苏科版数学八年级上学期：1.3 探索三角形全等的条件 同步练习（word版，含答案）

1.3 探索三角形全等的条件
一．选择题
1．在下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．一个锐角对应相等
B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．一条斜边和另外一条直角边对应相等
2．如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，添加下列条件，其中不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝DE D．∠ACB＝∠DFE
3．如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别为CA、CB的中点，∠ADN＝80°，∠BDN＝30°，则∠CDN的度数为（　　）
A．40° B．15° C．25° D．30°
4．如图，在△ABC中，F是高AD和BE的交点，BC＝6，CD＝2，AD＝BD，则线段DF的长度为（　　）
A．2 B．1 C．4 D．3
5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，BE＝CD，CF＝BD，那么∠EDF等于（　　）
A．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．45°﹣∠A D．180°﹣∠A
6．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来
二．填空题
7．如图，△ADC中．∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD⊥AC，AB＝PQ，P、Q两点分别在AC、AD上运动，当AQ＝　 　时，△ABC才能和△APQ全等．
8．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，CF＝5，BD＝2，点C到直线AB的距离为9，△ABC面积为　 　．
三．解答题
9．如图，已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AD∥BC，点E是线段AC上一点，AE＝BC且DE⊥AB，连接DC．
（1）证明：AB＝ED．
（2）若∠B＝55°，求∠CDE的度数．
10．已知，如图点E在三角形ABC的边AC上，且∠AEB＝∠ABC．
（1）求证：∠ABE＝∠C；
（2）若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，求证：△ABF≌△ADF；
（3）在（2）的条件下，设AB＝5，AC＝8，求DC的长．
11．在△ACB中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）BF＝1，AB＝6，求△CEA的面积．
12．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
13．求证：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．
要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′（∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′），在此图形上用尺规作出BC与B′C′边上的中线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程．
14．求证：全等三角形的对应角平分线相等．
（1）画出适合题意的图形，并结合图形写出已知和求证．
（2）给出证明．
15．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△DEF≌△ABC；
（2）若∠A＝52°，∠B＝88°，求∠F的度数．
16．如图，在△ABC中AB＝AC，△AED中AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，AC与BD交于点O．
（1）试确定∠ADC与∠AEB间的数量关系，并说明理由；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
17．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD．求证：
（1）△BFD≌△ACD；
（2）BE⊥AC．
18．在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．
（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC与BD的数量关系为　 　；
②∠AMB的度数为　 　．
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠AMB的度数．
参考答案
一．选择题
1． D．
2． B．
3．C．
4． A．
5． B．
6． C．
二．填空题
7． 5cm或10cm．
8． ．
三．解答题
9．解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD∥BC，
∴∠EAD＝90°＝∠ACB，
∴∠CAB+∠DAB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠EDA+∠DAB＝90°，
∴∠EDA＝∠CAB，
又BC＝AE，
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
∴AB＝ED．
（2）∵△ABC≌△DEA，
∴AC＝DA，∠DEA＝∠B＝55°，
∴∠EDA＝90°﹣55°＝35°．
∵AC＝DA，∠DAC＝90°，
∴∠CDA＝45°．
∴∠CDE＝∠CDA﹣∠EDA＝45°﹣35°＝10°．
10．解：（1）∵∠AEB＝∠ABC，且∠AEB＝∠C+∠EBC，∠ABC＝∠ABE+∠EBC，
∴∠C+∠EBC＝∠ABE+∠EBC，
∴∠ABE＝∠C；
（2）∵FD∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠ABE＝∠C，
∴∠ADF＝∠ABF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠DAF＝∠BAF，且∠ADF＝∠ABF，AF＝AF，
∴△ABF≌△ADF（AAS）；
（3）∵△ABF≌△ADF
∴AD＝AB＝5，
∵AC＝8，
∴DC＝AC﹣AD＝8﹣5＝3．
11．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠CBF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）∵Rt△ABE≌Rt△CBF，BF＝1，
∴BE＝BF＝1，
∵CB＝AB＝6，
∴CE＝6﹣1＝5，
∴△CEA的面积＝＝＝15，
∴△CEA的面积为15．
12．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
13．解：如图，就是所求作的图形，
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC与B′C′边上的中线，且AD＝A′D′，
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，
证明：∵∠C＝∠C′＝90°，AD＝A′D′，AC＝A′C′，
∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′（HL），
∴CD＝C′D′，
∵AD与A′D′分别为BC与B′C′边上的中线，
∴点D和点D′分别是BC与B′C′的中点，
∴BC＝2CD，B′C′＝2C′D′，则：BC＝B′C′，
又∵∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SAS）．
14．（1）已知：如图，△ABC≌△DEF，AM，DN是∠BAC和∠EDF′的平分线，
求证：AM＝DN，
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∵AM平分∠BAC，DN平分∠EDF，
∴∠BAM＝∠EDN，
∵在△ABM和△DEN中
∴△ABM≌△DEN（ASA），
∴AM＝DN．
15．（1）证明：∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF，
∴AC＝DF
在△ABC和△DEF中，，
∴△DEF≌△ABC（SSS）；
（2）解：由（1）可知，△DEF≌△ABC，
∴∠F＝∠ACB，
∵∠A＝52°，∠B＝88°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（52°+88°）＝40°
∴∠F＝∠ACB＝40°．
16．解：（1）∠ADC＝∠AEB，理由如下：
∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ADC＝∠AEB
（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC
∵∠ABD＝∠ACD
∴∠BAC＝∠BDC
∵∠ACB＝65°，AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB＝65°
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°
∴∠BDC＝∠BAC＝50°
17．证明：（1）∵AD为△ABC的边BC上的高，
∴△BDF和△ADC为直角三角形．
∴∠BDF＝∠ADC＝90°．
在Rt△BFD和Rt△ACD中，，
∴Rt△△BFD≌Rt△ACD（HL）；
（2）∵△BDF≌△ADC，
∴∠DBF＝∠DAC．
∵∠AFE与∠BFD是对顶角，
∴∠BDF＝∠AEF＝90°，
∴BE⊥AC．
18．解：（1）①∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴AC＝BD；
故答案为：AC＝BD，
②∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，
又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD
∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，
∴∠MAB+ABM＝140°，
∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，
∴∠AMB＝40°；
故答案为：40°；
（2）①AC＝BD，理由如下：
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC；
②∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∠ABO＝∠ABM+∠OBD，
∠MAB＝∠MAO+∠OAB，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°．