汉中市2019~2020学年第二学期高一期中联考
数学试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
是（
）
A.
第一象限角
B.
第二象限角
C.
第三象限角
D.
第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】
由题，所以其终边在第三象限.
【详解】由题，所以的终边与的终边相同，在第三象限，
所以是第三象限角.
故选：C
【点睛】此题考查求角的终边所在的象限，关键在于将角写成的形式进行辨析.
2.
设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合，利用交集的定义可得出集合.
【详解】，，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
3.
函数（，且）的图象恒过的点为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令指数为0，即可求得函数恒过点．
【详解】解：令，可得，则
不论取何正实数，函数恒过点
故选：．
【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题．
4.
函数图象的一个对称中心是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由正切函数对称中心可以得到，从而解出满足条件的对称中心.
【详解】由正切函数的对称中心可以推出对称中心的横坐标满足
，带入四个选项中可知，当时，.
故是图像的一个对称中心，选A.
【点睛】正切函数的对称中心为，正弦函数的对称中心为，余弦函数的对称中心为，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.
5.
已知，，，则、、大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简函数值，通过三角函数的单调性判断大小即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，函数值的大小比较，属于基础题.
6.
直线与平行，则的值为（
）
A.
1
B.
或0
C.
D.
0
【答案】B
【解析】
【分析】
当两条直线斜率不存在时，即，研究是否满足题意，当两条直线存在时，根据直线平行的结论，得到关于的方程，解得到答案.
【详解】直线与，
当两条直线的斜率不存在时，即，
此时，两条直线方程分别为和，满足题意，
当两条直线的斜率存在时，
由两直线平行，得，
解得，
综上，满足题意的的值为或.
故选B.
【点睛】本题考查根据两条直线的平行关系，求参数的值，属于简单题.
7.
函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据解析式求得函数奇偶性，以及即可容易求得结果.
【详解】因为的定义域为，且，故为偶函数，
排除C，D，验算特值，排除A,
故选：B
【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题.
8.
已知圆：，圆：，则圆与圆（
）
A.
相交
B.
内切
C.
外切
D.
内含
【答案】C
【解析】
【分析】
求出圆心距，与两圆半径的和或差比较可得．
【详解】因为，，，所以，从而两圆外切.
故选：C.
【点睛】本题考查两圆位置关系，求出圆心距是解题关键．属于基础题．
9.
已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域为R，转化为被开方数恒大于等于0，即可得到结论．
【详解】因为的定义域为，所以恒成立，则
故选:C
【点睛】本题考查二次不等式在R上恒成立问题，转化为判别式小于等于0是关键，是基础题
10.
要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的（
）
A.
横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
B.
横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
C.
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D.
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
根据诱导公式得，再结合三角函数变换规律即可得结果.
【详解】因为，
所以横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得，
再向左平移个单位长度得，
故选：D.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于中档题.
11.
已知，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法中正确的是（
）
A.
若，，则
B.
若，，则
C.
若，，则且
D.
若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.
【详解】对于A，若，，则或m与n相交，故A错误；
对于B，若，，则或与相交，故B错误；
对于C，若，，则且错误，有可能在或内；
对于D，若，，则，故D正确，
故选：D.
【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.
12.
已知函数，部分图象如图所示，则使成立的a的最小正值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由图象先求函数的解析式，由关系式可知，函数关于对称，再由函数解析式求函数的对称中心.
【详解】由，
得，得函数关于对称，
由图象知，，
得，得，则，
由五点对应法得，得，
则，
由，得，
即函数的对称中心为，
当时，当时，x为最小值，
此时，即此时．
故选：C
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，解析式，重点考查分析图象的能力，属于基础题型，本题的关键是求函数的解析式.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
计算出扇形圆心角的弧度数，利用扇形的弧长公式可计算出该扇形的弧长.
【详解】由已知条件可知，该扇形圆心角的弧度数为，且半径为，
因此，该扇形的弧长为.
故答案为：.
【点睛】本题考查扇形弧长的计算，考查计算能力，属于基础题.
14.
设函数，若对于任意的都有成立，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知，是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是半个周期
【详解】函数，若对于任意的，都有，
∴是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及最值，熟记函数的基本性质和周期，准确计算是关键，属于中档题.
15.
在区间范围内,函数与函数的图象交点有_______个.
【答案】1
【解析】
【分析】
将函数图象交点个数等价于方程在根的个数，即可得答案.
【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数，
∴，解得：，
∴方程只有一解，
∴函数与函数的图象交点有1个.
故答案为：1.
【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
16.
已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该三棱柱的体积为，，，，则此球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
如图取AB中点D，中点，再取中点O，，
所以D为的外心，D1为的外心，O为球的球心，进而可求出半径和面积.
【详解】
如图，取AB中点D，中点，再取中点O，
所以D为的外心，D1为的外心，O为球的球心.
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，考查了计算能力和空间想象能力，属于一般题目.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.
若角的终边上有一点，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的概念，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）先将原式化简，再由三角函数的定义求出，进而可得出结果.
【详解】（1）点到原点的距离为，
根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）.
（2）原式，
由（1）可得，，
所以原式.
【点睛】本题主要考查由三角函数的定义求参数，以及根据诱导公式化简求值，属于常考题型.
18.
已知是定义在上的偶函数，且时，．
（1）求；
（2）求函数的解析式；
【答案】（1）-3；（2）．
【解析】
分析】
（1）利用函数奇偶性的性质即可求
（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；
【详解】解：（1）是定义在上的偶函数，且时，.
；
（2）令，则，
时，，
则；
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键，属于基础题．
19.
已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1
【解析】
【分析】
（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；
（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.
【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，
则，
所以，
所以，
所以.
所以函数的解析式是
.
（2）因为，讨论函数的增区间：
令，
得，
所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.
因为，，
，
故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.
【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.
20.
已知函数，.
（1）若函数的值域为，求的值；
（2）若函数在上无零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，进而可求得实数的值；
（2）分析函数在区间上单调递增，由题意可得，进而可求得实数的取值范围.
【详解】（1）函数的值域为，
，解得；
（2）函数的图象开口向上，其对称轴方程为，
所以，函数在上单调递增，
由函数在上无零点，则，即，
解得.
【点睛】本题考查利用二次函数的值域求参数，同时也考查了利用二次函数的零点个数求参数，考查计算能力，属于中等题.
21.
四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上.
（1）证明：AC⊥PD；
（2）若PE＝2BE，求三棱锥P﹣ACE的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）过A作AF⊥DC于F，推导出AC⊥DA，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAD，由此能求出AC⊥PD．
（2）由VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，能求出三棱锥P﹣ACE的体积．
【详解】（1）过A作AF⊥DC于F，
因为AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，所以CF＝DF＝AF＝1，
所以∠DAC＝90°，所以AC⊥DA，
又PA⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥PA，
又PA，AD?平面PAD，PA∩AD＝A，所以AC⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AC⊥PD.
（2）由PE＝2BE，可得VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，
所以，，
所以三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC.
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
22.
已知圆：.
（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；
（2）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，求出最短弦长；
（3）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
【答案】（1）；（2），；（3）或
【解析】
【分析】
（1）化圆方程为标准方程，可得圆心，，设，利用直线垂直斜率之间的关系以及中点坐标公式列方程求得，进而可得结果.
（2）直线过定点，且点在圆内，当时，弦长最短，利用垂径定理可得结果；
（3）讨论当直线的斜率不存在时，满足题意，当直线的斜率存在时，利用点到直线距离公式列方程求解即可.
【详解】（1）化圆：为，
可得圆心，，
设，
∵圆心与关于直线对称，
∴，解得.
∴圆的标准方程为：.
（2）直线过定点，且点在圆内，当时，弦长最短，
∵，∴，
此时最短弦长为.
（3）设点到直线的距离为，由，
①当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；
②当直线的斜率存在时，设直线方程为，
，解得.
综上，直线的方程为或.
【点睛】本题主要考查圆的方程、对称问题以及圆的弦长问题，属于中档题.
求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.汉中市2019~2020学年第二学期高一期中联考
数学试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
是（
）
A.
第一象限角
B.
第二象限角
C.
第三象限角
D.
第四象限角
2.
设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.
函数（，且）的图象恒过的点为（
）
A.
B.
C.
D.
4.
函数的图象的一个对称中心是（
）
A.
B.
C.
D.
5.
已知，，，则、、的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
6.
直线与平行，则的值为（
）
A.
1
B.
或0
C.
D.
0
7.
函数的图象大致为（
）
A
B.
C
D.
8.
已知圆：，圆：，则圆与圆（
）
A.
相交
B.
内切
C.
外切
D.
内含
9.
已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
10.
要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的（
）
A.
横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
B.
横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
C.
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D.
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
11.
已知，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法中正确的是（
）
A.
若，，则
B.
若，，则
C
若，，则且
D.
若，，则
12.
已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的a的最小正值为（
）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______.
14.
设函数，若对于任意都有成立，则的最小值为______.
15.
在区间范围内,函数与函数的图象交点有_______个.
16.
已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该三棱柱的体积为，，，，则此球的表面积为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.
若角的终边上有一点，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
18.
已知是定义在上的偶函数，且时，．
（1）求；
（2）求函数的解析式；
19.
已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
20.
已知函数，.
（1）若函数的值域为，求的值；
（2）若函数在上无零点，求的取值范围.
21.
四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上.
（1）证明：AC⊥PD；
（2）若PE＝2BE，求三棱锥P﹣ACE的体积.
22.
已知圆：.
（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；
（2）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，求出最短弦长；
（3）过点直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
