3.4 力的合成与分解—【新教材】人教版（2019）高中物理必修第一册讲义

物理概念和规律：
一、力的合成
1.定义：如果一个力的
与几个力共同作用的效果
，这个力就叫做那几个力的
；如果几个力的
与某个力单独作用的效果
，这几个力叫做那个力的分力．
2．力的合成：求几个力的
叫做力的合成．
(1)平行四边形定则
求两个互成角度的力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为
，作平行四边形，这两邻边所夹的
就表示合力的大小和方向．这种方法叫平行四边形定则．所有矢量的合成都遵循平行四边形定则．
（2）三角形定则
把两个矢量
，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的
．三角形定则与平行四边形定则实质上是一样的
（3）两分力等大，夹角为θ时，，大小：F＝
，
方向：F与F1夹角为。
3．共点力：作用于物体上
，或者力的
相交于同一点的几个力称为共点力．
4.合力与分力的三性
5.合力与分力的关系：合力与分力是作用效果上的一种
关系
(1)两个力的合成
当两分力F1、F2大小一定时，
①最大值：两力
时合力最大，F＝F1＋F2，方向与两力同向；
②最小值：两力方向相反时，合力
，F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向；
③合力范围：两分力的夹角θ(0°≤θ≤180°)不确定时，合力大小随夹角θ的增大而
，所以合力大小的范围是：
(2)三个力的合成
三个力进行合成时，若先将其中两个力F1、F2进行合成，则这两个力的合力F12的范围为|F1－F2|≤F12≤F1＋F2.再将F12与第三个力F3合成，则合力F的范围为
，对F的范围进行讨论：①最大值：当三个力方向相同时，合力
，大小为Fmax＝F1＋F2＋F3.②最小值：若F3的大小介于F1、F2的和与差之间，F12可以与F3等大小，即|F12－F3|可以等于零，此时三个力合力的
就是零；若F3不在F1、F2的和与差之间，合力的最小值等于最大的力减去另外两个较小的力的和的绝对值．③合力范围：Fmin≤F≤Fmax.
6.
计算法求合力时常用到的几何知识
(1)应用直角三角形中的边角关系求解，用于平行四边形的两边垂直，或平行四边形的对角线垂直的情况．
(2)应用等边三角形的特点求解．
(3)应用相似三角形的知识求解，用于矢量三角形与实际三角形相似的情况．
二、力的分解
1.定义：一个力的作用可以用几个力的共同作用来等效替代，这几个力称为那一个力的分力．求一个已知力的
的过程，是力的合成的逆运算．
2．分解法则
平行四边形定则——把已知力F作为平行四边形的
，与力F共点的平行四边形的两个
就表示力F的两个分力F1和F2.
3．分解依据
通常依据力的
进行分解．
(1)已知合力和两个分力的方向时，有
．
甲　　　　　　乙
(2)已知合力和一个分力的
时，有唯一解．
丙　　　　　丁
(3)已知合力以及一个分力的大小和另一个分力的方向时，有下面几种可能：
a　　　　　　b　　　　c　　　　　d
①当Fsinθ＜F2＜F时，有
．
②当F2＝
时，有唯一解．
③当F2＜Fsin
θ时，
．
④当F2＞F时，有唯一解．
4．按实际效果分解的几个实例
实例
分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.F1＝Fcosα，F2＝
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.F1＝mgsin
α，F2＝
质量为m的光滑球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2.F1＝mgtan
α，F2＝
质量为m的光滑球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtan
α，F2＝
质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，重力产生两个效果：对OA的拉力F1和对OB的拉力F2.F1＝
，F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2.F1＝
，F2＝
5.正交分解：
（1）定义：将一个力沿着
的两个方向分解的方法．如图所示．
（2）公式：F1＝Fcosθ，F2＝Fsinθ.
（3）适用：正交分解适用于各种
运算．
（4）优点：将矢量运算转化成坐标轴方向上的
运算．
（5）正交分解的目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决
的运算，“分”的目的是为了更好地“合”．
（6）正交分解的基本步骤
(a)建立
以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上．
(b)正交分解各力
将每一个不在坐标轴上的力分解到
上，并求出各分力的大小，如图2?6?7所示．
图2?6?7
(c)分别求出x轴、y轴上各分力的
，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(d)求共点力的合力
合力大小F＝
，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan
α＝
.
针对训练
一、单项选择题
1.关于F1、F2及它们的合力F，下列说法正确的是
(　　)
A．合力F一定与F1、F2共同作用产生的效果不同
B．两力F1、F2一定是同种性质的力
C．两力F1、F2一定是同一个物体受的力
D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
2.　如图所示，物体受到两个相互垂直的共点力F1和F2的作用，其大小分别为30N和40N，它们合力的大小为（　　）
A．10N
B．50N
C．70N
D．1200N
3.
两个共点力的大小分别为F1＝15
N，F2＝9
N．它们的合力不可能等于
(　　)
A．9
N　　　B．24N
C．25
N　　　D．15
N
4.水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10
kg的重物，∠CBA＝30°，如图2?5?8所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10
N/kg)(　　)
图2?5?8
A．50
N　　　　　　　　
B．50
N
C．100
N
D．100
N
5.有两个大小相等的力F1和F2，当它们的夹角为90°时，合力为F，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A．2F　　　　　　　
B.F
C.F
D．F
6.
在按照图所示装置进行“验证力的平行四边形定则”的实验时，下列说法正确的是（　　）
A．测力计可以不与木板在同平面内
B．作图时可以用细绳的长度作为两个分力的大小
C．确定某个分力时，只要记录测力计的读数，不要记录测力计的方向
D．确定某个分力时，需要同时记录测力计的读数及细绳的方向
7.
.
用如图的四种方法悬挂一个镜框，绳中所受拉力最小的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8.
同时作用在某物体上的两个方向相反的两个力，大小分别为6N和9N，其中9N的力在逐步减小到零的过程中，两个力的合力的大小（　　）
A．先减小后增大
B．先增大后减小
C．一直减小
D．一直增大
9.
如图所示，在“探究求合力的方法”的实验中，两弹簧测力计将橡皮条拉伸到0点，它们示数分别为F1和F2．接下来用一只弹簧测力计拉橡皮条时（　　）
A．将橡皮条拉伸到O点
B．拉力大小等于F1﹣F2
C．拉力大小等于F1+F2
D．沿F1和F2角平分线方向
10.
如图所示，物体在四个共点力作用下保持平衡，撤去F1而保持其他三个力不变，则此时物体的合力F（　　）
A．等于F1，方向与F1相同
B．等于F1，方向与F1相反
C．大于F1，方向与F1相同
D．大于F1，方向与F1相反
11.
作用在同一个物体上的两个共点力，一个力的大小是2N，另一个力的大小是4N，它们合力的大小可能是（　　）
A．1N
B．3N
C．5N
D．7N
12.
作用于O点的五个恒力的矢量图的末端跟O点恰好构成一个正六边形，如图。这五个恒力中那两个力的合力等于F3（　　）
A．F1与F2
B．F1与F4
C．F2与F4
D．F2与F5
14.
如图所示，一个重60N的物体置于光滑的水平面上，当用一个F=20N的力竖直向上拉物体时，物体所受的合力不可能为（　　）
A．0
B．40N，方向竖直向下
C．40N，方向竖直向上
D．80N，方向竖直向上
15.
在“互成角度的两个力合成”实验中，用A、B两只弹簧秤把皮条上的结点拉到某一位置O，这时AO、BO间夹角∠AOB＜90°，如图所示，现改变弹簧秤A的拉力方向，使α角减小，但不改变它的拉力大小，那么要使结点仍被拉到O点，就应调节弹簧秤B拉力的大小及β角，在下列调整方法中，可行的是（　　）
A．增大B的拉力和β角
B．增大B的拉力，β角不变
C．增大B的拉力，减小β角
D．B的拉力大小不变，增大β角
16.
平面内作用于同一点的四个力若以力的作用点为坐标原点，有F1=5N，方向沿x轴的正向；F2=6N，沿y轴正向；F3=4N，沿x轴负向；F4=8N，沿y轴负向，则四个力的合力（　　）
A．大小为23N
B．大小为N
C．方向指向第三象限
D．方向指向第四象限
二、非选择题
17.（1）验证力的平行四边形定则的实验中，某同学用图钉把白纸固定在水平放置的木板上，将橡皮条的一端固定在板上一点，两个细绳套系在橡皮条的另一端．用两个弹簧测力计分别拉住两个细绳套，互成角度地施加拉力，使橡皮条伸长，结点到达纸面上某一位置，如图所示．请将以下的实验操作和处理补充完整：
①用铅笔描下结点位置，记为O；
②记录两个弹簧测力计的示数F1和F2，沿每条细绳(套)的方向用铅笔分别描出几个点，用刻度尺把相应的点连成线；
③只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮条的结点仍拉到位置O，记录测力计的示数F3，_____________________________________________________
_______________________________________________________________；
④按照力的图示要求，作出拉力F1、F2、F3；
⑤根据力的平行四边形定则作出F1和F2的合力F；
⑥比较________的一致程度，若有较大差异，对其原因进行分析，并作出相应的改进后再次进行实验．
(2)同学在做“验证力的平行四边形定则”实验时，利用坐标纸记下了橡皮筋的结点位置O点以及两只弹簧测力计拉力的大小，如图2?5?6甲所示．
甲
乙
(a)试在图甲中作出无实验误差情况下F1和F2的合力图示，并用F表示此力．
(b)(多选)有关此实验，下列叙述正确的是________．
A．两弹簧测力计的拉力可以同时比橡皮筋的拉力大
B．橡皮筋的拉力是合力，两弹簧测力计的拉力是分力
C．两次拉橡皮筋时，需将橡皮筋结点拉到同一位置O，这样做的目的是保证两次弹簧测力计拉力的效果相同
D．若只增大某一只弹簧测力计的拉力大小而要保证橡皮筋结点位置不变，只需调整另一只弹簧测力计拉力的大小即可
(c)图乙是刘冰和叶飞两位同学在做以上实验时得到的结果，其中哪一个实验比较符合实验事实？(力F′是用一只弹簧测力计拉时的图示)
答：____________________________________________________________
(d)在以上实验结果比较符合实验事实的一位同学中，造成误差的主要原因是：(至少写出两种情况)
答：____________________________________________________________
18.
如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头．其中一人用了450
N的拉力，另一个人用了600
N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力．
物理概念和规律答案：
一、1.作用效果、相同、合力、共同作用的效果、相同2.合力、邻边、对角线、首尾相连、大小和方向、2F1cos3.同一点、作用线5.
等效替代（1）同向、最小、减小、|F1－F2|≤F≤F1＋F2.3.|F12－F3|≤F≤F12＋F3、最大、最小值
二、1.
分力2.
对角线、邻边3.实际作用效果、唯一解、大小和方向、两解、Fsinθ、无解4.
Fsinα、mgcosα、、、、
5.
相互垂直、矢量、标量、矢量、坐标系、x轴和y轴、合力、、
针对训练
1.
C解析：只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成，C正确；合力是对原来几个分力的等效替代，各分力可以是不同性质的力，合力与分力不能同时存在，BCD错误。
2.
B解析：两个力的夹角为90°，由勾股定理得F===50N．故B正确，ACD错误。
3.
C解析：根据二力合成的范围，满足|F1－F2|≤F合≤F1＋F2即6
N≤F合≤24
N，ACD错误，C正确．
4.
C解析　以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力F＝mg＝100
N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是100
N．从图中看出∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE得∠CBE＝∠DBE＝60°，则△CBE是等边三角形，故F合＝100
N.
5.
B解析　当夹角为90°时，F＝，所以F1＝F2＝F.当夹角为120°时，根据平行四边形定则，知合力与分力相等，所以F合＝F1＝F.故B正确，ACD错误．
6.
D解析：为了防止出现分力，测力计必须与木板平面平行，故A错误；作图时要选择合适的标度确定线段长度，不能根据细绳长度作为两个分力的大小，故B错误；确定某个分力时，需要同时记录测力计的读数及细绳的方向才能准确测量两力，C错误，D正确。
7.B解析：镜框受重力和两根绳子的拉力处于平衡，合力等于0，知两根绳子拉力的合力等于重力，绳子的夹角越小，绳子拉力越小。B正确，ACD错误。
8.A解析：由于两个力的方向相反，合力大小等于这两个力的大小之差，即F合=F1﹣F2=9N﹣6N=3N，当9N的力逐渐减小时，合力先减小，当它等于6N时，两个力的合力等于0，随后，合力开始反向增大.A正确，BCD错误。
9.
A解析：本实验中要求效果相同，所以用一只弹簧测力计拉橡皮条时，应将橡皮条拉伸到O点，从而保证效果相同，拉力大小并不一定与开始时两弹簧的和或差相等，同时拉力方向并不与F1和F2角平分线方向，A正确BCD错误。
10.
根据共点力的平衡条件可知其余三个力的合力定与F1等大反向，故撤去力F1，而保持其余三个力不变，这三个力的合力方向与F1方向相反，大小等于F1，B正确，ACD错误。
11.BC解析：两力合成时，合力范围为：|F1﹣F2|≤F≤F1+F2，所以2N≤F≤6N，BC正确，AD错误。
12.
BD解析：由右图可知，根据平行四边形定则，F1与F4的合力等于F3，F2与F5的合力等于F3，AC错误，BD正确。
14.
BCD解析：物体的重力为60N，向上的拉力为20N，此时地面对物体的支持力为40N，施加向上的拉力后，地面对物体的支持力减小，但物体仍静止，合力还是零，故A不符合题意，BCD符合题意。
15.ABC解析：保持O点位置不变，即合力大小方向不变，弹簧测力计A的读数不变，只要符合该条件而且能够做出平行四边形即可，所以ABC可以做出平行四边形，D不能，故ABC正确，D错误。
16．BD解析：F1=5N，方向沿x轴的正向,F3=4N，沿x轴负向,F1与F3的合力F13沿着x轴的正向，为1N。F2=6N，沿y轴正向，F4=8N，沿y轴负向，F2与F4的合力F24为2N，沿着y轴负方向，最后再将F13与F24合成，故合力F1234为N，指向第四象限。BD正确，AC错误。
17.(1)
③沿此时细绳(套)的方向用铅笔描出几个点，用刻度尺把这些点连成直线　⑥F与F3
解析:　③用铅笔描出绳上的几个点，用刻度尺把这些点连成直线(画拉力的方向)，目的是画出同两分力产生相同效果的这个力的方向．
⑥F与F3作比较，即比较用平行四边形作出的合力和产生相同效果的实际的力是否相同，即可验证力的平行四边形定则的正确性．
(2)
　(a如图所示
(b)AC(c)叶飞做的符合实验事实　　(d)见解析
解析:　(a)用平行四边形定则作图，即以F1、F2为两邻边作平行四边形，对角线就表示合力F.(标上箭头表明方向)
(b)两分力可以同时大于合力，故A正确；结点受三个力作用处于平衡状态，其中两弹簧测力计的拉力的合力与第三个力——橡皮筋拉力等大、反向，是一对平衡力，而橡皮筋的拉力不是合力，故B错；只有保证结点在同一位置才能说明作用效果相同，故C对；在此实验中，若两个分力的大小变化而方向都不变，则合力必定变化，故D错．
(c)作图法得到的F必为平行四边形的对角线，单个弹簧测力计的拉力F′一定与橡皮筋共线，故叶飞的实验比较符合实验事实．
(d)F2的大小比真实值偏小且方向比真实值方向偏左，作图时两虚线分别与F1线和F2线不严格平行．
18.
750
N，与较小拉力的夹角为53°
解析:　设F1＝450
N，F2＝600
N，合力为F.
由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理得．
F＝
N＝750
N，
合力F与F1的夹角θ的正切tan
θ＝＝≈1.33，所以θ＝53°.