江西省南昌市新建区第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理 Word含解析

江西省南昌市新建区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）
说明：1.书写整齐无大面积涂改且主观题基本完成的得5分
2.书写有涂改或主观题未完成的，根据情况扣（1—5）分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题中为真命题的是(　　)
A. 命题“若，则”的逆命题
B. 命题“，则”的否命题
C. 命题“若，则”的否命题
D. 命题“若，则”的逆否命题
2.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4.若抛物线：（）的焦点在直线上，则等于（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.若圆的半径为2，则点到原点的距离为（ ）
A. 2 B. C. 1 D. 4
6.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，已知双曲线E：，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.若函数，最小值为0，则的最大值为( )
A. 0 B. C. D.
10.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为(　　)
A. B. C. D.
12.定义在R上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13._________.
14.已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为__________．
15.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．
16.关于的方程在区间 上有两个不等实根，则实数的取值范围是__．
三、解答题：（共6小题；共65分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
17.求下列函数的导数.
（1）y＝；
（2）.
18.已知指数函数在R上单调递减，关于x方程的两个实根均大于0.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.
19.
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为，直线的方程为（为参数）.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；
（Ⅱ）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极坐标为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值.
20.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点.
（1）确定a的值；
（2）求函数的单调区间.
21.已知椭圆C：（）过点，短轴一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过定点的直线1与椭圆交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆上，求直线l的斜率k．
22.已知函数，.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.
江西省南昌市新建区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）
说明：1.书写整齐无大面积涂改且主观题基本完成的得5分
2.书写有涂改或主观题未完成的，根据情况扣（1—5）分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题中为真命题的是(　　)
A. 命题“若，则”的逆命题
B. 命题“，则”的否命题
C. 命题“若，则”的否命题
D. 命题“若，则”的逆否命题
【答案】A
【解析】
命题“若,则”的逆命题为“若,则”，所以为真命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为-2,但，所以为假命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为当时，所以为假命题；命题“若,则”为假命题，所以其逆否命题为假命题，因此选A
2.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的除运算化简复数，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．
【详解】复数纯虚数,
则
所以且
所以
故选：D
【点睛】本题考查了复数代数形式的除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．
3.已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为，所以命题为真； 命题为假，所以为真，选B.
4.若抛物线：（）的焦点在直线上，则等于（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由抛物线的方程分析可得抛物线的焦点坐标为，将抛物线的焦点代入直线的方程，可得答案.
【详解】由抛物线C的方程为（），其抛物线的焦点在轴的正半轴上，
则焦点坐标为.
又由抛物线的焦点在直线上，则有，解得.
故选：C
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向，进而确定抛物线的焦点坐标．属于基础题.
5.若圆的半径为2，则点到原点的距离为（ ）
A. 2 B. C. 1 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
将圆的方程化为标准方程为：，结合条件和两点间的距离公式可得答案.
【详解】由圆得,
又圆的半径为2，则
则点到原点的距离为：
故选：A
【点睛】本题考查圆的一般方程化为标准方程和两点间的距离，考查整体代换，属于基础题.
6.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：两直线平行，则有，故为充分不必要条件.
考点：两条直线的位置关系，充要条件.
7.如图，已知双曲线E：，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由的长求出，由通径公式以及的长得到，再由，联立方程求出，即可得到双曲线的离心率.
【详解】因为，所以.因为，所以.
又，所以，解得或 (舍去)
故该双曲线的离心率
故选：B
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.
8.若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立．解出即可．
【详解】由函数，则 .
函数在区间单调递增.
所以在区间上恒成立.
即在区间上恒成立.
又当时，
所以，即
故选：C
【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数范围的问题,转化为恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．
9.若函数，最小值为0，则的最大值为( )
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出,得出函数的单调区间,从而得到函数的最大值,可求出的值，从而得到答案.
【详解】由函数,得
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增.
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
所以当时,函数有最小值,解得.
又.
则，根据函数的单调性可得，在的最大值为：
故选: D
【点睛】本题考查利用函数导数求的单调区间，从而求函数的最值,属于基础题.
10.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
由的图象分析在各区间的正负，从而得的增减性，即可区分出函数的图象.
【详解】由的图象可知，当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
4个图象中只有C满足条件，
故选：C
【点睛】本题主要考查了通过函数的导数的正负可以确定函数的增减，属于中档题.
11.由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为t∈(0,1)，所以由，所以阴影部分的面积为=．
考点：定积分．
点评：在平常做题中，很多同学认为面积就是定积分，定积分就是面积．从而导致此题出错．实际上，我们是用定积分来求面积，但并不等于定积分就是面积．
12.定义在R上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件有 ，从而得出函数 在上为减函数，并可得出，这样根据不等式可得到，从而根据和对数函数的单调性即可得出不等式的解集，即得出原不等式的解集．
【详解】设，则
由，则，所以在上为减函数.
又，则.
由可得到,即
所以,即.
故选: B
【点睛】考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及构造函数解决问题的方法，以及根据函数单调性解不等式的方法，对数函数的单调性．属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13._________.
【答案】π
【解析】
【详解】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，
由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.
∴dx＝×4π＝π，故答案为.
14.已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，可确定函数g（x）=x2+f（x）的切点坐标与斜率，从而可求切线方程．
【详解】由题意，f（2）=2×2﹣1=3，∴g（2）=4+3=7
∵g′（x）=2x+f′（x），f′（2）=2，∴g′（2）=2×2+2=6
∴函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）
即6x﹣y﹣5=0
故答案为6x﹣y﹣5=0
【点睛】(1)本题考查导数的几何意义，考查切线方程，确定切点坐标与斜率是关键．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是
15.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．
【答案】15.
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.
【详解】由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(?3,0),F2(3,0)，如图所示，
由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，
∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a?|PF2|=10+(|PM|?|PF2|)?10+|MF2|==15，
则|PM|+|PF1|的最大值为15.
故答案为15.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.关于的方程在区间 上有两个不等实根，则实数的取值范围是__．
【答案】
【解析】
分析：首先将方程转化，分离参数，化为，将问题转化为函数图像与直线的交点个数来解决，之后构造函数，求导，利用导数研究函数单调性，从而得到函数图像的大致走向以及相应的最值，最后求得结果.
详解：关于的方程，即：，令函数，若方程在区间上有两个不等实根，即函数与在区间上有两个不同的交点，，令可得，当时，，函数是减函数，当时，，函数是增函数，所以函数的最小值为，，所以函数的最大值为，所以关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是.
点睛：该题考查的是有关方程的解的个数对应的参数的范围问题，该题转化为函数与在区间上有两个不同的交点，结合函数图像的走向以及最值求得结果，还可以将方程转化为，即曲线和直线在相应区间上有两个交点，也可以求得结果.
三、解答题：（共6小题；共65分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
17.求下列函数的导数.
（1）y＝；
（2）.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）利用和与积的导数运算法则结合常见函数的导数可求出答案.
（2）将函数的解析式通分变形为，再利用商的导数的求导法则可求出答案.
【详解】（1）
（2），所以.
【点睛】本题考查导数的运算，灵活应用导数的运算公式是解本题的关键，属于基础题．
18.已知指数函数在R上单调递减，关于x方程的两个实根均大于0.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
求出 ，a＞2，由“p或q”为真命题，“p且q为假命题，得p真q假，或p假q真，由此能求出实数a的取值范围．
【详解】若真，则在R上单调递减.所以，即
若真，令，则应满足，解得
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p真q假或者p假q真.
①若p真q假，则所以.
②若p假q真，则，所以
综上，实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为，直线的方程为（为参数）.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；
（Ⅱ）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极坐标为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值.
【答案】（1）.（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式 转化，直线过定点，斜率是，写出直线方程；（Ⅱ）点 ，得到中点坐标 ，代入点到直线的距离公式求最大值.
试题解析：解: (1) 由 .
（2）直角坐标为，，
，从而最大值为
20.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点.
（1）确定a的值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）； （2）增区间是，减区间是.
【解析】
【分析】
（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线在点处的切线与轴相交于点列出方程求的值即可；
（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间．
【详解】(1)因为，
所以
令，得，
所以曲线在点处的切线方程为，
由点在切线上，可得，解得.
(2)由(1)知，，
.
令，解得或.
当或时，；
当时，，
故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．
21.已知椭圆C：（）过点，短轴一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过定点的直线1与椭圆交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆上，求直线l的斜率k．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知，且椭圆过点，得到方程组，解得；
（2）设直线方程为，通过以线段为直径的圆过坐标原点可知，通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理化简，进而计算可得结论；
【详解】解：（1）由题意可得，
解得：，，
椭圆的方程为；
（2）由题意知，直线的斜率存在，设过的直线方程为，
联立，消去、整理得：，
因为直线与椭圆有两个交点，
解得或
设，，，，
则，
以线段为直径的圆过坐标原点，
，即，
，
即，解得：满足条件，
故
【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
22.已知函数，.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.
【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；
(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.
【详解】(Ⅰ)设，
∴，
令，则；，则；
∴在上单调递增，上单调递减，
∴，无极小值.
(Ⅱ)由，即在上恒成立，
∴在上恒成立，
设，则，
显然，
设，则，故在上单调递减
由，，
由零点定理得，使得，即
且时，，则，
时，. 则
∴在上单调递增，在上单调递减
∴，
又由，，则
∴由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.
【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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