜场总积分等于它的负场总积分.
新知应用
（1）列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？为什么？
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
八一双鹿
22
18
4
40
北京首钢
22
14
8
36
浙江万马
22
7
15
29
沈阳雄狮
22
0
22
22
新知应用
例2
某赛季篮球甲A
联赛部分球队积分榜如下：
解：观察积分榜，从最下面一行可知负一场积1分.
设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值.
例如，从第一行得出方程：
18x＋1×4＝40．
解得
x＝2.
所以负一场积1分，胜一场积2分.
（1）如果一个队胜m场，则负(22－m)
场，
胜场积分为2m，负场积分为22－m，总积分为：
2m＋(22－m)＝m＋22.
新知应用
（2）设一个队胜了x场，则负了(22－x)场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程：
?
2x＝22－x.
解得
x＝．
新知应用
因为x(胜场数)
的值必须是整数，所以x＝不符合实际.
由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.
课堂总结
球赛积分表问题
1．生活中数据信息的传递形式是多种多样的.
2．解决有关表格问题，首先根据表格中给出的有关信息，找出数量间的关系，再运用数学知识解决有关问题.
3．利用方程不仅可以求得实际问题的具体数值，还可以进行推理判断.
4．运用方程解决实际问题，要检验方程的解是否符合实际意义.
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实际问题与一元一次方程
—配套问题和工程问题
新知引入
前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用．生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？
例
某车间有22名工人，每人每天可以生产1
200个螺钉或2
000个螺母．1个螺钉需要配
2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
思考：题目中哪些信息能解决人员安排的问题？
螺母和螺钉的数量关系如何？
新知讲解
等量关系：螺母总量=螺钉总量×2
配套问题
二
列表分析：
新知讲解
产品类型
生产人数
单人产量
总产量
螺钉
x
1200
螺母
2000
×
＝
1200
x
人数和为22人
22－x
螺母总量是螺钉的2倍
×
＝
2000(22－x)
解：设应安排
x
名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.
依题意，得
2000(22－x)＝2×1200x
.
解方程，得
x＝10.
所以
22－x＝12.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
新知讲解
如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
产品类型
生产人数
单人产量
总产量
螺母
x
2000
螺钉
1200
2000
x
22－x
1200(22－x)
解：设应安排
x
名工人生产螺母，(22－x)名工人生产螺钉.
依题意，得
2000x＝2×1200(22－x)
解方程，得
x＝12，所以22－x＝10．
新知讲解
列表分析：
产品配套问题通常从物品之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程．
解决配套问题的思路：
1．利用配套问题中物品之间具有一定的数量关系作为列方程的依据；
2．利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
新知讲解
增加
2
人后再做
8h
完成的工作量为
，
如果把总工作量设为1，则人均效率
(一个人
1
h
完成的工作量)为
，
x人先做
4h
完成的工作量为
，
这两个工作量之和等于
.
总工作量
如果设先安排
x人做4
h，你能列出方程吗？
新知讲解
工程问题
二
例
整理一批图书，由一个人做要
40
h
完成.
现计划由一部分人先做
4
h，然后增加
2人与他们一起做8
h，完成这项工作.
假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；
工作总量=各部分工作量之和.
人均效率
人数
时间
工作量
前一部分工作
x
4
后一部分工作
x＋2
8
×
×
＝
工作量之和等于总工作量1
×
＝
×
新知讲解
列表分析：
解：设先安排
x
人做4
h，可列方程
解方程，得
4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应先安排
2人做4
小时.
新知讲解
解决工程问题的基本思路：
1．三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2．相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1)
按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2)
按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3．通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
新知讲解
例1
一套仪器由一个
A
部件和三个
B
部件构成．用1
立方米钢材可做
40
个
A
部件或
240
个
B
部件．现要用
6
立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做
A
部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？
新知应用
分析：由题意知
B
部件的数量是
A
部件数量的
3
倍，可根据这一等量关系式得到方程．
解：设应用
x
立方米钢材做
A
部件，则应用(6－x)
立方米做
B
部件.
根据题意，列方程：
3×40x
＝
(6－x)×240.
解得
x
＝
4.
则
6－x
＝
2.
共配成仪器：4×40
＝
160
(套).
答：应用
4
立方米钢材做
A
部件，
2
立方米钢材做
B
部件，共配成仪器
160
套.
新知应用
例2
加工某种工件，甲单独做要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？
新知应用
效率
时间
工作量
甲
乙
x
12－x
解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了(12－x)天.
依题意，得
解得
x＝8.
答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.
新知应用
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
设未知数，列方程
一元一次方程
实际问题的答案
解方程
一元一次方程的解
(x=a)
检验
课堂总结
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实际问题与一元一次方程
—销售中的盈亏
生活中，我们经常可以在各种销售场合看见一些商品优惠信息，你知道它们的意思吗？
新知引入
2．某商品原来每件零售价是
a
元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是
元.
4．某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为
元.
1．商品原价200元，九折出售，售价是
元．
3．某商品按定价的八折出售，售价是12.8元，则原定售价是
元.
5．商品进价是150元，售价是180元，则利润是
元，利润率是_____.
180
30
20％
0.9a
1.25a
16
新知引入
填一填：
以上问题中有哪些量?
成本价(进价)
标价
(原价)
销售价
利润、盈利、亏损
利润率
这些量有何关系?
新知引入
利润
利润率＝
售价－进价
售价、进价、利润的关系：
利润＝
进价、利润、利润率的关系：
进价
×100%
折扣数
标价、售价、折扣数的关系：
售价＝
标价×
10
售价、进价、利润率的关系：
进价
售价＝
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
问题
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%
，另一件亏损25%
，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
新知讲解
销售中的盈亏问题
二
你估计盈亏情况是怎样的？
A．盈利
B．亏损
C．不盈不亏
分析：销售的盈亏取决于什么？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系
总售价(120元)
＞
总成本
总售价(120元)
＜
总成本
总售价(120元)
＝
总成本
盈利
亏损
不盈不亏
新知讲解
问题
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%
，另一件亏损25%
，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
计算：两件衣服的成本(即进价)各是多少元？
新知讲解
问题
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%
，另一件亏损25%
，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
如果设盈利的那件衣服的进价为x
元，根据售价、进价、利润率之间的关系，你能列出方程求解吗？同理，如果设另一件衣服的进价为
y
元呢？
（2）设亏损25%的衣服进价是
y元，
依题意得
y－0.25y＝60.
解得
y＝80.
（1）设盈利25%的衣服进价是
x
元，
依题意得
x＋0.25x＝60.
解得
x＝48.
解：
计算：两件衣服的成本各是多少元？
售价、进价、利润率的关系：
进价
售价＝
×(1+利润率)
新知讲解
新知讲解
问题
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%
，另一件亏损25%
，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128
(元)
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
与你猜想的一致吗？
例1
一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售，此时售价为60元．请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
新知应用
分析：销售的盈亏取决于服装售价与服装进价之间的关系．
现在已知服装的售价为60元，需要求出服装的进价．
进价
售价＝
×(1+利润率)×
折扣数
10
解：设这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x
元，
促销后的售价是(1＋25%)x×0.8
元，
依题意，得
(1＋25%)x×0.8＝60，
解得
x＝60，
所以售价等于进价．
答：这家商店不盈不亏．
新知应用
例1
一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售，此时售价为60元．请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
例2
某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打
9
折
(即原价的
90%
)，并再让利
40
元销售，仍可获利
10%
，求该商品的进价．
新知应用
分析：由题目条件可知，该商品的实际售价为(
900×90%－40
)
元．
设该商品的进价为每件
x元，根据实际售价
(两种不同表示)
相等列方程求解．
新知应用
解：设该商品的进价为每件
x
元，
依题意，得
900×0.9－40＝(1+10%)
x
，
解得
x＝700.
答：该商品的进价为700元．
例2
某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打
9
折
(即原价的
90%
)，并再让利
40
元销售，仍可获利
10%
，求该商品的进价．
课堂总结
利润
利润率＝
售价－进价
售价、进价、利润的关系：
利润＝
进价、利润、利润率的关系：
进价
×100%
折扣数
标价、售价、折扣数的关系：
售价＝
标价×
10
售价、进价、利润率的关系：
进价
售价＝
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
谢谢聆听(共20张PPT)
实际问题与一元一次方程
—电话计费问题
新知引入
下表中有两种移动电话计费方式：
新知讲解
电话计费问题
二
月使用费/元
主叫限定时间/分
主叫超时费/(元/分)
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
你认为选择以下哪种计费方式更省钱呢？
350
0
加超时费0.19元/分
基本费88元
加超时费0.25元/分
基本费58元
150
计费方式一
计费方式二
350
“省钱方式与主叫时间有关”
新知讲解
分
考虑
t
的取值时，两个主叫限定时间
150
min和
350
min是不同时间范围的划分点.
分析：计费时首先要看主叫是否超过限定时间：
主叫不超过限定时间，月使用费一定；
主叫超过限定时间，超时部分加收超时费．
问题1
设一个月内移动电话主叫为
t
min
(t是正整数)，列表说明：
当
t
在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
新知讲解
主叫时间t
/分
方式一计费/元
方式二计费/元
t
小于150
t
等于150
t
大于150且小于
350
t
等于350
t
大于350
问题1
设一个月内移动电话主叫为
t
min
(t是正整数)，列表说明：
当
t
在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
新知讲解
58
88
58
88
58+0.25(t－150)
88
88
108
58+0.25(t－150)
88＋0.19(t－350)
主叫时间t
/分
方式一计费/元
方式二计费/元
t
小于150
t
等于150
t
大于150且小于
350
t
等于350
t
大于350
问题2
观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法.
新知讲解
58
88
58
88
58+0.25(t－150)
88
88
108
58+0.25(t－150)
88＋0.19(t－350)
主叫时间t
/分
方式一计费/元
方式二计费/元
t
小于150
t
等于150
问题2
(1)比较下列表格的第2、3行，你能得出什么结论？
新知讲解
58
88
58
88
(1)当t
小于等于150时，方式一计费少(58元)．
问题2
(2)比较下列表格的第2行，你能得出什么结论？
新知讲解
(2)当t
大于150且小于350时，存在两种方式计费相等吗？
主叫时间t
/分
方式一计费/元
方式二计费/元
t
大于150且小于
350
58+0.25(t－150)
88
依题意得：
58＋0.25(t－150)
=
88
解得：
t
=270
当t
等于270时，两种计费方式的费用相等；
当t
大于270且小于350时，方式二计费少．
当t
大于150且小于270时，方式一计费少；
主叫时间t
/分
方式一计费/元
方式二计费/元
t
等于350
t
大于350
问题2
(3)比较下列表格的第2、3行，你能得出什么结论？
新知讲解
(3)当t
等于350时，方式二计费少．
88
108
58+0.25(t－150)
88＋0.19(t－350)
(4)当t
大于350时，哪个计费方式更划算呢？
方式一：
58＋0.25(t－150)
=
108＋0.25(t－350)
方式二：
88＋0.19(t－350)
所以当t
大于350时，方式二计费少．
350
0
加超时费0.19元/分
基本费88元
加超时费0.25元/分
基本费58元
150
计费方式一
计费方式二
350
新知讲解
综合以上的分析，可以发现：
时，选择方式一省钱；
时，选择方式二省钱；
时，方式一、方式二均可．
t
小于
270
t
大于
270
t
等于
270
270
分
列表分析
审
题
分类讨论
更优惠
费用相同
列方程
用未知数表示费用
设未知数
如何比较两个代数式的大小
要找不等关系先找等量关系
新知讲解
例1
小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x（个）（x为整数）．
（1）根据题意，填写下表：
攒钱的月数/个
3
6
…
x
小明攒钱的总数/元
350
…
小强攒钱的总数/元
510
…
330
500
200+50x
150+60x
新知应用
（2）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？
解：根据题意，得200+50x=150+60x，
解得x=5．
所以150+60x=450．
答：在5个月后小明与小强攒钱的总数相同，此时每人有450元钱．
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（3）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到该模型？
解：根据题意，
由200+50x=780，解得x=11.6，
故小明在12个月后攒钱的总数超过780元.
由150+60x=780，解得x=10.5，
故小强在11个月后攒钱的总数超过780元.
所以小强能够先买到该模型．
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例2
已知：用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元．问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）
复印页数x
复印社复印费用/元
图书馆复印费用/元
x
小于20
0.12x
0.1x
x
等于20
0.12×20=2.4
0.1×20=2
x
大于20
2.4＋0.09(x－20)
0.1x
解：依题意列表得：
（1）当
x
小于20时，0.12
x大于0.1
x恒成立，图书馆价格便宜；
（2）当
x
等于20时，2.4大于2，图书馆价格便宜；
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（3）当
x
大于20时，
依题意得：2.4+0.09(x－20)=0.1x
解得：
x=60
当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；
当x大于60时，复印社价格便宜.
综上所述：
当x小于60时，图书馆价格便宜；
当x大于60时，复印社价格便宜.
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课堂总结
电话计费问题
1．解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“主叫时间”有关．
2．此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案．
谢谢聆听
