2.1--2.2等式与不等式性质，基本不等式习题课 教案（Word版）

《等式与不等式性质、基本不等式习题课》
教学设计
教学目标
1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质；
2．掌握基本不等式，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
教学重难点
教学重点：1．不等式基本性质及应用；2．基本不等式及变形公式的应用．
教学难点：利用基本不等式求最值时对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
课前准备
PPT课件
教学过程
一、复习回顾
问题1：前面我们学习了不等式的基本性质和基本不等式，不等式有哪些性质？基本不等式能解决哪些问题？使用时需注意哪些条件？
师生活动：两个学生在黑板上默写，其余同学纸上默写，以精准把握他们对基本知识的掌握程度．易错的，易混的用彩色粉笔标注．
教师总结：在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时，应注意：
①由于不等号具有方向性，注意在性质1“自反性”和性质4“两边同乘负数”时，不等号要变号．
②性质6、性质7、性质8中都有a，b＞0的条件．
③性质1和性质3是可逆的．
④性质5给出的是一个充分不必要条件：即条件“a＞b，c＞d”，是条件“a+c＞b+d”的充分不必要条件，后者推不出前者．
对于基本不等式使用时，要注意：解决最值问题时的三个限制条件：“一正、二定、三相等”．
设计意图：通过梳理、归纳帮助学生将头脑中零散的数学知识相互连接起来，构成系统的知识链．把涉及的有关概念或知识点巩固和深化，为例题分析做好充分的准备．
典例研究
（一）基础知识检测
例1 （1）若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
（2）已知，下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．，的最小值是2
C． D．函数的最小值2
（3）已知函数在时取得最小值，则______．
问题2：每个题对应的知识点和方法分别是什么？
师生活动：学生独立思考，之后小组讨论，整个过程老师检查学生的做题情况，掌握情况．最后根据学生的问题针对性的讲解．
预设答案：（1）D；（2）C；（3）36．
设计意图：本题组紧扣不等式的基本性质和基本不等式的简单应用，根据概念的核心和易错点设计问题，一方面检测学生对基本知识的掌握情况，另一方面使学生进一步理解知识的内涵，为后面的综合应用扫清障碍．
知识的综合应用
例2 已知，求的取值范围．
问题3：如何求上式的范围？用到哪些不等式性质？
师生活动：引导学生利用不等式的性质求范围，注意等价性．
预设答案：，，．
变式：已知，求的取值范围．
追问1：上式如何求范围？和例2比较，在方法上有什么异同？需要注意什么？
师生活动：引导学生利用不等式的性质求范围，注意等价性．把学生中的正解和错解分别在展台上展示．
学生受求解二元一次方程组解法的影响，可能会出现如下错解：
由，得，，所以．
师生共同分析错解的原因在于将不等式多次使用有时会扩大取值范围．其根本原因是，不等式的性质5本质上是一个充分不必要条件．因此不能由a+b，a-3b的范围求a，b的范围，再由a，b的范围求的取值范围．
预设答案：将a+b，a-3b看作性质5中的条件，用他们表示，再联合运用性质4和5求解．
解：设，
则，解得，所以，
由以上两式相加，得．
追问2：通过例2及变式，你能说说在利用不等式求范围问题时，应怎样求解才能使得所求范围正确？
师生活动：学生反思后，师生总结得到：利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），但是这种转化不是等价转化，如果在解题中多次使用，就有可能扩大取值范围．
设计意图：通过对例2和变式，及学生产生错解的原因分析，进一步理解不等式的意义及逻辑关系，提高学生逻辑推理能力．
例3 （1）已知，求函数的最大值．
（2）已知，且，求的最大值．
问题：观察以上题目，如何转化为基本不等式的形式？用基本不等式求最值时需满足什么条件？
师生活动：学生独立思考后，回答解题思路，教师引导学生将已知条件及所求的结论与基本不等式的条件和结论进行对比，寻找解题的突破口，并强调不等式成立的条件．在（2）中引导学生创造使用基本不等式的条件，要求学生写出规范步骤，并注意变量的取值范围．
预设答案：
解：（1）．
．
，当且仅当，即时取等号．，，即 故当时，取最大值1．
（2）法1：由x+y=1，得y=1-x，且0＜x＜1，则．
当且仅当，即时等号成立，即的最大值为．
法2：由x+y=1，得y=1-x，且0＜x＜1，则．
当且仅当，即时等号成立，即的最大值为．
法3： ．
则，
当且仅当，即时等号成立，即的最大值为．
变式1：已知，且，求的最小值．
追问1：上面变式和例3比较，在解题思路上什么相同之处，你还有什么发现？
师生活动：教师引导学生观察变式1和例3之间的区别，启发学生构造的思维，提示没有定值时，要创造定值，要将表达式变形，让学生发现如何创造性的用“1”在解答过程中进行过渡，并总结“1”的代换方法．也应学会将二元问题转化为一元问题进行解决，同时让学生说出自己的思路，师生共同对每一种思路可行或不可行的原因进行分析．
学生可能出现的错解：由，及，得xy≥36，当且仅当即x=2，y=18时取等号，所以，取得最小值12．这时引导学生从基本不等式求最值需满足的三个条件入手分析错误原因在于等号取不到．
预设答案：
解：法1：由得，且x＞1，
则．
当且仅当，即x=4时取等号，时，取得最小值16．
法2： ．
，则，当且仅当，又，
时，取得最小值16．
变式2：已知，且，求的最小值．
追问2：上式和变式1式子不同，如何求解？
师生活动：教师引导学生从变式1的思路出发，寻求变式2的解题思路，同时指出表象不同的问题，有时本质是相同的．
预设答案：
∵，∴，
当且仅当时取等号，又，取得最小值8．
变式3：已知，，求的最小值．
追问3：根据上式形式特征，如何构造基本不等式的形式进行求解？
师生活动：学生思考并进行解答，教师提醒学生应注意所求式子和已知条件的关系，将分母看成一个整体变量，将已知代数式构造成分母的形式．
预设答案：
解：由，得(2x+2)+(y+1)=4，2x+2＞0，y+1＞0．
则
．
当且仅当，即时取等号，所以所求式子的最小值为2．
*变式4：已知，且，求的最小值．
追问4：观察上面问题，和变式1，2对比，你发现了它们的共同点了吗？和例3比较，你还有其他想法吗？
师生活动：教师引导学生先观察式子特征，和变式1的式子比较，发现已知条件可以转化为变式1的条件形式，因此可以用变式1的方法求最值．和例3（1）比较，可以将已知条件进行因式分解成乘积形式，利用不等式求解．
预设答案：
解：法1：由，可得，
，
当且仅当时取等号，又，∴的最小值是5．
法2：由，可得，
当且仅当时取等号，即∴的最小值是5．
法3：由，可得，
即，．
，
当且仅当时取等号，即等号成立，
∴的最小值是5．
设计意图：让学生体会在应用基本不等式解决问题时，要学会观察，学会变形．若“一正、二定、三相等”的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用基本不等式．转化的方法有拆项、添项、凑项、变号等．通过一系列的问题，让学生明白数学的学习不只是学习解题的套路，更要通过不断地思考变换的问题，让自己思维更广阔，增强自己的思维能力，培养将未知转化为已知的能力．
例4 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________吨．
问题5：如何将实际问题转化为代数问题？
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，尝试解决．教师可以提出问题，帮助学生分析：
（1）一年的总运费与总存储费用之和如何用表示？（答案：）
（2）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，此问题可以用基本不等式来求最值吗？
设计意图：通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别生活中的最值问题，也就是最优化问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想，从而能体现数学应用价值．
预设答案：
解：设一年的总费用为万元，由题知，
而，
当且仅当，即吨时取等号．
故一年的总运费与总存储费用之和最小时x的值是30．
三、归纳总结
问题6：回顾本节学习过程，回答以下问题：
（1）如何利用作差（商）法比较两个实数的大小？
（2）不等式的基本性质有哪些？需要注意哪些条件？
（3）基本不等式是什么？能够解决什么问题？在解决问题时应注意什么？
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质．而不等式性质是解决不等式问题的理论依据．基本不等式是解决最值的有力工具．并掌握利用这些基本知识求解问题时的易错点及转化办法．
四、布置作业：教科书复习参考题2第1，2，3，4题．
五、目标检测设计
1．设，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
设计意图：考查学生对不等式性质的综合应用能力，特别是的大小关系．
2．已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
设计意图：考查在多次使用基本不等式求最值时等号成立的条件要一致．
3．（1）若a＞0，b＞0，ab=2a+b，则a+b的最小值为______，ab的最小值为_______．
（2）若0＜x＜1，则的最小值为_______．
4．已知，试比较与的大小．
设计意图：考查学生用作差（商）法比较两个代数式（实数）大小的能力及分类讨论思想的应用．
5．设求的最大值．
设计意图：考查学生面对没有定值的情况，如何对表达式恒等变形，创造定值．
*6．已知为不全相等的正实数，且．求证：．
设计意图：考查利用基本不等式证明不等式及“1”的代换．
*7．某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12 m，现准备在该地区重新建一个猪圈．平面图为矩形，面积为56 m2，预计：①修复1 m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%，②拆去1 m旧墙所得材料用以建成1 m新墙的费用是建1 m新墙费用的50%，③为安装圈门，要在围墙的适当处留出1 m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应当怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？
设计意图：考查解决实际问题的能力．
参考答案：
1．A
利用不等式的性质或者举反例判断．取a=1，b=-1，B，C选项都错了．对于D，取a=-1，b=-2，D也错了．由不等式的性质4可乘性知，再根据可加性得选项正确，故选A．
2．C
解析：因为当且仅当，且，即时，取“=”号．
3．（1），8，（2）9
4．解
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
5．解：，，当且仅当时取等号，又，，的最大值是．
6．证明：都是正实数，且，
以上三个不等式相加，得，即
不全相等，所以上述三个等式中的“=”不都同时成立，
所以．
7．解：显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好．设修复成新墙的旧墙为x m，则剩下的旧墙拆得的材料可建造新墙 m，于是还需建造新墙的长为
(m)
设建造1 m新墙所需a元，建造围墙的总费用为y元，
则
又，，
当且仅当，即时，上式等号成立．
因此修复的旧墙约为8 m，拆除并改建成新墙的旧墙约为4 m时，建造的总费用最小．
注意：标注“*”的内容为选做．