(共23张PPT)
第四章 几何图形初步
4.3 角
第1课时 角的概念
1．角的概念
(1)有____________的两条射线组成的图形叫做角，这个____________叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条______；
(2)角也可以看作由一条射线绕着它的________旋转而形成的图形．
公共端点
公共端点
边
端点
2．角的表示
(1)用三个大写字母表示角，必须把表示______________写在中间；
(2)用一个顶点字母表示角，前提是以该点作为顶点的角只有________；
(3)用数字或希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处划上________，并注上数字或希腊字母．
顶点的字母
一个
弧线
3．角的度量
1°＝______′，1′＝______″
1平角＝_______°，1周角＝_______°
1″＝______′，1′＝______°.
60
60
180
360
1．把0.25°分别化成分和秒．
【答案】0.25°＝15′，0.25°＝900″.
2．下列说法中，正确的是
( )
A．两条直线相交，组成的图形叫做角
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角
C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角
D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角
C
3．如图，下列表示∠1正确的是
( )
A．∠O
B．∠AOB
C．∠AOC
D．∠OAC
C
知识点1 角的定义
例1 下列关于角的说法正确的有
( )
①两条射线组成的图形是角；
②角的边越长，角越大；
③在角一边延长线上取一点D；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
4．下列说法中，正确的是
( )
A．角的边是两条线段
B．角的边是两条射线
C．两条射线组成的图形叫做角
D．角的边越短，角越小
B
知识点2 角的表示方法
例2 下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是
( )
B
5.
如图，下列角的表示方法中，正确的有
( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
知识点3 判断角的数量
例3 如图所示，在∠AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为
( )
A
6．如图，O是直线AE上一点，则图中小于平角的角共有
( )
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
C
知识点4 角的度量
例4 (1)用度、分、秒表示48.26°；
(2)用度表示37°24′36″.
7.填空：
(1)76.125°＝______°_____′______″；
(2)123°31′48″＝__________°.
76
7
30
123.53
C
2．(2019年长沙期末)如图，能用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的是
( )
A
3．下列说法中，错误的个数是
( )
①一条直线是一个平角；②平角是一条直线；③一条射线是一个周角；④周角是一条射线．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．若∠A＝45°18′，∠B＝45°15′30″，∠C＝45.15°，则
( )
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B
D．∠C＞∠A＞∠B
D
A
5．(2019年上海模拟)早上7时整时，时针和分针的位置如图所示，那么分针与时针所成角的度数为
( )
A．60°
B．80°
C．120°
D．150°
D
【第二关】
6．看图填空：
(1)图中能用一个大写字母表示的角是______________；
(2)以A为顶点的角有_____个．
∠B，∠C
6
7．(1)用度、分、秒表示38.33°；
(2)用度表示15°48′36″.
【第三关】
8．晚饭后，小明准备出去散步，出去时看了一下表，时间是6点多，时针与分针成90°角．散步回家后，小明又看了一下表，还不到7点，而时针与分针又恰好成90°角，问小明出去了多长时间？(共22张PPT)
第四章 几何图形初步
4.3 角
第3课时 余角和补角
1．余角
(1)定义：如果两个角的和等于________，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角．
(2)性质：①同角(等角)的余角________；②互余两角的和为________.
90°
相等
90°
2．补角
(1)定义：如果两个角的和等于_________，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
(2)性质：①同角(等角)的补角________；②互补两角的和为_________.
180°
相等
180°
1．若∠1＝55°，则∠1的余角和补角分别为多少？
【答案】∠1的余角为90°－55°＝35°，补角为180°－55°＝125°.
2．若一个角的度数是70°39′，则它的余角的度数是_________，它的补角的度数是_____________.
3．已知∠1与∠2互余，且∠1＝15°，则∠2的补角的度数为_________.
19°21′
109°21′
105°
知识点1 余角和补角的概念
例1 下列关于余角和补角的说法中，正确的是
( )
A．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余
B．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补
C．若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余
D．若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互补
【解析】因为∠1＋∠2＝90°，所以∠1与∠2互余．故选C．
C
4．下列叙述正确的是
( )
A．180°的角是补角
B．120°和80°的角互为补角
C．90°，40°，50°的角互为补角
D．120°和60°的角互为补角
D
(2)设这个角为x，则它的余角为90°－x.
依题意，得x－4(90°－x)＝15°，解得x＝75°.
所以这个角的补角的度数为180°－75°＝105°.
5.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
解：因为∠A与∠B互余，所以∠A＋∠B＝90°.
因为∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°
所以∠A＝3∠B＋30°.
所以3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.
故∠B的度数为15°.
知识点3 余角和补角的应用
例3 如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
6．如图，∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角，且OC是∠BOD的平分线，求∠AOC的度数．
解：设∠AOC＝x°，则∠AOB＝(90－x)°，∠AOD＝(180－x)°.
因为OC是∠BOD的平分线，所以∠DOC＝∠BOC．
所以∠AOD－∠AOC＝∠AOC－∠AOB，即180－x－x＝x－(90－x)，解得x＝67.5.
故∠AOC＝67.5°.
【第一关】
1．下列说法正确的是
( )
A．一个角的补角一定大于这个角
B．任何一个角都有余角
C．一个角的余角小于45°，则这个角大于45°
D．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余
C
2．如果α与β互为补角，那么
( )
A．α＋β＝90°
B．α－β＝90°
C．α＋β＝180°
D．α－β＝180°
3．因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是
( )
A．同角的余角相等
B．等角的余角相等
C．同角的补角相等
D．等角的补角相等
C
C
4．(2019年泉州模拟)如图，∠α＝25°，∠AOC＝90°，B，O，D三点在同一直线上，则∠β的度数为
( )
A．65°
B．25°
C．115°
D．155°
C
5．如图，OC是平角∠AOB的平分线，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，那么图中与∠COD互余的角有
( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
D
6．如图，O是直线AB上的一点，OC是∠AOB的平分线．
(1)∠AOD的补角是____________，
∠COD的余角是____________；
(2)∠BOD的补角是____________，
∠AOC的补角是____________；
(3)若∠COD＝35°，则∠AOD＝________，∠BOD＝_________.
∠BOD
∠AOD
∠AOD
∠BOC
55°
125°
【第二关】
7．(2019年齐齐哈尔模拟)若∠α和∠β互补，且∠α∶∠β＝5∶4，则∠α＝_________，∠β＝________.
100°
80°
【第三关】
9．(1)如图1，∠AOB，∠COD都是直角，试猜想：∠AOD与∠BOC在数量上存在什么关系？请说明理由；
(2)当∠COD绕点O旋转到如图2的位置时，你原来的猜想还成立吗？请说明理由．
解：(1)∠AOD与∠BOC互补．理由如下：
∵∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠BOC＋∠BOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°
∴∠AOD与∠BOC互补．
(2)仍然成立．理由如下：
∵∠AOD＋∠BOC＝360°－∠AOB－∠COD＝360°－90°－90°＝180°
∴∠AOD与∠BOC互补．(共21张PPT)
第四章 几何图形初步
4.3 角
第4课时 表示方向的角
1．方向角
方向角是以________和________方向为基准，然后写偏东或偏西多少度，描述物体运动方向的角．
2．作方向角
以物体最初所在位置为中心，画出“上北、下南、左西、右东”四个方向线，作以中心为端点并过最终位置的射线，则从正北方向或正南方向到该射线所成的角为该物体所在的方向角．
正北
正南
1．正东与正西，正南与西南，西北和东北，正西与东南分别所成角为多少？
【答案】正东与正西所成角为180°，正南与西南所成角为45°，西北和东北所成角为90°，正西与东南所成角为135°.
2．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB＝90°，则OB的方向角是
( )
A．北偏西30°
B．北偏西60°
C．北偏东30°
D．北偏东60°
B
3．已知点O在点A的南偏东65°方向，那么点A应在点O的
( )
A．南偏东65°方向
B．北偏东65°方向
C．北偏西65°方向
D．北偏西25°方向
C
知识点1 利用方向角确定方向
例1 M地是海上观测站，从M地发现两艘船A，B的位置如图所示，下列说法中正确的是
( )
A．船A在M的南偏东30°方向
B．船A在M的南偏西30°方向
C．船B在M的北偏东40°方向
D．船B在M的北偏东50°方向
C
4．如图，指出射线OA，OB，OC，OD分别表示什么方向．
OA：______________；
OB：______________；
OC：______________；
OD：________________________.
北偏东80°
北偏西40°
南偏西35°
东南方向(南偏东45°)
知识点2 方向角的有关计算
例2 如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A，B，C处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向．
(1)求∠BOC的度数；
(2)求∠AOB的度数．
解：(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得∠EOB＝76°，∠EOC＝45°.
由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°.
(2)由甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，得∠EOB＝76°，∠EOA＝44°.
由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76°－44°＝32°.
5．如图，船A，B同时从小岛O出发，船A沿北偏西20°的方向航行，船B沿北偏东70°的方向航行．
(1)画出表示船A和船B航行方向的射线；
(2)求∠AOB的度数．
解：(1)略 (2)由船A沿北偏西20°的方向航行，船B沿北偏东70°的方向航行及角的和差，得∠AOB＝20°＋70°＝90°.
【第一关】
1．甲看乙的方向为北偏东30°，那么乙看甲的方向是
( )
A．南偏东60°
B．南偏西60°
C．南偏东30°
D．南偏西30°
D
C
3．(2019年清远模拟)小东从A处出发向北偏东75°的方向走10
m至B处，小彤从A处出发向南偏西15°方向走15
m至C处，则∠BAC等于
( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．240°
C
4．如图，A，B，C三点分别代表邮局、商店和学校中的一处．已知邮局和商店都在学校的北偏西方向上，邮局在商店的北偏东方向上，那么图中的点A应该是________，点B应该是________，点C应该是________.
邮局
商店
学校
5．如图，OA是表示__________35°方向的一条射线．
北偏西
【第二关】
6．(2019年潮州期末)如图，点A在点B的北偏西30°方向，点C在点B的南偏东60°方向，则∠ABC的度数是_________.
150°
7．按照上北下南、左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：
(1)北偏西30°；
(2)南偏东60°；
(3)北偏东15°；
(4)西南方向．
解：如图所示：
北偏东70°
南偏东40°
(3)∠BOD可看做是OB绕点O逆时针方向旋转180°至OD所成的角，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是______________；
(4)在(1)和(3)的条件下，OF是OE的反向延长线，则∠COF＝________.
南偏西50°
20° (共25张PPT)
第四章 几何图形初步
4.3 角
第2课时 角的比较与运算
相等
射线
∠AOC
∠BOC
∠AOC
∠BOC
1．你能借助一副三角板比较60°和45°的大小吗？
【答案】将两个三角板中的60°的一边和45°的一边叠合在一起，易知60°>45°.
2．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于
( )
A．35°
B．70°
C．110°
D．145°
C
3．借助一副三角尺，能画出下列各度数的角的是
( )
A．65°
B．75°
C．85°
D．95°
B
知识点1 角的比较
例1 如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是
( )
A．∠AOB<∠AOD
B．∠BOC<∠AOB
C．∠COD<∠AOD
D．∠AOB<∠AOC
D
4．如图，比较下列各角的大小，用“>”或“<”填空：
(1)∠AOC______∠AOB；
(2)∠BOD______∠COD；
(3)∠AOC______∠AOD．
>
>
<
知识点2 角平分线
例2 如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
(1)求∠EOD的度数；
(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
5.如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则∠EOF的度数是________.
90°
知识点3 折叠问题中角的计算
例3 如图，将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′，D点落在D′处．若∠EFC＝119°，则∠BFC′为
( )
A．58°
B．45°
C．60°
D．42°
A
6．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在点D′的位置．若∠CED′＝60°，则∠AED的度数是________.
60°
知识点4 角的运算
例4 计算：
(1)28°39′38″＋52°43′56″；
(2)90°－78°19′40″；
(3)21°17′33″×5；
(4)143°16′÷4.
7.计算：
(1)153°29′42″＋26°40′32″；
(2)110°36′－90°37′28″；
(3)62°24′17″×4；
(4)102°43′21″÷3.
解：(1)153°29′42″＋26°40′32″＝179°69′74″＝180°10′14″.
(2)110°36′－90°37′28″＝109°95′60″－90°37′28″＝19°58′32″.
(3)62°24′17″×4＝248°96′68″＝249°37′8″.
(4)102°43′21″÷3＝102°42′81″÷3＝34°14′27″.
【第一关】
1．已知∠ABC与∠MNP，若点B与点N重合，BC与NM重合，且BA在∠MNP的内部，则它们的大小关系是
( )
A．∠ABC>∠MNP
B．∠ABC<∠MNP
C．∠ABC＝∠MNP
D．不能确定
B
2．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在
( )
A．∠AOB>∠AOC
B．∠AOB<∠BOC
C．∠BOC>∠AOC
D．∠AOC>∠BOC
3．用一副三角尺画角时可画出许多不同度数的角，下列度数画不出来的是
( )
A．15°
B．65°
C．75°
D．105°
A
B
4．如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点C．若∠ACD＝120°，则∠BCE＝________.
60°
5．(2019年广州模拟)如图，∠AOD＝130°，∠AOC＝88°，OB是∠AOD的平分线，则∠BOC的度数是________.
23°
【第二关】
6．(2019年宝鸡月考)如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上，不与点B，C重合)，使点C落在长方形的内部点E处．若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数是________.
90°
7．计算：
(1)108°18′－65°43′；
(2)180°－(35°47′＋56.5°)；
解：(1)108°18′－65°43′＝107°78′－65°43′＝42°35′.
(2)180°－(35°47′＋56.5°)＝180°－(35°47′＋56°30′)＝180°－91°77′＝179°60′－92°17′＝87°43′.
(3)50°24′×3;
(4)49°28′52″÷4.
(3)50°24′×3＝150°72′＝151°12′.
(4)49°28′52″÷4＝48°88′52″÷4＝12°22′13″.
8．把一副三角尺如图所示拼在一起．
(1)写出图中∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠AED的度数；
(2)用“<”将上述各角连接起来．
解：(1)∠A＝30°，∠B＝90°，
∠BCD＝150°，∠D＝45°，∠AED＝135°.
(2)∠A<∠D<∠B<∠AED<∠BCD．
【第三关】
9．(2019年成都模拟)已知∠AOB＝40°，过点O引射线OC，若∠AOC∶∠COB＝2∶3，且OD平分∠AOB，则∠COD的度数为______________.
4°或100°
