人教A版 必修1 第5单元 三角恒等变换 单元测试卷（Word解析版）

第15单元 三角恒等变换 单元测试卷
一、选择题（共12小题）.
1．（5分）（sin15°+cos15°）2的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）已知cosα＝，α∈（0，），则cos（α﹣）＝（　　）
A．﹣ B． C． D．
3．（5分）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则tan（α+β）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（5分）已知α，β均为锐角，，cos（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）若sinθ＝，且90°＜θ＜180°，则cos的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知角α，β均为锐角，且cosα＝，sinβ＝，则α﹣β的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
9．（5分）使函数y＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的φ的一个值为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图2中菱形的一个锐角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知，且cosθ＞0，则（　　）
A．tanθ＜0 B．
C．sin2θ＞cos2θ D．sin2θ＞0
12．（5分）下列四个等式，其中正确的是（　　）
A．tan25°+tan35°+tan 25°tan35°＝
B．＝
C．cos2﹣sin2＝
D．﹣＝4
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若＝﹣，则cosα+sinα的值为　 　．
14．（5分）已知sinα+cosα＝，其中α∈（，π），则tan2α＝　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝sinx﹣cos（x+），则f（）＝　 　，f（x）的值域为　 　．
16．（5分）已知A是函数f（x）＝sin（2020x+）+cos（2020x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x，总
有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A?|x1﹣x2|的最小值为　 　．
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）＝，求cosβ的值．
18．（10分）已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
19．（10分）在△ABC中，A、B为锐角且B＜A，sinA＝，sin2B＝．
（1）求角C的值；
（2）求证：5cosAcos（A+3B）＝2sinB．
20．（12分）已知函数f（x）＝cos（+x）cos（），g（x）＝sin2x﹣．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．
附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°
（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
22．（10分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（α+）＝﹣（﹣＜α＜0），求sin（2α﹣）的值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．（5分）（sin15°+cos15°）2的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，可得结果．
解：（sin15°+cos15°）2＝1+2sin15°cos15°＝2+sin30°＝1+＝，
故选：C．
2．（5分）已知cosα＝，α∈（0，），则cos（α﹣）＝（　　）
A．﹣ B． C． D．
【分析】由已知求得sinα，然后展开两角差的余弦求值．
解：∵cosα＝，α∈（0，），
∴sinα＝，
故选：D．
3．（5分）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则tan（α+β）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．
解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2＝7的两个根，
∴tanα+tanβ＝3，tanαtanβ＝2，
故选：A．
4．（5分）已知α，β均为锐角，，cos（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由同角的三角函数关系与两角和的余弦公式，计算即可．
解：α，β均为锐角，则α﹣∈（﹣，），β+∈（，），
，
sin（β+）＝＝，
＝cos（α﹣）cos（β+）﹣sin（α﹣）sin（β+）
＝﹣．
故选：A．
5．（5分）若sinθ＝，且90°＜θ＜180°，则cos的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知求得cosθ，再由二倍角的余弦列式求解cos的值．
解：由已知得cosθ＝，
又，45°＜＜90°，
故选：C．
6．（5分）已知角α，β均为锐角，且cosα＝，sinβ＝，则α﹣β的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sinα和cosβ的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（α﹣β）的值，结合α﹣β∈（﹣，），可得α﹣β的值．
解：∵角α，β均为锐角，且cosα＝，sinβ＝，
∴sinα＝＝，cosβ＝＝，
再根据α﹣β∈（﹣，），可得α﹣β＝﹣，
故选：C．
7．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinαcosα＝2cos2α，结合角的范围可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα＝2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值．
解：∵2sin2α＝cos2α+1，
∴可得：8sinαcosα＝2cos2α，
∴cosα＝2sinα，
∴解得：sinα＝．
故选：B．
8．（5分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【分析】利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．
解：因为A和B都为三角形中的内角，
由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，
所以tan（A+B）＝＜0，
所以△ABC是锐角三角形．
故选：A．
9．（5分）使函数y＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的φ的一个值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+θ+），由于它是奇函数，故θ+＝kπ，k∈z，由此排除A，D；再逐一检验其它3个选项，可得结论
解：∵函数f（x）＝sin（2x+θ）+cos（2x+θ）＝2sin（2x+θ+） 是奇函数，
故θ+＝kπ，k∈Z，θ＝kπ﹣，故排除A，D．
在[0，]上，2x∈[2，]，
若θ＝，f（x）＝2sin（2x+π）＝﹣2sin4x是奇函数；
满足f（x）在[0，]上是减函数，故C满足条件．
故选：C．
10．（5分）中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图2中菱形的一个锐角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意，图2是四个全等的直角三角形拼成，只需求出图1中一个直角三角形的小锐角的正余弦值，利用二倍角即可求出图2中菱形的一个锐角的正弦值．
解：由题意，大正方形的面积为100，其边长为10，小正方形的面积为4，其边长为2．
每个直角三角形的面积为．
可得：，
设小边所对的角为θ，则，，
故选：A．
11．（5分）已知，且cosθ＞0，则（　　）
A．tanθ＜0 B．
C．sin2θ＞cos2θ D．sin2θ＞0
【分析】由同角三角函数的基本关系，求出cosθ及tanθ，进而得解．
解：∵，且cosθ＞0，
∴，
故选：AB．
12．（5分）下列四个等式，其中正确的是（　　）
A．tan25°+tan35°+tan 25°tan35°＝
B．＝
C．cos2﹣sin2＝
D．﹣＝4
【分析】由题意利用二倍角公式、两角和差的三角公式逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解：∵tan25°+tan35°+tan 25°tan35°＝tan60°（1﹣tan 25°tan35°）+ tan 25°tan35°
＝（1﹣tan 25°tan35°）+ tan 25°tan35°＝，故A正确；
∵cos2﹣sin2＝cos＝，故C错误；
故选：ABD．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若＝﹣，则cosα+sinα的值为　　．
【分析】由题意利用二倍角的余弦公式、两角和差的正弦公式，求得cosα+sinα 的值．
解：若＝＝﹣（sinα+cosα ）＝﹣，
则cosα+sinα＝，
故答案为：．
14．（5分）已知sinα+cosα＝，其中α∈（，π），则tan2α＝　　．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 sinα﹣cosα的值，可得 sinα和cosα、tanα的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值．
解：∵sinα+cosα＝，∴1+2sinαcosα＝，
∴sinαcosα＝﹣＜2，α为钝角．
求得sinα＝﹣，cosα＝，∴tan4α＝＝，
故答案为：．
15．（5分）已知函数f（x）＝sinx﹣cos（x+），则f（）＝　　，f（x）的值域为　[﹣，]　．
【分析】把x＝代入，展开两角和的余弦，则f（）可求；把函数解析式展开两角和的余弦，整理后再由辅助角公式化积，则函数的值域可求．
解：∵f（x）＝sinx﹣cos（x+），
∴f（）＝sin﹣cos（）＝﹣coscos+sinsin
∵f（x）＝sinx﹣cosxcos+sinxsin＝
∵，∴，
∴f（x）的值域为[﹣，]．
16．（5分）已知A是函数f（x）＝sin（2020x+）+cos（2020x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x，总
有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A?|x1﹣x2|的最小值为　　．
【分析】先根据正余弦的和差角公式及辅助角公式将函数解析式化简为f（x）＝，易得A＝2，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则f（x1）和f（x_2）分别是函数f（x）的最小、最大值，进而求出|x1﹣x2|的最小值，从而得答案．
解：∵
＝
∴，
∴f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，
故答案为：．
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）＝，求cosβ的值．
【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；
（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案．
解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．
∴x＝﹣，y＝，r＝|OP|＝，
（Ⅱ）由x＝﹣，y＝，r＝|OP|＝1，
又由sin（α+β）＝，
则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝，
∴cosβ的值为或．
18．（10分）已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；
（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）＝﹣求得tan（α+β），利用tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．
解：（1）由，解得，
∴cos6α＝；
∵α，β∈（0，），∴α+β∈（7，π），
则tan（α+β）＝．
∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．
19．（10分）在△ABC中，A、B为锐角且B＜A，sinA＝，sin2B＝．
（1）求角C的值；
（2）求证：5cosAcos（A+3B）＝2sinB．
【分析】（1）由已知sinA，sin2B可求cosA，cos2B，利用半角公式可求cosB，从而可得cosC＝﹣cos（A+B），
（2）根据（1）的结论代入证明左边等于右边即可．
解：（1）∵A为锐角，sinA＝
∴cosA＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∴B＜45°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴cos2B＝＝
cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝﹣＝
（2）证明：左边＝4cosAcos（π﹣C+2B）＝﹣5cosAcos（C﹣2B）＝﹣5cosA[cosCcos2B+sinCsin8B]＝﹣5××（﹣×+）＝＝5×＝2sinB＝右边
从而得证．
20．（12分）已知函数f（x）＝cos（+x）cos（），g（x）＝sin2x﹣．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．
【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式将f（x）展开，化简得f（x）＝cos2x﹣sin2x，再根据二倍角的余弦公式化简整理，即可得到f（x）＝cos2x﹣，结合三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据（1）中化简的结果，得h（x）＝f（x）﹣g（x）＝sin2x﹣cos2x，利用辅助角公式合并得h（x）＝sin（2x﹣），再由三角函数的图象与性质，即可得到使h（x）取得最大值的x的集合．
解：（1）f（x）＝cos（+x）cos（）
＝（coscosx﹣sinsinx）（coscosx+sinsinx）
∵cos2x＝，sin2x＝
因此，函数f（x）的最小正周期T＝＝π；
∴h（x）＝f（x）﹣g（x）＝cos2x﹣﹣（sin2x﹣）＝sin2x﹣cos2x
∴当2x﹣＝+2kπ，即x＝+kπ（k∈Z）时，sin2x﹣cos2x取得最大值为
由此可得使h（x）取得最大值的x的集合为{x|x＝+kπ，k∈Z}
附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°
（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°＝1﹣sin30°＝，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）＝．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 +﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1﹣+cos2α+sin2α
﹣sin2α﹣，化简可得结果．
解：选择（2），计算如下：
sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°＝1﹣sin30°＝，故 这个常数为．
证明：（方法一）sin2α+cos3（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）＝sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
（方法二）sin7α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）＝+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
＝1﹣+cos5α+sin2α﹣sin5α﹣＝1﹣﹣+＝．
22．（10分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（α+）＝﹣（﹣＜α＜0），求sin（2α﹣）的值．
【分析】（1）由条件利用余弦函数的奇偶性求得φ，再利用余弦函数的图象特征求得ω的值，可得函数的解析式．
（2）由f（α+）＝﹣，求得sin（α+）的值，可得cos（α﹣）的值，进而求得sin（α﹣）的值，从而利用二倍角公式求得sin（2α﹣）的值．
解：（1）由函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）为奇函数，可得φ＝，f（x）＝cos（ωx+）＝﹣sinωx．
又其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为，可得＝，∴ω＝4，f（x）＝﹣sinx．
即 ＝cos[﹣（α+）]＝cos（﹣α）＝cos（α﹣），∴sin（α﹣）＝﹣＝﹣，
∴sin（2α﹣）＝2 sin（α﹣）?cos（α﹣）＝﹣．