苏科版数学八年级上册2.5等腰三角形的性质与判断专题培优训练卷（Word版 含解析）

2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5等腰三角形的性质与判断专题培优训练卷
一、选择题
1、如图，在，点在上，下列四个命题正确的有(
)
①若，则
②若，，则，
③若，，则，
④若，，则，
A.1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
（1）
（2）
（3）
（5）
2、如图所示，中，，是上一点，于点，若，
则的度数是　　
A．
B．
C．
D．
3、如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（
）
A．60°
B．70°
C．80°
D．不确定
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角的度数为(
)
A.
45°或135°
B.45°
C.135°
D.90°
5、如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于，若，，则线段的长为　　
A．5
B．6
C．7
D．8
6、将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（
）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　A.
4个
　　　B.
3个
　　　C.
2个　　　
D.
1个
（6）
（7）
（8）
（9）
7、如图，在中，，、两点分别在、上，是的平分线，，若，，则的周长是　　
A．
B．
C．
D．
8、如图，在中，，，是的平分线.若在边上截取，连接，则图中的等腰三角形共有(
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
9、如图，中，，垂直平分，，，则的度数为　　
A．
B．
C．
D．
10、在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是　　
A．
B．
C．或
D．或或
二、填空题
11、已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为_________
12、等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是
.
13、如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=________．
14、如图，在中，，点分别在上，且，，
若，则的度数为
.
（14）
（15）
（16）
（17）
15、如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点O作OE∥AB，OF∥AC，交边BC于点E、F，如果BC=10，那么C△OEF等于　
　．
16、如图，中，与的平分线交于点，过作交、于、，若的周长比的周长大，到的距离为，的面积　
　．
17、如图，在中，，点D，点E分别是BC，AC上一点，且，若，，则的度数为________．
18、如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：（1）；（2）；（3）平分；（4）垂直平分．其中正确的有
（18）
（19）
（20）
19、如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，
则DE等于　
　．
20、如图，是等腰三角形，，，平分；点是射线上一点，如果
点满足是等腰三角形，那么的度数是　　
．
三、解答题
21、如图，在中，延长到点，使，连接，是的中线，是
的平分线.求证:
.
22、已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．
试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
23、如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．
求证：△ABC是等腰三角形．
24、已知：
如图，
在中，，为延长线上一点，，交线段于点．
请找出一组相等的线段除外）
并加以证明
．
25、已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
求∠B的度数．
26、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．
27、问题情境:将一副直角三角板和按图1所示的方式摆放，其中，
，是的中点，点与点重合，于点，于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由.
探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:
，理由如下:
连接，则是边上的中线，
∵，∴是的平分线，(依据1)
∵，，∴.(依据2)
反思交流:(1)①依据1是
;
②依据2是
;
(2)你有与小宇不同的方法吗?请写出你的方法;
(3)将图1中的沿着射线的方向平移至如图2的位置，使点落在的延长线上，的延长线与的延长线相交于点，且，的延长线与相交于点，且，连接，，试判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由.
28、如图
（1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别
交AB、AC于E、F两点，则图中共有_____个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是________，△AEF的周长是________；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为不等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件不变，则图中共有多少个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明.
2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5等腰三角形的性质与判断专题培优训练卷
（答案）
一、选择题
1、如图，在，点在上，下列四个命题正确的有(
D
)
①若，则
②若，，则，
③若，，则，
④若，，则，
A.1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
2、如图所示，中，，是上一点，于点，若，
则的度数是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，，，
，，．故选：．
3、如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（
C
）
A．60°
B．70°
C．80°
D．不确定
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角的度数为(
A
)
A.
45°或135°
B.45°
C.135°
D.90°
5、如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于，若，，则线段的长为　　
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】、是、的角平分线，，，
又，，，，，
，，，故选：．
6、将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（
B
）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　A.
4个
　　　B.
3个
　　　C.
2个　　　
D.
1个
7、如图，在中，，、两点分别在、上，是的平分线，，若，，则的周长是　　
A．
B．
C．
D．
【解析】，．
，，，，
是的平分线，．，
，的周长为，
故选：．
8、如图，在中，，，是的平分线.若在边上截取，连接，则图中的等腰三角形共有(
D
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
9、如图，中，，垂直平分，，，则的度数为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：垂直平分，，
，是等腰直角三角形，，
又，，
，
，，，，，
．
故选：．
10、在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是　　
A．
B．
C．或
D．或或
【解答】解：．
当时，；
当时，，则；
当时，．
的度数为或或，
故选：．
二、填空题
11、已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为___16或17
______
12、等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是
70°或40o；
.
13、如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=________．
解：∵∠O=x，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，
∴∠BAC=2x，∴∠CBD=3x；∴∠DCE=4x，
∴∠FDE=5x，∴∠FEG=6x，
∵EF=FG，∴∠FEG=∠FGE，
∵∠EFG=30°，∴∠FEG=6x=75°，∴x=12.5o
，
∴∠O=12.5°．故答案为：12.5°．
14、如图，在中，，点分别在上，且，，
若，则的度数为
70°
.
15、如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点O作OE∥AB，OF∥AC，交边BC于点E、F，如果BC=10，那么C△OEF等于　
10
　．
16、如图，中，与的平分线交于点，过作交、于、，若的周长比的周长大，到的距离为，的面积　
　．
【解析】与的平分线交于点，，，
，，，
，，，，
，，
的周长比的周长大，，
，
到的距离为，的面积是．，
故答案为：
18
．
17、如图，在中，，点D，点E分别是BC，AC上一点，且，若，，则的度数为________．
解：，，
，，，
，，
，，
18、如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：（1）；（2）；（3）平分；（4）垂直平分．其中正确的有①②③正确
19、如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，
则DE等于　
　．
【解析】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，
∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，
∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，
∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3cm．
20、如图，是等腰三角形，，，平分；点是射线上一点，如果
点满足是等腰三角形，那么的度数是　、或　．
【解答】解：当时，如图所示，
，，，
平分，，，，
当时，如图所示，
，，，
平分，，，．
当时，如图所示，
，，，
平分，，，，
故答案为：、或．
三、解答题
21、如图，在中，延长到点，使，连接，是的中线，是
的平分线.求证:
.
∵CD=CA,CF是的中线，
是的平分线，
∵CE是的平分线,,
22、已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．
试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，
∵AB＝AC，AE＝AD．
∴设∠B＝∠C＝，则∠EAD＝2，
∴∠ADE＝，
即∠BDH＝90°－
∴∠B＋∠BDH＝＋90°－＝90°，
∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.
23、如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．
求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】
证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，
，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GD＝CE．
∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．
24、已知：
如图，
在中，，为延长线上一点，，交线段于点．
请找出一组相等的线段除外）
并加以证明
．
【解析】；
，
，，，
，，．
25、已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
求∠B的度数．
解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝，∠BCD＝∠BDC＝，
则∠AED＝∠ADE＝2，∠A＝∠B＝180°－4
在△ABC中，根据三角形内角和得，＋＋180°－4＋180°－4＝180°①
又∵A、D、B在同一直线上，∴2＋＋＝180°②
由①
，②解得＝36°
∴∠B＝180°－4＝180°－144°＝36°.
26、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．
证明：延长AB至E，使BE＝BP，连接EP
∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝80°∴∠E＝∠BPE＝＝40°
∵AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴∠QBC＝40°，∠BAP＝∠CAP
∴BQ＝QC（等角对等边）
在△AEP与△ACP中，
，∴△AEP≌△ACP（AAS），
∴AE＝AC
∴AB＋BE＝AQ＋QC，即AB＋BP＝AQ＋BQ.
27、问题情境:将一副直角三角板和按图1所示的方式摆放，其中，
，是的中点，点与点重合，于点，于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由.
探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:
，理由如下:
连接，则是边上的中线，
∵，∴是的平分线，(依据1)
∵，，∴.(依据2)
反思交流:(1)①依据1是
;
②依据2是
;
(2)你有与小宇不同的方法吗?请写出你的方法;
(3)将图1中的沿着射线的方向平移至如图2的位置，使点落在的延长线上，的延长线与的延长线相交于点，且，的延长线与相交于点，且，连接，，试判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由.
(1)①等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)
②角平分线的性质(或角平分线上的点到角两边的距离相等)
(2)有.方法如下:
∵
∵O是的中点，.
∵
在和中，
(3)
28、如图
（1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别
交AB、AC于E、F两点，则图中共有_____个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是________，△AEF的周长是________；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为不等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件不变，则图中共有多少个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明.
【答案】
解：（1）解：BE+CF=EF.理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC.
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，AE=AF，
∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，
∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF，△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20.
故答案为：5；BE+CF=EF；20
（2）解：BE+CF=EF.
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD.
∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，
∴等腰三角形有△BDE，△CFD，
∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF.△AEF的周=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18.
此时有两个等腰三角形，EF＝BE＋CF，C△AEF＝18
（3）解：BE﹣CF=EF.由（1）知BE=ED.∵EF∥BC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD，∴CF=DF.又
∵ED﹣DF=EF，∴BE﹣CF=EF.