人教版九年级数学上学期 22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习（Word版 含答案）

22.2
二次函数与一元二次方程
一．填空题
1．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是　
　．
2．已知函数y＝ax2+bx+c中，函数值与自变量的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围为：　
　．
x
……
2.41
2.54
2.67
2.75
……
y
……
﹣0.43
﹣0.17
0.12
0.32
……
3．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是　
　（填写序号）．
4．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　
　．
5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　
　．
6．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为　
　．
7．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣与x轴仅有一个交点，则实数k的值为　
　．
8．若二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为　
　．
9．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　
　．
10．如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为　
　．
11．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是　
　．
二．解答题
12．若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．
13．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）与点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），P为抛物线上的点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）若△PAB的面积为，求P点的坐标．
14．已知函数y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）（m为常数）．
（1）求证：无论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求m的值．
15．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．
（1）求AB的长度和点D的坐标；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）点P是第四象限抛物线上一点，当2S△PAC＝S△PAB时，求点P的坐标．
16．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．
17．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
18．已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；
（3）若直线l经过点C、M两点，且与x轴交于点E，判断△AEC的面积与△BCM的面积是否相等？请说明理由．
19．对函数y＝|x2﹣4x|﹣3的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整．
（1）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象．
①列表
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
9
2
﹣3
0
m
0
﹣3
2
9
…
其中，m＝　
　．
②描点：请根据上述数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点．
③连线：画出该函数的图象；
（2）观察函数图象，写出两条函数的性质；
（3）进一步探究函数图象，并解决问题；
①平行于x轴的一条直线y＝k与y＝|x2﹣4x|﹣3的图象有两个交点，则k的取值范围为　
　．
②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程|x2﹣4x|﹣3＝x﹣3的解为　
　．
参考答案
一．填空题
1．
k≤且k≠1．
2．
2.54～2.67．
3．①③．
4．﹣1＜x＜3．
5．﹣3＜x＜1．
6．
4．
7．
0或﹣．
8．
0或3．
9．
2．
10．
4．
11．﹣1≤t＜8．
二．解答题
12．解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝32﹣4×2a＝0，
解得：a＝．
13．解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）点A、B的坐标知，AB＝4，
∵△PAB的面积为＝AB×|yP|＝，即×4×|yP|＝，解得yP＝，
∴﹣x2+2x+3＝，解得x＝或或或，
故点P的坐标为（，）或（，）或（，﹣）或（，﹣）．
14．（1）证明：①当m＝0时，该函数是一次函数y＝2x﹣2，其函数图象与x轴交点坐标是（1，0）；
②当m≠0时，∵y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）＝（x﹣1）[m（x﹣1）+2]，
∴该抛物线与x轴交点横坐标分别是1和1﹣．
∴无论m取何值，该抛物线与x轴总交于点（1，0）；
（2）解：若m＝0，则y＝2x﹣2，此时函数与x轴，y轴交点分别是（1，0），（0，2），符合题意；
若m≠0时，则函数与x轴交点分别是（1，0），（1﹣，0），与y轴交点是（0，m﹣2）．
即当m﹣2是整数时，1﹣也是整数，
所以m＝±1，±2．
综上所述，m＝﹣2，﹣1，0，1，2．
15．解：（1）令y＝0，得y＝x2+2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴D（﹣1，﹣4）；
（2）令x＝0，得y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3；
（3）设P（m，m2+2m﹣3）（0＜m＜1），过P作PQ⊥x轴于点Q，如下图，
则PQ＝﹣m2﹣2m+3，OQ＝m，AQ＝m+3
∵2S△PAC＝S△PAB，
∴2（S△AOC+S梯形OQPC﹣S△APQ）＝S△PAB，
即＝，
解得，m＝﹣3（舍），m＝，
∴．
16．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，
∴b＝﹣2，
∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标（1，﹣4）；
（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，
∴B（3，0），
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，
设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣2，故点M（1，﹣2）．
17．解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
将C代入得：4＝﹣2a，
解得：a＝﹣2，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，
∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB
＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8，
当m＝1时，S最大，最大值为8．
18．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，
连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）；
（3）△AEC的面积与△BCM的面积相等．
理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
设直线CM的解析式为y＝px+q，
把M（1，﹣4），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直线CM的解析式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝3，则E（﹣3，0），
∴S△ACE＝×（﹣1+3）×3＝3，S△BCM＝×（﹣2+4）×3＝3，
∴△AEC的面积与△BCM的面积相等．
19．解：（1）m＝1，如图；
（2）当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞4时，y随x的增大而增大；
（3）①当k＝﹣3或k＞1时，直线y＝k与y＝|x2﹣4x|﹣3的图象有两个交点；
②方程|x2﹣4x|﹣3＝x﹣3的解为x1＝0，x2＝3，x3＝5．
故答案为1；k＝﹣3
或
k＞1；x1＝0，x2＝3，x3＝5．