人教A版 必修1 第1单元 集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算 单元测试卷（Word解析版）

第1单元 集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算 单元测试卷
一、选择题（共12小题）.
1．（5分）下列关系中正确的是（　　）
A．0∈? B．∈Q C．0∈N D．1∈{（0，1）}
2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩?UA＝（　　）
A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}
3．（5分）把“2021”中的四个数字拆开，可构成集合{2，0，1}，则该集合的真子集的个数为（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
4．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|x2﹣2x＝0}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）
A．{﹣1} B．{2} C．{1，2} D．{0，2}
5．（5分）设集合A＝{a，a2，0}，B＝{2，4}，若A∩B＝{2}，则实数a的值为（　　）
A．2 B．±2 C． D．±
6．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＝0}，N＝{x|x＜a}，若N∩M≠?，则a的取值范围是（　　）
A．{a|a＞﹣2} B．{a|a≥﹣2} C．{a|a＞3} D．{a|a≥3}
7．（5分）设集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝}，则下列结论中正确的是（　　）
A．A＝B B．A?B C．B?A D．A∩B＝{x|x≥1}
8．（5分）设全集U＝{x∈N*|x≤9}，若?U（A∪B）＝{1，3}，A∩（?UB）＝{2，4}，则集合B＝（　　）
A．{5，6，7，8，9} B．{2，4，5，6，7，8，9}
C．{5，6，7，8} D．{4，5，6，7，8，9}
9．（5分）对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：P★Q＝{x|x∈P∪Q且x?P∩Q}．如果P＝{x|﹣1≤x﹣1≤1}，Q＝{x|y＝}，则P★Q＝（　　）
A．{x|1≤x≤2} B．{x|0≤x≤1或x≥2}
C．{x|0≤x≤1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x＞2}
10．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（1）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝?；
（2）A的元素个数不是A中的元素．B的元素个数不是B中元素．则有序集合对（A，B）的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
11．（5分）给出下列四个集合，其中为空集的是（　　）
A．{?} B．{x∈R|x2+x+1＝0}
C．{（x，y）|，x，y∈R} D．{x∈R||x|＜0}
12．（5分）当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是（　　）
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则2020∈F
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
D．有理数集为数域
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若集合A＝{1，2}，B＝{1，2，4}，C＝{1，4，6}，则（A∩B）∪C＝　 　．
14．（5分）已知集合A＝{x|x＝（2k+1），k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为　 　．
15．（5分）已知集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{y|ay+2＝0，a∈R}，若满足M∩N＝N的所有实数a构成集合A，则A＝　 　，A的子集有　 　个．
16．（5分）非空有限数集S满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S．则满足条件且含有两个元素的数集S＝　 　．（写出一个即可）
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|x＜a}．
（1）若A∩B＝A，求实数a的取值范围；
（2）若全集U＝{x|x≤4}，a＝﹣1，求A∩（?UB）及（?UA）∪（?UB）．
18．（10分）已知A＝{2，﹣1，x2﹣x+1}，B＝{2y，﹣4，x+4}，C＝{﹣1，7}，且A∩B＝C，求x，y的值及A∪B．
19．（10分）已知集合A＝{1，2，3，4}．
（1）若M?A，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M有多少个？
（2）若B＝{x|ax﹣3＝0}，且B?A，求实数a的取值集合．
20．（12分）设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x+3）2≤0}，N＝{x|x2+x﹣6＝0}．
（Ⅰ）求（?IM）∩N；
（Ⅱ）记集合A＝（?IM）∩N，已知集合B＝{x|a﹣1≤x≤5﹣a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+px+q＝0}，B＝{x|qx2+px+1＝0}，满足①A∩B≠?，②A∩（?UB）＝{﹣2}，其中p，q均为不等于零的实数，求p，q的值．
22．（10分）我们知道，如果集合A?U，那么子集A在U中的补集为?UA＝{x|x∈U，且x?A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x?B}叫做A与B的差集，记作A﹣B．例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{4，6，7}．据此，回答以下问题：
（1）若U是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班女同学组成的集合，求U﹣A及?UA；
（2）在图中，分别用阴影表示集合A﹣B；
（3）如果A﹣B＝?，那么A与B之间具有怎样的关系？
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．（5分）下列关系中正确的是（　　）
A．0∈? B．∈Q C．0∈N D．1∈{（0，1）}
【分析】由0??，可得A错误；由是无理数，可判断B错误；由于{（0，1）}的元素为（0，1），可得D错误；根据0是自然数，可得C正确．
解：因为0??，故A错误；
因为是无理数，所以Q，故B错误；
0是自然数，故C正确．
故选：C．
2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩?UA＝（　　）
A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}
【分析】先求出?UA，然后再求B∩?UA即可求解
解：∵U＝{1，2，3，4，5，8，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{3，3，6，7}，
∴?UA＝{1，6，7}，
故选：C．
3．（5分）把“2021”中的四个数字拆开，可构成集合{2，0，1}，则该集合的真子集的个数为（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【分析】根据集合真子集个数的计算公式即可求出集合{2，0，1}的真子集的个数．
解：集合{2，0，1}中共3个元素，子集的个数为23＝8，真子集的个数为5﹣1＝7．
故选：A．
4．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|x2﹣2x＝0}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）
A．{﹣1} B．{2} C．{1，2} D．{0，2}
【分析】阴影部分为?UA∩B，需解出集合A和B，在进行集合运算即可．
解：阴影部分为?UA∩B，
∵A＝{x||x|≤1，x∈Z}＝{x|﹣1≤x≤1}，?UA＝{x|x＞1或x＜﹣3}，
∴?UA∩B＝{2}，
故选：B．
5．（5分）设集合A＝{a，a2，0}，B＝{2，4}，若A∩B＝{2}，则实数a的值为（　　）
A．2 B．±2 C． D．±
【分析】根据A∩B＝{2}即可得出2∈A，并且B＝{2，4}，从而得出a2＝2，解出a即可．
解：∵A∩B＝{2}，B＝{2，4}，A＝{a，a2，0}；
∴2∈A；
∴．
故选：D．
6．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＝0}，N＝{x|x＜a}，若N∩M≠?，则a的取值范围是（　　）
A．{a|a＞﹣2} B．{a|a≥﹣2} C．{a|a＞3} D．{a|a≥3}
【分析】先求出N∩M＝?时a的取值范围，再取补集即可求出求出N∩M≠?时a的取值范围．
解：∵集合M＝{x|x2﹣x﹣6＝0}＝{﹣5，3}，N＝{x|x＜a}，
当N∩M＝?时：a≤﹣2，
故选：A．
7．（5分）设集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝}，则下列结论中正确的是（　　）
A．A＝B B．A?B C．B?A D．A∩B＝{x|x≥1}
【分析】求解y＝的值域可得集合A，求解y＝的定义域可得集合B，根据集合与集合的关系判断即可．
解：由题意，y＝的值域为[0，+∞）
∴集合A＝[0，+∞）
故得A∩B＝{x|x≥1}．
故选：D．
8．（5分）设全集U＝{x∈N*|x≤9}，若?U（A∪B）＝{1，3}，A∩（?UB）＝{2，4}，则集合B＝（　　）
A．{5，6，7，8，9} B．{2，4，5，6，7，8，9}
C．{5，6，7，8} D．{4，5，6，7，8，9}
【分析】根据集合的交集、并集和补集的定义，计算即可．
解：全集U＝{x∈N*|x≤9}＝{1，2，3，4，7，6，7，8，9}，
由?U（A∪B）＝{2，3}，所以A∪B＝{2，4，5，6，8，8，9}；
所以集合B＝{5，6，5，8，9}．
故选：A．
9．（5分）对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：P★Q＝{x|x∈P∪Q且x?P∩Q}．如果P＝{x|﹣1≤x﹣1≤1}，Q＝{x|y＝}，则P★Q＝（　　）
A．{x|1≤x≤2} B．{x|0≤x≤1或x≥2}
C．{x|0≤x≤1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x＞2}
【分析】根据已知得到P、Q中的元素x的取值范围，然后根据P★Q＝{x|x∈P∪Q，且x?P∩Q}求出即可．
解：P＝{x|﹣1≤x﹣1≤1}＝{x|0≤x≤2}，
Q＝{x|y＝}＝{x|x≥5}，
∴P★Q＝[0，1）∪（2，+∞）
故选：D．
10．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（1）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝?；
（2）A的元素个数不是A中的元素．B的元素个数不是B中元素．则有序集合对（A，B）的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
【分析】结合已知分类讨论：讨论A，B中集合的元素个数分别进行求解．
解：若A中只有1个元素，则B中有3个元素，则1?A，3?B，即3∈A，4∈B，此时有1个，
若A中有2个元素，则B中有2个元素，则2?A，2?B，不符合题意；
综上，有序集合对（A，B）的个数2个．
故选：B．
11．（5分）给出下列四个集合，其中为空集的是（　　）
A．{?} B．{x∈R|x2+x+1＝0}
C．{（x，y）|，x，y∈R} D．{x∈R||x|＜0}
【分析】利用空集的定义、一元二次方程、方程组、不等式的性质直接求解．
解：对于A，表示由空集构成的集合，故A不是空集；
对于B，集合中的元素为方程x2+x+1＝0的实根，
∴方程x2+x+1＝0无实根，故B为空集；
对于D，不等式|x|＜6的解集是空集，故D为空集．
故选：BCD．
12．（5分）当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是（　　）
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则2020∈F
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
D．有理数集为数域
【分析】根据数域的定义分别进行判断即可．
解：对于A，当a＝b时，a﹣b＝0属于数域，故正确，
对于B，若a∈F且a≠0，则1＝∈F，2＝1+1∈F，6＝1+2∈F，依此类推，可得2020∈F，故正确，
对于D，若F是有理数，则当a，b∈F，则a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，∈F都成立，故正确，
故选：ABD．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若集合A＝{1，2}，B＝{1，2，4}，C＝{1，4，6}，则（A∩B）∪C＝　{1，2，4，6}　．
【分析】根据交集和并集的定义，计算即可．
解：集合A＝{1，2}，B＝{1，2，4}，
所以A∩B＝{1，2}；
所以（A∩B）∪C＝{1，2，4，6}．
故答案为：{1，4，4，6}．
14．（5分）已知集合A＝{x|x＝（2k+1），k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为　A＝B　．
【分析】首先，将给定的集合化简，然后作出判断．
解：由集合A得：
A＝{x|x＝}，
B＝{x|x＝}，
∴A＝B，
故答案为：A＝B．
15．（5分）已知集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{y|ay+2＝0，a∈R}，若满足M∩N＝N的所有实数a构成集合A，则A＝　{0，﹣1，}　，A的子集有　8　个．
【分析】可以求出M＝{﹣3，2}，根据M∩N＝N可得出N?M，然后讨论a是否为0：a＝0显然满足题意；a≠0时，可得出或2，然后解出a即可，从而得出集合A，得出集合A的子集个数．
解：M＝{﹣3，2}，M∩N＝N，
∴N?M，
①a＝0时，N＝?，符合题意；
②a≠0时，，∴或2，解得或﹣1，
故答案为：．
16．（5分）非空有限数集S满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S．则满足条件且含有两个元素的数集S＝　{0，1}，或{﹣1，1}．　．（写出一个即可）
【分析】由题意，不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S，可得a2，ab，b2必有两个是相等的，分类讨论即可求解．
解：由题意，不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S，
所以a2，ab，b2必有两个是相等的，
所以a＝0（舍去）或a＝5或a＝﹣1，此时S＝{﹣1，1}；
若b2＝ab，则b＝5，此时a2＝a，故a＝1，此时S＝{0，7}，
故答案为：{0，1}，或{﹣1，1}．
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|x＜a}．
（1）若A∩B＝A，求实数a的取值范围；
（2）若全集U＝{x|x≤4}，a＝﹣1，求A∩（?UB）及（?UA）∪（?UB）．
【分析】（1）由A∩B＝A知A?B，由此得出a的取值范围；
（2）根据补集、并集和交集的定义，计算即可．
解：（1）集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|x＜a}，
若A∩B＝A，则A?B；
所以实数a的取值范围是{a|a＞3}；
所以B＝{x|x＜﹣7}，
所以A∩（?UB）＝{x|﹣1≤x≤4}；
所以（?UA）∪（?UB）＝{x|x≤﹣2或﹣1≤x≤4}．
18．（10分）已知A＝{2，﹣1，x2﹣x+1}，B＝{2y，﹣4，x+4}，C＝{﹣1，7}，且A∩B＝C，求x，y的值及A∪B．
【分析】根据已知集合A＝{2，﹣1，x2﹣x+1}，B＝{2y，﹣4，x+4}，C＝{﹣1，7}，A∩B＝C，可得x2﹣x+1＝7，分类讨论可求出满足条件的实数x、y的值，进而求出集合A，B，结合集合并集的定义，得到答案．
解：∵集合A＝{2，﹣1，x2﹣x+5}，B＝{2y，﹣4，x+4}，C＝{﹣1，7}，A∩B＝C，
∴x3﹣x+1＝7，解得：x＝﹣2，或x＝3，
当x＝3时，x+5＝7，此时2y＝﹣1，满足要求；
集合A＝{2，﹣1，7}，B＝{﹣5，﹣4，7}，
A∪B＝{2，﹣1，﹣6，7}．
19．（10分）已知集合A＝{1，2，3，4}．
（1）若M?A，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M有多少个？
（2）若B＝{x|ax﹣3＝0}，且B?A，求实数a的取值集合．
【分析】（1）根据题目的条件，把满足条件的集合一一列举出来，即可求出所求集合的个数．
（2）由题意，集合B有两种可能：B＝?，B≠?，分类讨论即可求解．
解：（1）由M?A，且M中至少有一个偶数，得满足条件的集合M为{2}，{1，2}，{1，7，3}，{4}，{1，4}，{3，7}，{1，3，4}，{2，4}，{7，2，4}，{2，3，4}，{8，2，3，4}共12个．
（2）因为B?A，
当B＝?时，显然a＝3；
解得a＝3，或a＝，或a＝1，或a＝，
综上，实数a的取值集合是{0，，1，，3}．
20．（12分）设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x+3）2≤0}，N＝{x|x2+x﹣6＝0}．
（Ⅰ）求（?IM）∩N；
（Ⅱ）记集合A＝（?IM）∩N，已知集合B＝{x|a﹣1≤x≤5﹣a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
【分析】（I）通过解不等式和方程求集合M、N，再进行集合的补集、交集运算；
（II）由（I）知集合A＝{2}，根据集合关系B∪A＝A，得B＝?或B＝{2}，利用分类讨论求出a的范围．
解：（Ⅰ）∵M＝{x|（x+3）2≤0}＝{﹣3}，N＝{x|x2+x﹣5＝0}＝{﹣3，2}，
∴?IM＝{x|x∈R且x≠﹣3}，
（Ⅱ）A＝（?IM）∩N＝{2}，
当B＝?时，a﹣1＞5﹣a，∴a＞3；
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+px+q＝0}，B＝{x|qx2+px+1＝0}，满足①A∩B≠?，②A∩（?UB）＝{﹣2}，其中p，q均为不等于零的实数，求p，q的值．
【分析】条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说﹣2∈A但﹣2?B，A、B是两个方程的解集，方程x2+px+q＝0和qx2+px+1＝0的根的关系的确定是该题的突破口，求p、q的值．
解：设x0∈A，则x0≠0，否则将有q＝0与题设矛盾．
于是由，两边同除以，得，
由①知存在x0∈A，
得x0＝1或x0＝﹣1．
若A＝{1，﹣2}，
同理，若A＝{﹣1，﹣2}，则，
综上，p＝1，q＝﹣2或p＝6，q＝2．
22．（10分）我们知道，如果集合A?U，那么子集A在U中的补集为?UA＝{x|x∈U，且x?A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x?B}叫做A与B的差集，记作A﹣B．例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{4，6，7}．据此，回答以下问题：
（1）若U是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班女同学组成的集合，求U﹣A及?UA；
（2）在图中，分别用阴影表示集合A﹣B；
（3）如果A﹣B＝?，那么A与B之间具有怎样的关系？
【分析】（1）根据差集与补集的定义，即可写出差集与补集的异同点；
（2）根据差集与补集的定义，写出差集U﹣A与补集?UA；
（3）根据差集的定义知以及图形，标出属于集合A但不属于B的部分即可；
（4）根据差集与补集的定义知A﹣B＝?时，A?B．
解：（1）根据差集的定义知，差集中的元素是集合A中的元素并且不能属于集合B，
即A中去掉B中的元素；
共同特点是：差集与补集都是全集的子集；
∴U﹣A＝{高一（1）班全体男同学}，
（3）用阴影表示集合A﹣B，如图所示；
（4）如果A﹣B＝?，那么A?B．