3.1函数的概念及其表示第一课时 教案（Word）

《3.1 函数的概念及其表示（第一课时）》
教学设计
教学目标
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，提升学生的数学抽象素养．
2．体会函数表示方式的多样性，理解符号“f：A→B，y＝f(x)”，提升学生的数学抽象素养．
3．了解构成函数的三要素．
教学重难点
教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念．
教学难点：函数概念及符号“y＝f(x)，x∈A”的理解．
课前准备
PPT课件．
教学过程
整体概览
问题1：阅读课本第60页，回答下列问题：
（1）本章将要研究哪类问题？
（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？
（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．
预设的答案：（1）本章将要研究函数的概念、性质及其应用；（2）函数是高中数学的核心内容，也是学习其他学科的重要基础；（3）起点是函数的概念，目标是通过研究函数的性质把握客观世界中各种各样的运动变化规律．
设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、问题导入
问题2：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x．
（1）l是x的函数吗？（2）这个函数与正比例函数y＝4x是同一个函数吗？
师生活动：学生先回忆初中所学的函数概念，分析：在这个变化过程中，有两个变量x与l，并且对于x的每一个确定的值，l都有唯一确定的值与其对应，那么l是x的函数．
预设的答案：问题（1）的答案是肯定的．问题（2）的争议较大，答案悬而未决．
设计意图：用学生熟悉的例子导入，唤醒学生已有的知识经验—基于变量关系的函数定义，但是用初中的定义又不能清晰地解决问题（2），制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣．
引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数概念．（板书：函数的概念）
三、新知探究
1．分析实际问题，感知函数的共同特征，逐步发现构成函数的要素
问题3：阅读材料，回答问题：
某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：h）的关系可以表示为S＝350t．
（1）S＝350t是函数吗？为什么？（2）有人说：“根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？
师生活动：
问题（1），学生判断并说明理由，因为t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数；
问题（2），学生可能会出错，老师应该引导学生关注时间t的变化范围．
追问1：能否根据现有条件回答“24 h时对应的距离是多少？”为什么？（不能，因为半小时之后列车的运行状况未知．）
追问2：这个说法犯了什么错误？（忽略了时间t的变化范围．）
追问3：你认为如何描述才能准确反映实际问题？（在S＝350t的基础上，给时间t备注上范围．）
教师点拨：学生的回答可能不够严谨，老师用精确的语言描述问题2中S与t的对应关系．为学生做示范：
列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是
S＝350t．①
其中，t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}．对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．
设计意图：通过创设问题情境，让学生意识到除了关注对应关系之外，还必须明确自变量的取值范围也是函数的一个重要构成要素，提升了对函数概念的认识．
问题4：阅读材料，回答问题：
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
（2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？
（3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题．
师生活动：（1）学生直接回答：w＝350d，w是工作天数d的函数．
（2）学生判断并说明理由．不是同一个函数．因为在函数S＝350t中，0≤t≤0.5；在函数w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，虽然两个函数的对应关系相同，但是自变量的取值范围不同．
（3）学生描述：工资w与一周工作天数d的对应关系：w＝350d．②
其中，d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的变化范围是数集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．
设计意图：问题4与问题3的解析式相同但是定义域不同，是离散型函数．让学生模仿问题3给出描述，并且对两者进行比较，使学生进一步体会关注自变量的取值范围的重要性．
问题5：阅读材料，回答问题：
图1
图1
图1是北京市2016年11月23日空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．
（1）I是t的函数吗？为什么？
（2）模仿前两个问题，用精确的集合语言和对应关系描述这个实际问题．
师生活动：学生独立完成有困难，教师通过追问帮助学生思考．
追问1：①通过图形能确定唯一的I与之对应，怎么找？（在横轴上，过t0作垂线交曲线与点（t0，I0），I0就是与t0对应的值．）
②从所给的图中确定11月24日12：00的AQI的值吗？为什么？（不能，因为时间不在图象覆盖的范围内．）
预设的答案：从图1中的曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在数集B3＝{I|0＜I＜150}．对于数集A3中的任一时刻t，按照图1中曲线所给的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应．
因此，这里的I是t的函数．
设计意图：问题5是用图象表示的函数关系，通过这个例子强化学生对图象类型的对应关系的认识，并认识到不是所有的函数都能用解析式表示，为引入抽象符号表示函数做铺垫．
问题6：阅读材料，回答问题：
表 1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
表 1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
国际上常用恩格尔系数r（r＝false）反应一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．
（1）你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？
（2）如果是，这个函数有解析式吗？如何描述这个函数？
师生活动：
学生在回答问题时可能会把年份y的范围写成：{y|2006≤y≤2015}，这个素材正好可以帮助学生理解函数定义中的“值域是集合B的子集”．
预设的答案：（1）r是y的函数．因为对于2006到2015年中任一个年份y，根据表1，都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．
（2）这个函数没有解析式．从表格1可知，y的取值范围是数集A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，恩格尔系数r的取值范围是数集B4＝{r|0＜r≤1}．对于数集A4中的任一个年份y，根据表1所给的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．
设计意图：问题6是用表格表示的函数关系，通过这个例子强化学生对表格类型的对应关系的认识，并认识到不是所有的函数都能用解析式表示，为引入抽象符号表示函数做铺垫．
2．在大量实例感知的基础上，抽象出函数概念
问题7：上述问题3~问题6中的函数有哪些共同特征？由此你能抽象出函数概念的本质特征吗？
师生活动：学生先独立思考，之后组内讨论，找到构成要素，老师指导总结，给出准确的概念．
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：
对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
函数的定义域，对应关系和值域也叫函数的三要素．
教师点拨：至此已经形成了函数的概念，请你阅读课本第63页，并背会函数的定义．
追问：值域和集合B相等吗？它们的关系是什么？
预设的答案：值域与集合B不一定相等，值域是集合B的子集，具体例子见问题6．
3．辨析概念
问题7：你能用新的定义描述一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函数y＝（k≠0）吗？从哪几个角度描述？
师生活动：学生先独立完成，最后填表汇总，教师有针对性地指导纠正．
函数
一次函数
二次函数
反比例函数
a＞0
a＜0
对应关系
定义域
值域
设计意图：用新的方式阐述熟悉的函数，使学生熟悉新的语言，进一步体会集合—对应说函数定义的精确性和普适性．
例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x）来描述．
师生活动：先让学生思考，展示其想到的不同情境．
预设的答案：
把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的数x（10－x）．
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境：
长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）．
其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是 B＝{y|0＜y≤25}．对应关系f把每一个长方形的周长x，对应到唯一确定的面积x（10－x）．
设计意图：一个解析式对应多种问题情境，让学生感受函数能解决一类问题的作用，让学生感受函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型．
四、归纳小结，布置作业
问题8：本节课我们主要学习了函数的概念，为什么要重新学习函数的概念？用“集合—对应说”下的函数概念分析一个函数要关注哪几个要素？这些要素的特点是什么？与初中的函数概念相比，要特别注意哪个要素？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．
预设的答案：
初中所学的函数概念主要关注的是变量之间的依赖关系，对自变量的变化范围缺乏约束，在应用中容易产生误判．
采用“集合—对应说”之后，同时关注函数的定义域、对应关系和值域．其中对应关系是核心，有如下特征：对于定义域中任意实数在值域中都能找到唯一的实数与之对应．但对应关系的形式多样，除了解析式，还可以是图象，表格，文字语言等．
与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求．
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确“集合—对应说”的意义，更加深刻地认识到函数的内涵．
作业布置：教科书习题3.1第1，3题．
五、目标检测设计
1．一枚炮弹发射后，经过26 s落到底面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为：
h＝130t－5t2．①
求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述．
设计意图：考查函数的概念．
2．2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图2所示．
图2
图2
（1）函数的对应关系为图中曲线，求该函数的定义域与值域；
（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度．
设计意图：考查对应关系是图象的函数的要素以及图象与解析式的互相转化．
3．集合A，B与对应关系f如下图3所示：
图3
图3
f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
设计意图：考查对应关系是venn图的函数的要素，让学生明确函数的对应关系的多样性．
4．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝来描述．
设计意图：考查用函数解决实际问题的能力．
参考答案：
1．定义域为A＝{t|0≤t≤26}，值域为B＝{h|0≤h≤845}．对应关系h＝130t－5t2把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数130t－5t2．
2．（1）如果记2016年11月2日8时为0，依次下去，11月3日8时为24时，那么函数的定义域为A＝{t|0≤t≤24}，值域为B＝{S|2≤S≤12}．（2）约9.33 ℃．
3．是函数，定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{2，3，4，5}，对应关系f为问题中给出的图．
4．那么可以构建如下情境：
例如设正方形的面积为x，边长为y，那么y＝false．
其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x≤25}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤5}．对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的边长y．